阿貝爾與數(shù)形結(jié)合

林革

阿貝爾（1802—1829）是挪威著名數(shù)學(xué)家，很早就展露出過人的數(shù)學(xué)天賦. 他18歲開始潛心研究數(shù)百年懸而未決的難題 ——求解五次方程，見解之深刻與其年齡極不相稱，但阿貝爾杰出的數(shù)學(xué)才華和研究成果在當(dāng)時(shí)并未受到特別重視. 懷才不遇和生活貧寒的雙重打擊令這位數(shù)學(xué)天才患上重疾，最終英年早逝. 在他去世后不久，數(shù)學(xué)界認(rèn)識(shí)到他的貢獻(xiàn)，榮譽(yù)和褒獎(jiǎng)接踵而來. 事實(shí)證明，阿貝爾短暫一生的研究工作對(duì)近代數(shù)學(xué)產(chǎn)生深刻且巨大的影響，許多概念、公式和定理都與阿貝爾聯(lián)系在一起，當(dāng)代數(shù)學(xué)家一直在其開辟的數(shù)學(xué)領(lǐng)域繼續(xù)探索耕耘. 為此，挪威政府于2003年設(shè)立了金額高達(dá)80萬美元的數(shù)學(xué)杰出成就獎(jiǎng)——阿貝爾獎(jiǎng)，以鼓勵(lì)當(dāng)代數(shù)學(xué)家以阿貝爾為榜樣，不畏艱苦、堅(jiān)定信念向數(shù)學(xué)高峰攀登. 這個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)結(jié)束了諾貝爾獎(jiǎng)沒有數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的尷尬.

值得一提的是，阿貝爾非常注意并擅長運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，下面這則軼事就是佐證.

后來，阿貝爾遇到一道證明題：周長一定的矩形中，正方形面積最大. 顯然，采用純幾何方法證明它似乎并不順利，全班同學(xué)冥思苦想?yún)s一籌莫展. 只有阿貝爾靈機(jī)一動(dòng)，腦海中浮現(xiàn)出圖1：能否用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行證明呢？嘗試之下真就豁然開朗了.

而此時(shí)矩形恰恰變成如圖3所示的邊長為k的正方形.

不難看出，正是由于阿貝爾對(duì)數(shù)形結(jié)合的理解和運(yùn)用了然于胸，證明才顯得格外直觀、巧妙簡捷. 如果你意猶未盡，那么請(qǐng)觀察圖4的特征，嘗試從中探究推斷出某些數(shù)學(xué)結(jié)論.

可以判斷的是，圖4是由四個(gè)長為a、寬為b的矩形組合而成邊長為a + b的大正方形，居中還圍成一個(gè)邊長為a - b的小正方形，因此，大正方形面積 = 小正方形面積 + 四個(gè)矩形的面積，即（a + b）2 = （a - b）2 + 4ab，這個(gè)大家都很熟悉.

如果把四個(gè)矩形沿對(duì)角線剪開，那么四個(gè)直角邊為a，b的直角三角形仍可以繼續(xù)組成邊長為斜邊c的較大正方形，居中仍圍成邊長為a - b的小正方形.

有沒有眼前一亮的感覺？斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和，這不正是鼎鼎大名的勾股定理嗎？沒錯(cuò)，從圖4到圖5可以水到渠成地證明勾股定理，而且?guī)缀跏恰暗脕砣毁M(fèi)功夫”. 由此看來，數(shù)形結(jié)合思想果然有別具一格、曲徑通幽的奇效！

（作者單位：揚(yáng)州職業(yè)大學(xué)）