考慮星敏感器安裝誤差的彈道導(dǎo)彈捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)

趙依，張洪波，湯國(guó)建

國(guó)防科技大學(xué) 空天科學(xué)學(xué)院，長(zhǎng)沙 410073

捷聯(lián)星光/慣性制導(dǎo)是一種在捷聯(lián)式慣性制導(dǎo)基礎(chǔ)上輔以星光修正的復(fù)合制導(dǎo)方法，它利用恒星矢量提供的空間方位基準(zhǔn)，來(lái)校準(zhǔn)數(shù)學(xué)平臺(tái)坐標(biāo)系(導(dǎo)航坐標(biāo)系)與發(fā)射慣性坐標(biāo)系之間的誤差角，從而修正落點(diǎn)偏差[1-3]。在捷聯(lián)星光/慣性制導(dǎo)系統(tǒng)中，慣性組件和星敏感器均固聯(lián)安裝在運(yùn)載體上，相比于平臺(tái)式復(fù)合制導(dǎo)系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，對(duì)星敏感器的尺寸、質(zhì)量限制不嚴(yán)格，成本相對(duì)較低；測(cè)星方式相對(duì)靈活，對(duì)被測(cè)星體方位和測(cè)星次數(shù)沒(méi)有嚴(yán)格的限制，便于優(yōu)化設(shè)計(jì)以提高星光制導(dǎo)系統(tǒng)的精度。

星敏感器作為高精度天文敏感器，測(cè)量精度可達(dá)角秒級(jí)[4-5]。然而對(duì)捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)系統(tǒng)而言，星敏感器固聯(lián)安裝在彈體上，由于發(fā)射過(guò)程中的振動(dòng)、沖擊等因素，測(cè)星時(shí)其安裝誤差可能達(dá)到角分級(jí)，嚴(yán)重影響測(cè)量恒星方位時(shí)的準(zhǔn)確性[6]，因此需要對(duì)其安裝誤差進(jìn)行標(biāo)定與修正。當(dāng)前地面標(biāo)定星敏感器安裝誤差的方法主要有2種：一種是基于光學(xué)傳遞原理進(jìn)行標(biāo)定，過(guò)程復(fù)雜、使用設(shè)備較多、造價(jià)昂貴[7-8]；另一種是根據(jù)慣導(dǎo)轉(zhuǎn)位信息進(jìn)行標(biāo)定，標(biāo)定精度依賴于慣導(dǎo)的轉(zhuǎn)位精度[9-13]，2種方法都很難在線實(shí)施。Pittelkau通過(guò)分解系統(tǒng)過(guò)程噪聲的協(xié)方差矩陣，提出了一種對(duì)姿態(tài)敏感器安裝誤差進(jìn)行標(biāo)定的Kalman濾波算法[14]。Yang等利用線性卡爾曼濾波器對(duì)失準(zhǔn)角、星敏感器安裝誤差進(jìn)行了標(biāo)定，同時(shí)對(duì)觀測(cè)矩陣的秩進(jìn)行了分析，得出了觀測(cè)的導(dǎo)航星數(shù)目以及調(diào)姿次數(shù)應(yīng)均大于2的結(jié)論[15]。Ning等提出了一種基于機(jī)動(dòng)性和可觀測(cè)性分析的星敏感器安裝誤差快速標(biāo)定方法[16]。王欣等利用慣導(dǎo)以及星敏感器的輸出構(gòu)造觀測(cè)量，通過(guò)濾波實(shí)現(xiàn)對(duì)安裝誤差的標(biāo)定[17]。然而以上算法都是利用卡爾曼濾波估計(jì)安裝誤差，雖然估計(jì)精度較高，但需要長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)量，且在誤差值較大時(shí)需要一定的收斂時(shí)間[10]，不適用于導(dǎo)彈的星光/慣性制導(dǎo)方案。

針對(duì)上述問(wèn)題，提出了一種在線辨識(shí)并修正星敏感器安裝誤差的方法。建立觀測(cè)量與平臺(tái)失準(zhǔn)角、星敏感器安裝誤差的關(guān)系方程，在導(dǎo)彈到達(dá)關(guān)機(jī)點(diǎn)后進(jìn)行3次轉(zhuǎn)彈測(cè)星得到6個(gè)觀測(cè)量，然后利用最小二乘法估計(jì)出失準(zhǔn)角以及星敏感器安裝誤差，并在此基礎(chǔ)上對(duì)最佳修正系數(shù)方法進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)數(shù)值仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的有效性。

1 捷聯(lián)星光工具誤差模型

1.1 坐標(biāo)系定義

為了便于描述導(dǎo)彈的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)以及建立星敏感器觀測(cè)量與平臺(tái)失準(zhǔn)角、星敏安裝誤差之間的關(guān)系，首先對(duì)坐標(biāo)系進(jìn)行了定義。

1) 發(fā)射慣性坐標(biāo)系(OIXIYIZI)：坐標(biāo)系的原點(diǎn)位于理論發(fā)射點(diǎn)OI，XI軸在發(fā)射點(diǎn)水平面內(nèi)指向瞄準(zhǔn)方向，YI軸垂直于發(fā)射點(diǎn)水平面，沿當(dāng)?shù)乩碚撱U垂線的反方向上方，ZI軸與XI、YI軸構(gòu)成右手坐標(biāo)系。該坐標(biāo)系是制導(dǎo)計(jì)算的主要坐標(biāo)系，所以也稱為制導(dǎo)坐標(biāo)系。

2) 數(shù)學(xué)平臺(tái)坐標(biāo)系(OPXPYPZP)：坐標(biāo)原點(diǎn)OP為實(shí)際的發(fā)射點(diǎn)，數(shù)學(xué)平臺(tái)是陀螺儀測(cè)量姿態(tài)角解算的虛擬平臺(tái)。

3) 彈體坐標(biāo)系(OBXBYBZB)：原點(diǎn)OB為導(dǎo)彈的質(zhì)心，XB軸沿導(dǎo)彈的縱軸指向彈體的頭部方向，YB軸在彈體的縱平面內(nèi)與XB軸垂直且指向上方，ZB軸與XB、YB軸構(gòu)成右手正交坐標(biāo)系。

4) 理想星敏感器坐標(biāo)系(OS′XS′YS′ZS′)：該坐標(biāo)系與星敏感器固聯(lián)，原點(diǎn)OS′為星敏感器設(shè)備像平面中心，XS′軸與星敏感器主光軸一致，YS′軸與ZS′軸相互垂直且平行于像平面，與彈體縱平面平行，如圖1所示。

圖1 理想星敏感器坐標(biāo)系

5) 實(shí)際星敏感器坐標(biāo)系(OSXSYSZS)：星敏感器固聯(lián)在彈體上，但由于存在星敏安裝誤差，使實(shí)際的星敏感器坐標(biāo)系與理想星敏感器坐標(biāo)系之間發(fā)生偏離。

1.2 工具誤差模型

捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)基于估計(jì)的平臺(tái)失準(zhǔn)角對(duì)導(dǎo)彈主動(dòng)段慣性制導(dǎo)誤差進(jìn)行綜合補(bǔ)償和修正。平臺(tái)失準(zhǔn)角表征的是慣性基準(zhǔn)偏差，即數(shù)學(xué)平臺(tái)系與理想發(fā)射慣性坐標(biāo)系之間的誤差角。它可由初始定向誤差、初始對(duì)準(zhǔn)誤差、慣導(dǎo)工具誤差等工具誤差模型得到[18]。

1) 初始對(duì)準(zhǔn)(定向)誤差模型

在不考慮其他誤差影響情況下，理想的數(shù)學(xué)平臺(tái)坐標(biāo)系與發(fā)射慣性坐標(biāo)系是平行的，因此初始對(duì)準(zhǔn)(定向)誤差模型可以表示為

(1)

αd=Ndε0

(2)

2) 陀螺誤差模型

在陀螺的誤差模型中，耦合項(xiàng)相較零次項(xiàng)和一次項(xiàng)影響較小，因此陀螺的誤差模型可以表示為

(3)

將式(3)作積分并進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，可得到由陀螺漂移引起的誤差角[18]

αg=NgDg

(4)

式中：Ng為陀螺的誤差系數(shù)矩陣；Dg為陀螺的零次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)。

3) 加速度計(jì)誤差模型

(5)

由于加速度計(jì)不參與數(shù)學(xué)平臺(tái)的構(gòu)建，因此由捷聯(lián)星光工具誤差引起的誤差角可以表示為

α=αd+αg=NαK

(6)

2 星光觀測(cè)方程

如圖2所示，星光方向單位矢量SI在發(fā)射慣性系中可表示為

圖2 星光矢量在慣性系中的表示

(7)

式中：es、σs分別為星體的高低角和方位角，可以根據(jù)恒星星表中所選恒星的赤經(jīng)、赤緯以及發(fā)射坐標(biāo)系的信息求得。

星敏感器的光軸XS與星光矢量的夾角很小，其方向余弦近似為1；YS、ZS軸為輸出軸。若星敏感器的輸出為ξ、η，則星光矢量在星敏感器坐標(biāo)系中可表示為

SS=[1 -ξ-η]T

(8)

圖3 彈體坐標(biāo)系與理想星敏感器坐標(biāo)系的關(guān)系

(9)

式中：M3[φ0]、M2[-ψ0]為繞ZB、YB軸的旋轉(zhuǎn)矩陣，表達(dá)式分別為

根據(jù)坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換關(guān)系有

(10)

(11)

綜合式(10)和式(11)可得

(12)

式中:E為單位陣。將各矩陣的表達(dá)式代入式(12) 中，可以得到星光觀測(cè)方程為

(13)

式中:αx、αy、αz為3個(gè)方向失準(zhǔn)角，

其中：c(·)為cos(·)的簡(jiǎn)寫(xiě)，s(·)為sin(·)的簡(jiǎn)寫(xiě)；φb、ψb為測(cè)星時(shí)的姿態(tài)角。

(14)

3 平臺(tái)失準(zhǔn)角與星敏安裝誤差的在線辨識(shí)

記星敏感器的安裝誤差為[Δφ0Δψ0]，則彈體坐標(biāo)系到實(shí)際星敏感器體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣可表示為

(15)

此時(shí)星敏感器體系中測(cè)量的星光矢量為

(16)

將式(16)與式(11)相減，可得到含有星敏感器安裝誤差的星光觀測(cè)方程

(17)

CS為由星敏安裝誤差引起的誤差矩陣：

將式(17)展開(kāi)，并忽略二階以上小量，經(jīng)整理可得星光觀測(cè)量與失準(zhǔn)角以及星敏感器安裝誤差之間的關(guān)系為

(18)

其中：

式(18)中有5個(gè)未知量，因此必須獲得6個(gè)獨(dú)立的觀測(cè)量才能求解?？紤]到導(dǎo)彈測(cè)星時(shí)間較短，觀測(cè)不同導(dǎo)航星時(shí)需要機(jī)動(dòng)調(diào)姿，因此選擇3顆 垂直的導(dǎo)航星進(jìn)行測(cè)量，每顆導(dǎo)航星測(cè)10次，然后對(duì)10次測(cè)量結(jié)果取平均值。測(cè)量3顆導(dǎo)航星時(shí)的觀測(cè)方程為

(19)

(20)

基于最小二乘原理，可得失準(zhǔn)角和星敏感器安裝誤差的最佳估計(jì)值為

(21)

利用估計(jì)出的星敏感器安裝誤差角即可對(duì)星敏感器觀測(cè)量進(jìn)行修正。

4 捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)修正方法

3次獨(dú)立地測(cè)星，能夠獲得6個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)，參考平臺(tái)星光-慣性復(fù)合制導(dǎo)原理[19]，可以采用最佳修正系數(shù)法估計(jì)導(dǎo)彈的落點(diǎn)偏差，并在末修段加以修正。但對(duì)捷聯(lián)復(fù)合制導(dǎo)方案而言，測(cè)量數(shù)據(jù)中含有較大的星敏感器安裝誤差，需要消除其影響，為此提出一種改進(jìn)的最佳修正系數(shù)法。方法的主要思想是對(duì)失準(zhǔn)角矩陣和誤差系數(shù)作擴(kuò)維處理，在不降低制導(dǎo)精度的前提下，避免了估計(jì)出星敏安裝誤差角后校正觀測(cè)量的在線計(jì)算量。

基于星光測(cè)量信息的落點(diǎn)偏差估計(jì)方程可以表示為[18]

(22)

式中:ΔLs為縱向落點(diǎn)偏差；ΔHs為橫向落點(diǎn)偏差。記uL、uH是與縱程、橫程對(duì)應(yīng)的修正系數(shù)，則式(22)可表示為

(23)

將式(6)代入到式(18)中，則星敏感器的觀測(cè)量可以表示為

(24)

(25)

式中:Nβ1、Nβ2、Nβ3分別為3個(gè)測(cè)星時(shí)刻擴(kuò)維后的矩陣。此時(shí)，式(25)可以簡(jiǎn)寫(xiě)為

(26)

純慣性制導(dǎo)條件下的落點(diǎn)偏差可表示為

(27)

綜合式(26)、式(27)可得星光修正后復(fù)合制導(dǎo)的落點(diǎn)偏差為

(28)

(29)

5 仿真分析

通過(guò)數(shù)值仿真驗(yàn)證上述模型與算法的正確性。仿真中，假定發(fā)射點(diǎn)的大地經(jīng)度λ0=30°、地理緯度B0=0°、射向A0=90°，發(fā)射點(diǎn)高程為0 m，標(biāo)準(zhǔn)彈道射程4 000 km，星敏感器的安裝角為[φ0,ψ0]=[20°，20°]?？紤]初始對(duì)準(zhǔn)誤差、陀螺漂移誤差、加速度計(jì)誤差、星敏感器安裝與測(cè)量誤差的影響。加速度計(jì)、星敏感器安裝與測(cè)量誤差的取值如表1所示，對(duì)于捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)系統(tǒng)而言，星敏感器捷聯(lián)安裝在彈體上，由于發(fā)射過(guò)程中的振動(dòng)、沖擊等因素，測(cè)星時(shí)其安裝誤差可能達(dá)到角分級(jí)，因此本文星敏安裝誤差取為180″(3σ)；初始對(duì)準(zhǔn)、陀螺漂移誤差的取值如表2所示，分別代表了初始對(duì)準(zhǔn)精度、陀螺精度高-高、低-高、高-低、低-低4種狀態(tài)。

表1 加速度計(jì)、星敏感器安裝誤差系數(shù)

表2 初始對(duì)準(zhǔn)誤差、陀螺漂移誤差系數(shù)

5.1 在線辨識(shí)

在星敏感器實(shí)際測(cè)量中，由于光程差等因素的影響會(huì)引入視軸漂移誤差、偏置誤差、噪聲等效角誤差等隨機(jī)因素[20]。由于本文研究制導(dǎo)精度，因此在仿真分析中將上述誤差因素綜合為測(cè)量誤差。首先針對(duì)仿真條件I，分析測(cè)量誤差對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響，然后針對(duì)仿真條件Ⅰ～Ⅳ，分析不同誤差系數(shù)對(duì)辨識(shí)結(jié)果的影響。在仿真中，采用蒙特卡洛模擬抽樣方法，對(duì)表1、表2中誤差項(xiàng)抽樣2 000次，模擬產(chǎn)生3次測(cè)星的失準(zhǔn)角和星敏感器測(cè)量量，并利用最小二乘方法估計(jì)平臺(tái)失準(zhǔn)角及星敏感器安裝誤差。得到的結(jié)果如圖4～圖9、表3、表4所示。圖及表格中所示為失準(zhǔn)角和安裝誤差的估計(jì)殘差：對(duì)安裝誤差而言，是用估計(jì)值減去真值；對(duì)失準(zhǔn)角而言，是用估計(jì)值減去3次測(cè)星時(shí)失準(zhǔn)角真值的平均值。

表3 平臺(tái)失準(zhǔn)角估計(jì)殘差的統(tǒng)計(jì)特征量

表4 星敏安裝誤差估計(jì)殘差的統(tǒng)計(jì)特征量

從圖4～圖6中可以看出本文所提的方法可以有效地估計(jì)出平臺(tái)失準(zhǔn)角。從表中可以看出，當(dāng)不考慮星敏感器測(cè)量誤差時(shí)，3個(gè)方向平臺(tái)失準(zhǔn)角的估計(jì)殘差均小于1″，當(dāng)考慮測(cè)量誤差時(shí)，估計(jì)殘差均變大，y方向失準(zhǔn)角的估計(jì)殘差達(dá)到6.66″；同時(shí)可以看出y方向失準(zhǔn)角的估計(jì)殘差要比x、z方向大，當(dāng)陀螺精度較高時(shí)，平臺(tái)失準(zhǔn)角的估計(jì)精度較高，當(dāng)陀螺精度較差時(shí)，失準(zhǔn)角αy、αz的估計(jì)精度明顯下降。

圖4 不考慮星敏測(cè)量誤差時(shí)平臺(tái)失準(zhǔn)角的估計(jì)殘差(仿真條件I)

圖5 平臺(tái)失準(zhǔn)角的估計(jì)殘差(仿真條件I)

圖6 平臺(tái)失準(zhǔn)角的估計(jì)殘差(仿真條件Ⅲ)

圖7 不考慮星敏測(cè)量誤差時(shí)星敏安裝誤差的估計(jì)殘差(仿真條件I)

圖8 星敏安裝誤差的估計(jì)殘差(仿真條件I)

圖9 星敏安裝誤差的估計(jì)殘差(仿真條件Ⅲ)

由結(jié)果可以看出，利用本文所提方法可以有效地估計(jì)出星敏感器安裝誤差。星敏感器測(cè)量誤差對(duì)估計(jì)結(jié)果影響較大，當(dāng)不考慮測(cè)量誤差時(shí)，Δφ0、Δψ0的估計(jì)殘差較小；當(dāng)考慮測(cè)量誤差時(shí)，估計(jì)殘差均變大，其中Δφ0的估計(jì)殘差達(dá)到4.69″，Δψ0的估計(jì)殘差達(dá)到6.43″。同時(shí)可以看出陀螺對(duì)估計(jì)結(jié)果的影響較大，當(dāng)陀螺精度較高時(shí)，星敏安裝誤差的估計(jì)精度較高；當(dāng)陀螺精度較差時(shí)，估計(jì)精度出現(xiàn)明顯下降。結(jié)合平臺(tái)失準(zhǔn)角的估計(jì)結(jié)果，出現(xiàn)這種現(xiàn)象是由于調(diào)姿測(cè)星過(guò)程中激勵(lì)了陀螺的漂移誤差，造成失準(zhǔn)角及星敏觀測(cè)量變化較大引起的，這種情況下應(yīng)該采取措施補(bǔ)償，或同時(shí)在線估計(jì)陀螺誤差系數(shù)。

5.2 捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)

采用文中所述的最佳修正系數(shù)法對(duì)慣性制導(dǎo)誤差進(jìn)行修正，首先以仿真條件I為例，對(duì)考慮星敏安裝誤差和不考慮星敏安裝誤差的捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)進(jìn)行仿真驗(yàn)證，得到的結(jié)果如圖10、圖11所示。

圖10、圖11分別反映了考慮星敏安裝誤差、不考慮星敏安裝誤差情況下的純慣導(dǎo)與復(fù)合制導(dǎo)精度。從圖中可以看出，在不考慮星敏安裝誤差的情況下，復(fù)合制導(dǎo)的精度比純慣導(dǎo)的精度還要差，此時(shí)星光制導(dǎo)不能對(duì)純慣導(dǎo)起到修正作用。但是當(dāng)考慮星敏安裝誤差時(shí)，星光制導(dǎo)可以對(duì)純慣導(dǎo)進(jìn)行有效修正。通過(guò)計(jì)算可以得出，仿真條件I中純慣導(dǎo)的圓概率偏差(Circular Error Probable, CEP)為115.75 m，考慮、不考慮星敏安裝誤差時(shí)復(fù)合制導(dǎo)的CEP分別為74.30、267.48 m，從而說(shuō)明了在星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)中考慮星敏安裝誤差的必要性。

圖10 純慣導(dǎo)與復(fù)合制導(dǎo)精度(考慮星敏安裝誤差)

圖11 純慣導(dǎo)與復(fù)合制導(dǎo)精度(不考慮星敏安裝誤差)

然后針對(duì)仿真條件Ⅱ～Ⅳ，進(jìn)行捷聯(lián)星光/慣性復(fù)合制導(dǎo)的仿真驗(yàn)證，得到的結(jié)果如圖12～圖14所示。在此基礎(chǔ)上，結(jié)合仿真條件I進(jìn)一步對(duì)制導(dǎo)精度和CEP進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)分析，得到的結(jié)果如表5、表6所示。

表5 制導(dǎo)精度特征統(tǒng)計(jì)量

表6 CEP特征統(tǒng)計(jì)量

圖12 純慣導(dǎo)與復(fù)合制導(dǎo)精度(仿真條件Ⅱ)

圖13 純慣導(dǎo)與復(fù)合制導(dǎo)精度(仿真條件Ⅲ)

圖14 純慣導(dǎo)與復(fù)合制導(dǎo)精度(仿真條件Ⅳ)

從圖10～圖14中可以看出，仿真條件I的純慣導(dǎo)精度要高于其他3種仿真條件，同時(shí)也可以看出，在考慮星敏安裝誤差的情況下星光制導(dǎo)都會(huì)在純慣導(dǎo)的基礎(chǔ)上使得復(fù)合制導(dǎo)的落點(diǎn)精度有進(jìn)一步地提高。

表5、表6分別反映了制導(dǎo)精度和CEP的特征統(tǒng)計(jì)量，從表中可以看出，當(dāng)初始對(duì)準(zhǔn)(定向)誤差或陀螺漂移誤差變大時(shí)，純慣導(dǎo)和復(fù)合制導(dǎo)的精度都會(huì)變差；同時(shí)可以看出當(dāng)陀螺精度相同時(shí)，復(fù)合制導(dǎo)精度相差不大，這說(shuō)明在慣導(dǎo)精度相同的條件下，復(fù)合制導(dǎo)能夠有效地修正初始定向(對(duì)準(zhǔn))誤差的影響，這對(duì)導(dǎo)彈的陸基快速發(fā)射、水下發(fā)射具有非常大的意義。

6 結(jié) 論

推導(dǎo)的模型能夠在不進(jìn)行濾波估計(jì)的條件下，根據(jù)星敏感器的觀測(cè)量在線辨識(shí)出失準(zhǔn)角以及星敏安裝誤差，并提出了改進(jìn)的最佳修正系數(shù)法，有效地修正了主動(dòng)段的慣性制導(dǎo)誤差以及星敏安裝誤差的影響。進(jìn)而為彈道導(dǎo)彈的陸基快速發(fā)射以及水下發(fā)射提供了技術(shù)支持，具有很強(qiáng)的工程應(yīng)用價(jià)值。