非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程非定常氣動(dòng)力建模

陳森林，高正紅，朱新奇，龐超，杜一鳴，陳樹生

西北工業(yè)大學(xué) 航空學(xué)院，西安 710072

對(duì)先進(jìn)戰(zhàn)斗機(jī)而言，在大迎角范圍內(nèi)能夠進(jìn)行大幅度可控的快速機(jī)動(dòng)是一項(xiàng)必備的能力。當(dāng)戰(zhàn)斗機(jī)進(jìn)行過(guò)失速機(jī)動(dòng)時(shí)，繞飛機(jī)的流場(chǎng)會(huì)出現(xiàn)分離渦等復(fù)雜流動(dòng)現(xiàn)象，此時(shí)作用在飛機(jī)上的氣動(dòng)力(矩)將呈現(xiàn)明顯的非線性和非定常特性，即氣動(dòng)力(矩)不僅取決于當(dāng)前時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，還與運(yùn)動(dòng)的時(shí)間歷程有關(guān)[1]。對(duì)于這種情況，傳統(tǒng)的氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)模型已經(jīng)很難適用[2]，需要探索更加準(zhǔn)確高效的非線性非定常氣動(dòng)力建模方法。

相關(guān)建模方法已經(jīng)有不少研究[3-5]，常見(jiàn)的包括階躍響應(yīng)模型[1]、Volterra級(jí)數(shù)模型[6-7]、狀態(tài)空間模型[8-9]、微分方程模型[10-12]等。隨著機(jī)器學(xué)習(xí)的蓬勃發(fā)展，近年來(lái)出現(xiàn)了將機(jī)器學(xué)習(xí)應(yīng)用到氣動(dòng)力建模的嘗試，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[13]、模糊邏輯[14]、支持向量機(jī)[15-16]等，這類方法的優(yōu)點(diǎn)在于將系統(tǒng)視為黑箱，利用機(jī)器學(xué)習(xí)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)的描述能力預(yù)測(cè)輸出。其中，支持向量機(jī)(Support Vector Machine, SVM)是Vapnik[17]在1995年基于統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論提出的一種針對(duì)小樣本情況的機(jī)器學(xué)習(xí)方法，其最初應(yīng)用于模式識(shí)別，后來(lái)逐漸擴(kuò)展到系統(tǒng)辨識(shí)、智能控制等領(lǐng)域[18-19]。最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine, LS-SVM)[20]是標(biāo)準(zhǔn)SVM的一種改進(jìn)方法，其將二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性方程組求解，降低了計(jì)算復(fù)雜度。

在現(xiàn)有的非定常氣動(dòng)力建模過(guò)程中，大多是以模型在風(fēng)洞中的強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)為初始樣本進(jìn)行，其流程如圖1所示。在某一減縮頻率下，當(dāng)試驗(yàn)對(duì)象經(jīng)過(guò)多個(gè)周期的強(qiáng)迫振動(dòng)之后，試驗(yàn)對(duì)象和其周圍的流動(dòng)以及產(chǎn)生的氣動(dòng)力均呈現(xiàn)出穩(wěn)定的周期性變化特征，此時(shí)的運(yùn)動(dòng)是一個(gè)穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)過(guò)程，此過(guò)程的氣動(dòng)力數(shù)據(jù)即是該減縮頻率下的穩(wěn)定滯環(huán)數(shù)據(jù)，采集該數(shù)據(jù)作為樣本。接下來(lái)，在另一減縮頻率下繼續(xù)進(jìn)行試驗(yàn)。當(dāng)所有試驗(yàn)完成之后，獲得多個(gè)減縮頻率下的穩(wěn)定滯環(huán)數(shù)據(jù)。最后，基于這些數(shù)據(jù)進(jìn)行建模。建模完成之后，模型被用來(lái)預(yù)測(cè)其他減縮頻率下的氣動(dòng)力響應(yīng)。但是，這些方法針對(duì)的對(duì)象始終是穩(wěn)定的滯環(huán)，對(duì)于氣動(dòng)力是如何達(dá)到穩(wěn)定滯環(huán)的，也就是氣動(dòng)力的初始發(fā)展過(guò)程，即圖1中氣動(dòng)力穩(wěn)定之前的階段沒(méi)有考慮。飛機(jī)的快速機(jī)動(dòng)過(guò)程是一個(gè)動(dòng)態(tài)的變化過(guò)程，可以認(rèn)為在這個(gè)過(guò)程中飛機(jī)不會(huì)持續(xù)運(yùn)動(dòng)到進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)，而是處于初始的非穩(wěn)定階段。因此，初始非穩(wěn)定階段的氣動(dòng)力預(yù)測(cè)相比穩(wěn)定段，更具有實(shí)際意義。這里以某機(jī)翼為例，由CFD計(jì)算的在不同減縮頻率k下做俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)的升力系數(shù)CL滯環(huán)，如圖2所示，初始迎角α為30°。圖中，實(shí)線表示穩(wěn)定滯環(huán)，虛線表示進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過(guò)程?？梢园l(fā)現(xiàn)，氣動(dòng)力明顯存在一個(gè)進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的過(guò)程。所以，僅僅預(yù)測(cè)穩(wěn)定滯環(huán)是不夠的，更重要的是能夠預(yù)測(cè)初始非穩(wěn)定過(guò)程的氣動(dòng)力。

圖1 基于風(fēng)洞試驗(yàn)數(shù)據(jù)的氣動(dòng)力建模方法示意圖

圖2 某機(jī)翼做俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)的升力系數(shù)滯環(huán)(Ma=0.4,Re=3.0×106)

傳統(tǒng)方法基于多個(gè)減縮頻率的穩(wěn)定滯環(huán)數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，存在的另一個(gè)問(wèn)題是，系統(tǒng)每次僅受到單個(gè)頻率的激勵(lì)，只能激發(fā)出系統(tǒng)的局部線性特性，而大迎角范圍內(nèi)的氣動(dòng)力是非線性的。對(duì)于戰(zhàn)斗機(jī)的過(guò)失速機(jī)動(dòng)飛行而言，真實(shí)的飛行過(guò)程以縱向俯仰為例，戰(zhàn)斗機(jī)在拉升的過(guò)程中快速進(jìn)入過(guò)失速機(jī)動(dòng)，該過(guò)程幾乎不可能是標(biāo)準(zhǔn)的振動(dòng)，更不可能用單一頻率的穩(wěn)定振動(dòng)進(jìn)行模擬。為了能夠正確地模擬戰(zhàn)斗機(jī)動(dòng)態(tài)進(jìn)入過(guò)失速機(jī)動(dòng)過(guò)程以及產(chǎn)生的非定常氣動(dòng)力(矩)，不僅需要能夠包含非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)特性影響，同時(shí)需要反映不同頻率的非線性耦合影響。

本文根據(jù)Morelli等[21-22]考慮多操縱面非線性耦合影響而提出的正交相位優(yōu)化多正弦激勵(lì)方法，并合理選擇輸入形式，設(shè)計(jì)了用于構(gòu)建大迎角俯仰動(dòng)態(tài)過(guò)程的非線性激勵(lì)模型。以某機(jī)翼為例，通過(guò)CFD技術(shù)獲取了激勵(lì)模型下的氣動(dòng)響應(yīng)，并以此為構(gòu)建大迎角非定常氣動(dòng)力模型的樣本數(shù)據(jù)，利用LS-SVM方法建立了僅通過(guò)一次激勵(lì)，就能預(yù)測(cè)在幅值和頻率范圍內(nèi)任意運(yùn)動(dòng)的非線性非定常氣動(dòng)力模型。算例結(jié)果表明，該模型不僅能夠正確地預(yù)測(cè)不同頻率下的穩(wěn)定滯環(huán)，同時(shí)能預(yù)測(cè)初始的非穩(wěn)定過(guò)程。

1 激勵(lì)模型

1.1 非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程和非線性系統(tǒng)辨識(shí)

首先借助振動(dòng)理論討論一般線性系統(tǒng)在外部激勵(lì)下的響應(yīng)，分析非定常氣動(dòng)力響應(yīng)的變化過(guò)程。以一個(gè)典型的二階振動(dòng)器系統(tǒng)為例，其運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中：y為位移；ζ為阻尼比；p為自然頻率；Y0p2cos(ωt)為外部輸入。

基于振動(dòng)理論，位移響應(yīng)y包含兩部分，分別為自由振動(dòng)y1和強(qiáng)迫振動(dòng)y2，即

y=y1+y2

(2)

y1=e-ζpt(Asin(qt)+Bcos(qt))

(3)

y2=Ycos(ωt-φ)

(4)

對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，自由振動(dòng)y1會(huì)隨時(shí)間的推移而逐漸衰減到零，最后僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)y2。以某個(gè)振蕩器[23]為例，不考慮非線性環(huán)節(jié)時(shí)，在外部輸入為正弦的情況下，系統(tǒng)的自由振動(dòng)響應(yīng)和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)如圖3所示。可見(jiàn)，系統(tǒng)響應(yīng)在開始的時(shí)候，存在一個(gè)由自由振動(dòng)響應(yīng)和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)共同構(gòu)成的非穩(wěn)定段，這個(gè)過(guò)程是一個(gè)非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程。隨著時(shí)間的推移，自由振動(dòng)衰減到零，只剩下強(qiáng)迫振動(dòng)，此時(shí)的響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)定，這個(gè)過(guò)程是一個(gè)穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程。傳統(tǒng)的非定常氣動(dòng)力建模方法，僅采用了穩(wěn)定段的非定常氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，而忽略了初始的非穩(wěn)定過(guò)程。換言之，只有強(qiáng)迫振動(dòng)數(shù)據(jù)被采集和使用，而自由振動(dòng)數(shù)據(jù)被遺漏了，這將導(dǎo)致對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)變化過(guò)程的信息缺失。因此，基于這些數(shù)據(jù)的模型只能預(yù)測(cè)最終的穩(wěn)定滯環(huán)，而不能預(yù)測(cè)進(jìn)入滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過(guò)程。

圖3 某振蕩器[23]在正弦激勵(lì)下的強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)和自由振動(dòng)響應(yīng)

其次，大迎角區(qū)的氣動(dòng)力會(huì)呈現(xiàn)明顯的非線性特征。對(duì)于非線性系統(tǒng)而言，單個(gè)頻率激勵(lì)只能激發(fā)出系統(tǒng)在該頻率下的局部特性，無(wú)法激發(fā)出系統(tǒng)中不同頻率耦合作用的影響。因此，如果僅分別使用不同頻率的穩(wěn)定滯環(huán)為樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行大迎角非定常氣動(dòng)力建模，所獲得的模型只能夠反映不同頻率下穩(wěn)定的非定常氣動(dòng)力的遲滯環(huán)特性，不能反映系統(tǒng)中頻率耦合的非線性影響。

因此，為了建立能夠正確計(jì)算過(guò)失速機(jī)動(dòng)過(guò)程的非定常氣動(dòng)力模型，首先需要構(gòu)建能夠激發(fā)非線性動(dòng)態(tài)過(guò)程中頻率耦合作用的激勵(lì)模型，其既包含了非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程的影響，又適于非線性系統(tǒng)辨識(shí)。

1.2 激勵(lì)的選擇和設(shè)計(jì)

對(duì)于系統(tǒng)辨識(shí)和機(jī)器學(xué)習(xí)問(wèn)題，激勵(lì)的選擇和設(shè)計(jì)至關(guān)重要，直接影響了模型的預(yù)測(cè)精度。從系統(tǒng)辨識(shí)的角度，選擇訓(xùn)練數(shù)據(jù)的關(guān)鍵是充分激發(fā)出系統(tǒng)特性。對(duì)于線性系統(tǒng)辨識(shí)，有多種輸入，例如掃頻[24]、3211[25]等可以采用。對(duì)于非線性系統(tǒng)辨識(shí)，缺乏通用的輸入信號(hào)。

根據(jù)Prazenica和Kurdila[26]的研究，在頻域表示線性系統(tǒng)特性的頻率響應(yīng)函數(shù)是一階的，可以表示為H1(jω)，其中ω是頻率，j是虛部。以掃頻激勵(lì)為例，其觸發(fā)到了不同頻率下的系統(tǒng)特性，因此適用于辨識(shí)一階頻率響應(yīng)函數(shù)H1(jω)，即適用于辨識(shí)線性系統(tǒng)。表示非線性系統(tǒng)特性的頻率響應(yīng)函數(shù)是高階的，包含了H1(jω)、H2(jω1,jω2)、H3(jω1,jω2,jω3)等。換言之，非線性系統(tǒng)的響應(yīng)不僅包含了單一頻率的影響，還包含了不同頻率的耦合影響，此時(shí)掃頻激勵(lì)不再適用。因此，激勵(lì)的選擇和設(shè)計(jì)必須能夠反映不同頻率的耦合作用。

這里采用Morelli等[21-22]設(shè)計(jì)的用于飛機(jī)多操縱面耦合激勵(lì)的輸入——正交相位優(yōu)化多正弦，作為訓(xùn)練輸入。為了對(duì)飛機(jī)多個(gè)操縱面同時(shí)進(jìn)行激勵(lì)，以實(shí)現(xiàn)飛機(jī)多通道氣動(dòng)導(dǎo)數(shù)的同時(shí)辨識(shí)，Morelli等需要使得不同操縱面的激勵(lì)在時(shí)域和頻域上都互相正交，以實(shí)現(xiàn)互不干擾。這種輸入通過(guò)在不同通道將多個(gè)互相正交的正弦信號(hào)疊加，然后利用優(yōu)化方法調(diào)節(jié)相位以避免不同分量相加使得幅值過(guò)大，導(dǎo)致系統(tǒng)受到激勵(lì)后偏離參考點(diǎn)過(guò)遠(yuǎn)，最終使得不同通道之間的激勵(lì)互相正交，同一通道中不同分量之間也互相正交，并覆蓋感興趣的頻段。借鑒這種思路，這里將多通道合并到一個(gè)通道，同時(shí)仍然保持正交性，構(gòu)造了一種能體現(xiàn)不同頻率耦合作用的輸入，用于非線性系統(tǒng)辨識(shí)。本文作者[27]成功將這種輸入應(yīng)用到Volterra級(jí)數(shù)高階核的辨識(shí)，實(shí)現(xiàn)了翼型在跨聲速下小迎角范圍內(nèi)的非線性非定常氣動(dòng)力建模。

正交相位優(yōu)化多正弦輸入的表達(dá)式為

(5)

式中：u為輸入；Ai為幅值；T為輸入時(shí)長(zhǎng)；φi為相位；M為選擇的正弦總數(shù)。

根據(jù)Schroeder[28]的研究，激勵(lì)信號(hào)要盡可能充分的激勵(lì)系統(tǒng)，需要激勵(lì)信號(hào)的能量盡可能大，衡量信號(hào)能量的是均方根(Root Mean Square, RMS)，表示為

(6)

式中：N為輸入的離散點(diǎn)數(shù)。同時(shí)，還要使得系統(tǒng)響應(yīng)不偏離參考點(diǎn)過(guò)遠(yuǎn)，保證這一點(diǎn)需要激勵(lì)的幅值差值盡可能小，即max(u)-min(u)盡可能小。綜合考慮這兩個(gè)因素，Schroeder提出，可以利用相對(duì)峰值因子(Relative Peak Factor, RPF)最小來(lái)確定輸入相位，其定義為

(7)

該輸入設(shè)計(jì)的具體過(guò)程如下：

步驟1根據(jù)研究對(duì)象的實(shí)際情況確定輸入的時(shí)長(zhǎng)T和頻帶[fmin,fmax]，一般要求fmin≥2/T，由此可以得到頻率精度Δf=1/T和M=fix[(fmax-fmin)/Δf]+1，其中fix(·)表示向下取整。

步驟3隨機(jī)給定各個(gè)分量的相位初值φi∈(-π,π]，然后運(yùn)用優(yōu)化方法調(diào)節(jié)相位，使得各分量相加后的輸入的相對(duì)峰值因子最小，最后得到需要的相位分量φi。

步驟4根據(jù)前3步確定的參數(shù)構(gòu)成的輸入作小幅相位偏移，使得輸入從零開始，到零終止，便于對(duì)系統(tǒng)施加激勵(lì)，最終得到需要的輸入。

圖4 正交相位優(yōu)化多正弦輸入

1.3 訓(xùn)練所用輸入形式的選擇

在訓(xùn)練之前，必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的物理背景選擇合理的輸入形式。因?yàn)榉嵌ǔ鈩?dòng)力不僅依賴于當(dāng)前的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，還依賴于之前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，所以輸入形式的選擇必須反映這一點(diǎn)。在已有的利用機(jī)器學(xué)習(xí)進(jìn)行氣動(dòng)力建模的研究中，減縮頻率或者人為定義的等效減縮頻率常常作為輸入?yún)?shù)之一。例如，Ignatyev[29]、Wang[15]和史志偉[30]等，所用訓(xùn)練數(shù)據(jù)均來(lái)自于不同減縮頻率下的強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)。然而，如前所述，真實(shí)的飛行過(guò)程幾乎不可能是標(biāo)準(zhǔn)的振動(dòng)，因而不存在固定頻率。建立一個(gè)不依賴于頻率且具有通用性的氣動(dòng)力模型是本文研究的問(wèn)題之一。

這里選擇的輸入形式為

x=[α(τ),α(τ-1),…,α(τ-m)]T

(8)

式中：α為迎角；m為當(dāng)前時(shí)刻的氣動(dòng)力對(duì)之前運(yùn)動(dòng)過(guò)程的依賴長(zhǎng)度。此處沒(méi)有引入減縮頻率，因?yàn)樵诩?lì)信號(hào)的設(shè)計(jì)中已經(jīng)通過(guò)頻帶的選擇考慮了頻率的影響。

2 最小二乘支持向量機(jī)

2.1 基本理論

給定訓(xùn)練樣本集(xi,yi)，i=1,2,…,n，xi∈Rd，yi∈R，SVM回歸的基本思想是將樣本所在的輸入空間Rd通過(guò)非線性映射φ映射到特征空間φ(x)，然后在該空間構(gòu)造回歸函數(shù)y=f(x)wTφ(x)+b，其中w為加權(quán)系數(shù)，b為偏差。參數(shù)(w,b)通過(guò)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則確定，即求解如下優(yōu)化問(wèn)題：

(9)

用Lagrangian方法求解式(9)的等式約束優(yōu)化問(wèn)題，得

(10)

式中：λi為L(zhǎng)agrangian乘子。最優(yōu)解為

(11)

對(duì)應(yīng)條件為

(12)

(13)

cξi=λi

(14)

yi=wTφ(xi)+b+ξi

(15)

將式(12)和式(14)代入式(15)，消去w和ξi，得

(16)

式中：〈· 〉為內(nèi)積。定義核函數(shù)K(xi,xl)=〈φ(xi),φ(xl)〉，將式(13)和式(16)合并，得方程組的矩陣形式為

(17)

式中：Kil=K(xi,xl)；λ=[λ1,λ2,…,λn]T；y=[y1,y2,…,yn]T；1n為n個(gè)1的列向量。

為了求解式(17)以得到參數(shù)(λ,b)，常用方法是利用核函數(shù)矩陣K的對(duì)稱正定性質(zhì)對(duì)方程組做變換，然后利用Cholesky分解求解，具體方法可見(jiàn)文獻(xiàn)[31]。已知(λ,b)，即得到了所需的LS-SVM模型：

(18)

2.2 模型參數(shù)的確定

SVM通過(guò)引入核函數(shù)避免了在高維特征空間直接計(jì)算內(nèi)積，極大簡(jiǎn)化了計(jì)算。根據(jù)泛函的有關(guān)理論，任意滿足Mercer條件的對(duì)稱函數(shù)都能作為核函數(shù)，最常采用的是高斯核函數(shù)：

(19)

核函數(shù)選定后，模型參數(shù)的確定主要是核參數(shù)σ和正則化參數(shù)c的確定。某組參數(shù)(σ,c)所對(duì)應(yīng)的泛化誤差常采用留一交叉驗(yàn)證法(Leave-One-Out Cross-Validation)計(jì)算，即給定一組(σ,c)之后，每次將訓(xùn)練樣本中的一個(gè)樣本作為測(cè)試集，剩下的作為訓(xùn)練集，計(jì)算預(yù)測(cè)誤差，如此重復(fù)，直到每個(gè)樣本都作為過(guò)測(cè)試集，最后將所有預(yù)測(cè)誤差的平均值作為該組參數(shù)下的泛化誤差。如何找到使得泛化誤差最小的參數(shù)(σ,c)，可采用MATLAB優(yōu)化工具箱中的fmincon函數(shù)，其利用共軛梯度方法進(jìn)行搜索[31]。

2.3 訓(xùn)練方法

輸入信號(hào)選擇以后，接下來(lái)利用CFD計(jì)算氣動(dòng)力。然后根據(jù)選擇的輸入形式構(gòu)造輸入向量xi，輸出分別為升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)。最后對(duì)LS-SVM進(jìn)行訓(xùn)練。具體步驟如下：

步驟1按照1.2節(jié)構(gòu)造輸入，然后由CFD計(jì)算氣動(dòng)力響應(yīng)。

步驟2根據(jù)1.3節(jié)構(gòu)造輸入向量xi，輸出yi為氣動(dòng)力響應(yīng)，i=1,2,…,n。

步驟3給定模型參數(shù)的初值，包括式(9)中的c和式(19)中的σ。

步驟4利用MATLAB的fmincon函數(shù)，以留一交叉驗(yàn)證法計(jì)算的平均預(yù)測(cè)誤差為優(yōu)化目標(biāo)，尋找最優(yōu)的模型參數(shù)(σ,c)。

步驟5回到步驟3和步驟4，可重復(fù)多次，避免(σ,c)的局部最優(yōu)，最終選擇使得平均預(yù)測(cè)誤差最小的模型參數(shù)(σ,c)。

步驟6求解式(17)，得到參數(shù)(λ,b)，即完成了模型的訓(xùn)練。在已知測(cè)試數(shù)據(jù)后，由式(18)即可計(jì)算模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。

3 訓(xùn) 練

以某機(jī)翼在亞聲速下大迎角范圍內(nèi)做俯仰運(yùn)動(dòng)為例，驗(yàn)證LS-SVM模型預(yù)測(cè)非線性非定常氣動(dòng)力的能力和所采用設(shè)計(jì)輸入的有效性。訓(xùn)練所用數(shù)據(jù)由CFD計(jì)算得到，與所用模型無(wú)關(guān)。計(jì)算條件為Ma=0.4，Re=3.0×106，采用剛性動(dòng)網(wǎng)格。機(jī)翼外形參數(shù)如圖5所示，剖面翼型為NACA-64A204，網(wǎng)格圖如圖6所示。

圖5 機(jī)翼外形圖

圖6 機(jī)翼網(wǎng)格生成圖

本文所用CFD求解器是NASA的Langley研究中心開發(fā)的開源計(jì)算工具CFL3D[32]，其采用有限體積法和Spalart-Allmaras湍流模型求解雷諾平均Navier-Stokes (RANS)方程。CFL3D已經(jīng)在航空領(lǐng)域通過(guò)多個(gè)算例得到了廣泛驗(yàn)證[33-35]。由CFL3D計(jì)算的機(jī)翼在當(dāng)前狀態(tài)下的定常氣動(dòng)力如圖7所示。

圖7 機(jī)翼在Ma=0.4、Re=3.0×106下的定常氣動(dòng)力系數(shù)

以設(shè)計(jì)的輸入由CFD進(jìn)行非定常計(jì)算，得到氣動(dòng)力數(shù)據(jù)，然后進(jìn)行訓(xùn)練。訓(xùn)練完成后，以訓(xùn)練數(shù)據(jù)作為測(cè)試樣本檢驗(yàn)訓(xùn)練效果，圖8和圖9分別為以不同基準(zhǔn)迎角做俯仰運(yùn)動(dòng)下，升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)的LS-SVM預(yù)測(cè)結(jié)果和CFD計(jì)算結(jié)果。Case 1的基準(zhǔn)迎角為0°，幅值為80°；Case 2的基準(zhǔn)迎角為30°，幅值為30°。關(guān)于式(8)中時(shí)間依賴長(zhǎng)度m的選擇，需要嘗試不同的時(shí)間長(zhǎng)度，然后根據(jù)訓(xùn)練誤差進(jìn)行選擇，這里Case 1取m=10，Case 2取m=30。由圖8和圖9可見(jiàn)預(yù)測(cè)結(jié)果和CFD結(jié)果非常吻合，驗(yàn)證了LS-SVM對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)的學(xué)習(xí)能力。

圖8 Case 1：初始迎角α0=0°時(shí)LS-SVM預(yù)測(cè)結(jié)果與訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)比(前10 s)

圖9 Case 2：初始迎角α0=30°時(shí)LS-SVM預(yù)測(cè)結(jié)果與訓(xùn)練數(shù)據(jù)對(duì)比(前10 s)

4 非定常氣動(dòng)力驗(yàn)證

模型訓(xùn)練完成后，需要驗(yàn)證其在其他輸入下的預(yù)測(cè)準(zhǔn)確性，也即驗(yàn)證其推廣能力。這里分別對(duì)機(jī)翼在不同基準(zhǔn)狀態(tài)下俯仰做正弦和掃頻運(yùn)動(dòng)時(shí)的氣動(dòng)力進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。

4.1 Case 1

Case 1的基準(zhǔn)迎角為0°，幅值為80°，機(jī)翼做俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)迎角變化為

(20)

前3種正弦運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的減縮頻率k分別為0.01、0.03、0.06，第4種為掃頻運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的減縮頻率從0線性增加到0.08。

由LS-SVM計(jì)算的測(cè)試運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力響應(yīng)和CFD驗(yàn)證結(jié)果對(duì)比如圖10所示。3種正弦運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力滯環(huán)包括初始非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程，都和CFD結(jié)果一致。圖中虛線加粗部分是進(jìn)入滯環(huán)的非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)減縮頻率為0.01和 0.03時(shí)，氣動(dòng)力的非穩(wěn)定段與穩(wěn)定段幾乎重合，差異不明顯；當(dāng)減縮頻率增加到0.06時(shí)，氣動(dòng)力的非穩(wěn)定段與穩(wěn)定段出現(xiàn)了差異。通過(guò)對(duì)比可以看到，不僅穩(wěn)定滯環(huán)部分得到了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過(guò)程也得到了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。

圖10 初始迎角α0=0°時(shí)LS-SVM預(yù)測(cè)結(jié)果與CFD結(jié)果

除了3種正弦運(yùn)動(dòng)，掃頻運(yùn)動(dòng)的預(yù)測(cè)結(jié)果與CFD結(jié)果也吻合很好，表明通過(guò)采用文中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)方法和輸入形式，避免了以減縮頻率為參數(shù)，不僅能預(yù)測(cè)正弦運(yùn)動(dòng)，理論上能預(yù)測(cè)范圍內(nèi)的任意運(yùn)動(dòng)，使得模型更具有普適性。

4.2 Case 2

Case 2的基準(zhǔn)迎角為30°，幅值為30°，機(jī)翼做俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)迎角變化為

(21)

前3種正弦運(yùn)動(dòng)的減縮頻率分別為0.01、0.03 和0.06，第4種為掃頻運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)的減縮頻率從0線性增加到0.08。

由LS-SVM計(jì)算的測(cè)試運(yùn)動(dòng)的氣動(dòng)力響應(yīng)和CFD驗(yàn)證結(jié)果對(duì)比如圖11所示。3種正弦運(yùn)動(dòng)中的氣動(dòng)力滯環(huán)隨著減縮頻率的增大，非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程表現(xiàn)逐漸明顯。包括非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程在內(nèi)的整個(gè)滯環(huán)，都實(shí)現(xiàn)了準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，即使升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)隨減縮頻率的變化呈現(xiàn)不同的特征，預(yù)測(cè)結(jié)果與CFD結(jié)果都非常吻合。

圖11 初始迎角α0=30°時(shí)LS-SVM預(yù)測(cè)結(jié)果與CFD結(jié)果

與Case 1類似，掃頻運(yùn)動(dòng)的預(yù)測(cè)結(jié)果與CFD結(jié)果也吻合很好，再次表明通過(guò)采用文中的訓(xùn)練數(shù)據(jù)設(shè)計(jì)方法和輸入的形式選擇，不僅能預(yù)測(cè)正弦運(yùn)動(dòng)，理論上能預(yù)測(cè)幅值和頻率范圍內(nèi)的任意運(yùn)動(dòng)，使得模型更具有普適性。

Case 2相比Case 1，基準(zhǔn)迎角發(fā)生了變化，氣動(dòng)力的初始非穩(wěn)定過(guò)程表現(xiàn)得更為明顯，也就是說(shuō)，在Case 2狀態(tài)下，氣動(dòng)力的初始段和穩(wěn)定滯環(huán)存在明顯差異。根據(jù)前面的分析，飛機(jī)的真實(shí)機(jī)動(dòng)過(guò)程始終處于初始段，不會(huì)到達(dá)穩(wěn)定滯環(huán)。因此可以認(rèn)為，在當(dāng)前狀態(tài)下，僅依靠穩(wěn)定滯環(huán)來(lái)預(yù)測(cè)飛機(jī)機(jī)動(dòng)過(guò)程中的非定常氣動(dòng)力將存在很大誤差。

4.3 以強(qiáng)迫振動(dòng)為訓(xùn)練輸入時(shí)的預(yù)測(cè)

現(xiàn)在將1.1節(jié)討論的強(qiáng)迫振動(dòng)作為訓(xùn)練輸入，其他不變，選用式(21)中的第2個(gè)正弦運(yùn)動(dòng)為算例，驗(yàn)證氣動(dòng)力的預(yù)測(cè)效果。由CFD計(jì)算的升力系數(shù)的前3個(gè)周期響應(yīng)如圖12所示。可以看到，氣動(dòng)力很快趨于周期性變化。因此，可以認(rèn)為后兩個(gè)周期的氣動(dòng)力響應(yīng)是穩(wěn)定的。分別將后兩個(gè)周期的穩(wěn)定振動(dòng)數(shù)據(jù)和包含初始非穩(wěn)定段在內(nèi)的全部3個(gè)周期的振動(dòng)數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練數(shù)據(jù)，然后預(yù)測(cè)同樣正弦運(yùn)動(dòng)下的升力系數(shù)響應(yīng)。預(yù)測(cè)結(jié)果的時(shí)間響應(yīng)曲線(前0.6 s)和滯環(huán)曲線如圖13所示。標(biāo)注“穩(wěn)定輸入”的曲線為采用后兩個(gè)周期的穩(wěn)定數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)所得到的預(yù)測(cè)結(jié)果，標(biāo)注“全部輸入”的曲線為采用全部3個(gè)周期的數(shù)據(jù)為訓(xùn)練數(shù)據(jù)所得到的預(yù)測(cè)結(jié)果。

圖12 初始迎角α0=30°時(shí)由CFD計(jì)算的升力系數(shù)訓(xùn)練輸入(減縮頻率k=0.03)

圖13 初始迎角α0=30°時(shí)不同訓(xùn)練輸入下LS-SVM預(yù)測(cè)結(jié)果與CFD結(jié)果(減縮頻率k=0.03)

通過(guò)和CFD結(jié)果對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，采用穩(wěn)定振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練，可以準(zhǔn)確預(yù)測(cè)穩(wěn)定滯環(huán)，但進(jìn)入穩(wěn)定滯環(huán)的初始非穩(wěn)定過(guò)程無(wú)法實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)。采用包含初始變化過(guò)程的振動(dòng)數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練之后，可以實(shí)現(xiàn)氣動(dòng)力整個(gè)發(fā)展過(guò)程的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)。這個(gè)例子再次表明，采用強(qiáng)迫振動(dòng)輸入只能預(yù)測(cè)到穩(wěn)定滯環(huán)，只有當(dāng)包含初始的自由振動(dòng)之后，進(jìn)入滯環(huán)的非穩(wěn)定過(guò)程才能得到預(yù)測(cè)。因此，基于強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)的建模方法難以用于飛機(jī)快速機(jī)動(dòng)過(guò)程中非定常氣動(dòng)力的預(yù)測(cè)。

5 結(jié) 論

1) 基于振動(dòng)理論分析發(fā)現(xiàn)，非定常氣動(dòng)力的動(dòng)態(tài)響應(yīng)過(guò)程存在非穩(wěn)定和穩(wěn)定兩個(gè)階段，傳統(tǒng)非定常氣動(dòng)力建模方法的關(guān)注點(diǎn)在穩(wěn)定階段，即氣動(dòng)力滯環(huán)的建模預(yù)測(cè)，而飛機(jī)的真實(shí)機(jī)動(dòng)過(guò)程常處于進(jìn)入滯環(huán)的非穩(wěn)定階段。

2) 采用最小二乘支持向量機(jī)進(jìn)行大迎角非定常氣動(dòng)力建模，通過(guò)對(duì)某機(jī)翼在大迎角范圍內(nèi)做俯仰運(yùn)動(dòng)時(shí)升力系數(shù)、阻力系數(shù)和俯仰力矩系數(shù)包含初始非穩(wěn)定過(guò)程在內(nèi)的全過(guò)程準(zhǔn)確預(yù)測(cè)，驗(yàn)證了所用方法對(duì)非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程非定常氣動(dòng)力的預(yù)測(cè)能力。

3) 通過(guò)選擇和設(shè)計(jì)合理的訓(xùn)練輸入以激勵(lì)系統(tǒng)的非線性特征，代替了常見(jiàn)的以多個(gè)強(qiáng)迫振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為輸入，簡(jiǎn)化了訓(xùn)練過(guò)程，避免了以滯環(huán)預(yù)測(cè)滯環(huán)。在輸入的形式選擇上考慮到氣動(dòng)力對(duì)運(yùn)動(dòng)過(guò)程的依賴，舍棄了常見(jiàn)的以減縮頻率為參數(shù)，建立了不依賴于頻率的能反映任意運(yùn)動(dòng)過(guò)程的具有普遍意義的氣動(dòng)力模型。

4) 開始運(yùn)動(dòng)的基準(zhǔn)狀態(tài)對(duì)氣動(dòng)力的非穩(wěn)定動(dòng)態(tài)過(guò)程存在明顯影響。在某些情況下，初始非穩(wěn)定過(guò)程會(huì)和穩(wěn)定滯環(huán)重合，即差異表現(xiàn)不明顯，但在其他情況下，初始非穩(wěn)定過(guò)程會(huì)和穩(wěn)定滯環(huán)存在顯著區(qū)別。