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    不變的“尾巴”

    2020-09-10 07:22:44薛慧珠
    初中生學習指導·提升版 2020年8期
    關鍵詞:數(shù)學原理底數(shù)乘積

    薛慧珠

    提起大名鼎鼎的“雷霆數(shù)”,大家應該不會陌生.比如:452 = 2025,把2025從中一分為二得到20和25,而20 + 25 = 45,又還原成平方數(shù)的底數(shù);再比如:552 = 3025,把3025從中一分為二得到30和25,而30 + 25 = 55,仍還原成平方數(shù)的底數(shù). 在此不一一枚舉.

    現(xiàn)在的問題是:計算[a52]有沒有快捷的方法?回答是肯定的,先寫25,然后用a × (a + 1),得到的積放在25之前,就是平方數(shù)的結果. 比如652,先寫25,再計算6 × 7 = 42,結果就是4225;再比如852,先寫25,再計算8 × 9 = 72,結果就是7225.

    其中的數(shù)學原理是:[a52] = (a × 10 + 5)2 = a2 × 100 + 100a + 25 = (a2 + a) × 100 + 25 = a × (a + 1) × 100 + 25.

    瞧出來了嗎?速算的方法只不過是等式右邊的通俗說法而已,挺別出心裁吧!如果你已經(jīng)領會理解,那么請回答:[a25200]的末兩位數(shù)字是什么?相信大多數(shù)人都會脫口而出“25”,事實的確如此,根據(jù)上面的結論簡單遞推就能斷定.

    [a252]可以看作[A52],不管前面的A如何變化,對末尾的25并無影響,即[A5][2]末兩位數(shù)字是25;而[A5][200] = ([A5][2])100,類似的100次連續(xù)變化不會影響末兩位數(shù)字,即[a25200]末兩位數(shù)字仍是25. 而更一般的結論是:[a25] × [b25]的末兩位數(shù)字是25.

    數(shù)學原理是:[a25] × [b25] = (100a + 25)(100b + 25) = 10000ab + 2500a + 2500b + 625 = 10000ab + 2500a + 2500b + 600 + 25 = ?(100ab + 25a + 25b + 6) × 100 + 25,乘積的末兩位數(shù)字顯然是25.

    無獨有偶,美國第一任總統(tǒng)華盛頓于1776年宣布建國,1976年是建國200周年. 某中學的宣傳欄中出現(xiàn)了一道應時應景的趣題:1776200的最后兩位數(shù)字是什么?學生湯姆看到脫口而出:“這簡單,還是76!”

    其他同學有些納悶,問其究竟,湯姆笑著解釋:762 = 5776,末兩位數(shù)字仍是76,沒有發(fā)生變化,這種數(shù)在數(shù)學上稱為“自守數(shù)”,取自乘(平方)后還能保守著某些原本特征之意. 了解這個前提,就能判斷[A762]末兩位數(shù)字仍為76.

    數(shù)學原理是:[A762]=(A × 100 + 76)2 = A2 × 10000 + 15200A + 762 = (A2 × 100 + 152A) × 100 + 5776 = (A2 × 100 + 152A + 57) × 100 + 76.

    不難看出,[A76]平方數(shù)的末兩位數(shù)字就是762的末兩位數(shù)字,仍然是76. [A76][200]= ([A76]2)100,類似的100次連續(xù)變化顯然不會影響最后的兩位數(shù),即[A76200]最后兩位數(shù)字依舊是76,1776200當然也不例外. 而更一般的結論是:[a76] × [b76]的末兩位數(shù)字是76. 數(shù)學解釋并不復雜:[a76] × [b76] = (100a + 76)(100b + 76) = 10000ab + 7600a + 7600b + 5776 = 10000ab + 7600a + 7600b + 5700 + 76 = (100ab + 76a + 76b + 57) × 100 + 76,乘積的末兩位數(shù)字顯然是76.

    怎么樣?從25到25,從76到76,變化之中保持本色,是不是讓你印象深刻?同學們對不變的“尾巴”中的數(shù)學緣由要做到心中有數(shù)喲!

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