基于部分補(bǔ)償干涉的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量

胡 搖， 李騰飛， 郝 群， 常 旭

(1.北京理工大學(xué)光電學(xué)院精密光電測(cè)試儀器及技術(shù)北京市重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100081；2.中國(guó)北方車(chē)輛研究所，北京100072)

1 引 言

非球面光學(xué)元件廣泛應(yīng)用于各種光學(xué)儀器中，用來(lái)改變光路、校正像差、改善像質(zhì)、減少光學(xué)系統(tǒng)的體積和重量[1，2]。特別是在天文望遠(yuǎn)鏡，外太空望遠(yuǎn)鏡和衛(wèi)星遙感相機(jī)領(lǐng)域，高精度的非球面起著十分重要的作用[3，4]。

非球面的加工誤差可以分為兩類：面形誤差(surface figure error，SFE)和面形參數(shù)誤差。面形誤差是被測(cè)面與標(biāo)稱面之間的不規(guī)則偏差，可以通過(guò)干涉儀[1]和輪廓儀[5]進(jìn)行測(cè)量；面形參數(shù)誤差包括頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差和二次常數(shù)加工誤差。其中，頂點(diǎn)曲率半徑(vertex radius of curvature，VROC)加工誤差是指非球面的實(shí)際頂點(diǎn)曲率半徑與理想值之間的偏差，它影響非球面的基本性質(zhì)，比如非球面的焦距，進(jìn)而影響光學(xué)系統(tǒng)的像差和成像質(zhì)量。精確測(cè)量非球面的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差對(duì)光學(xué)面的加工制造和校準(zhǔn)是非常重要的，一直以來(lái)是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題。

作為參考，傳統(tǒng)的球面曲率半徑測(cè)量方法是“貓眼和共焦位置”法，即通過(guò)自準(zhǔn)直或干涉條紋判讀法來(lái)精確定位貓眼位置和共焦位置兩點(diǎn)，并測(cè)得這兩點(diǎn)之間的距離來(lái)獲得曲率半徑[5，6];而非球面的幾何關(guān)系較為復(fù)雜，通常很難直接找到其共焦位置，為頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的測(cè)量帶來(lái)一定的困難。按照是否接觸被測(cè)面，非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的主要測(cè)量方法可以分為兩類：接觸式測(cè)量方法和非接觸式測(cè)量方法。

接觸式測(cè)量方法是利用輪廓儀[5，7，8]和三坐標(biāo)機(jī)[9～12]，對(duì)被測(cè)非球面進(jìn)行逐點(diǎn)測(cè)量，通過(guò)曲面擬合計(jì)算其頂點(diǎn)曲率半徑，進(jìn)而與理想值比對(duì)計(jì)算加工誤差。但是，該方法容易受到掃描非正交性的影響，引入較大的系統(tǒng)誤差[13]。測(cè)量?jī)x器接觸被測(cè)面，一般情況下要求被測(cè)面進(jìn)行拋光處理；在測(cè)量過(guò)程中，測(cè)量?jī)x器和被測(cè)非球面均會(huì)因擠壓而產(chǎn)生磨損和變形，影響測(cè)量結(jié)果；對(duì)環(huán)境要求高，靜電、灰塵和震動(dòng)等均會(huì)使測(cè)量精度降低[8，13，14]。

非接觸式測(cè)量方法不會(huì)造成被測(cè)面的損傷，測(cè)量結(jié)果精度較高，受到越來(lái)越多的關(guān)注。進(jìn)一步對(duì)非接觸式測(cè)量方法進(jìn)行細(xì)分，包含非干涉測(cè)量方法與干涉測(cè)量方法兩大類。對(duì)于非干涉測(cè)量方法，一種常用的方法是使用激光掃描輪廓儀[15]來(lái)獲得被測(cè)面的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差，其相對(duì)測(cè)量精度可以達(dá)到0.02%。哥倫比亞國(guó)立大學(xué)的Mejía等基于哈特曼光闌檢驗(yàn)[16]，提出了一種Null screen方法來(lái)測(cè)量二次曲面的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差[17]，相對(duì)測(cè)量精度可以達(dá)到0.15%，但是該方法存在Null screen只能測(cè)量某一個(gè)特定類型的非球面的問(wèn)題，導(dǎo)致其動(dòng)態(tài)測(cè)量范圍較窄;普埃布拉州立大學(xué)的Diaz-Uribe[18，19]、清華大學(xué)王浩[2]和中國(guó)科學(xué)院光電技術(shù)研究所的黃傳科[20]等基于法線像差的幾何性質(zhì)，進(jìn)行非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的測(cè)量，相對(duì)測(cè)量精度可以達(dá)到0.5%。這類方法的原理均較為簡(jiǎn)單，但是由于儀器和設(shè)備的制約，相對(duì)測(cè)量精度或者測(cè)量范圍受到一定的限制。

對(duì)于干涉測(cè)量方法，一般是通過(guò)零位補(bǔ)償干涉來(lái)獲得非球面的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差[21，22]。漢茨維爾阿拉巴馬大學(xué)的Robinson等通過(guò)零位干涉系統(tǒng)獲得的相對(duì)測(cè)量精度優(yōu)于0.1%[23]；但是，一種零位補(bǔ)償器或者零位全息圖(computer generated hologram，CGH)只能測(cè)量某一個(gè)特定類型的非球面，測(cè)量范圍窄，周期長(zhǎng)，開(kāi)發(fā)成本較高。而基于部分補(bǔ)償干涉(partial compensation interferometry，PCI)的非球面測(cè)量可以在提高相對(duì)測(cè)量精度的同時(shí)拓寬測(cè)量范圍，具有較廣的應(yīng)用前景；然而，傳統(tǒng)的PCI系統(tǒng)只能測(cè)量非球面的面形誤差，無(wú)法獲得非球面的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差。目前，僅有浙江大學(xué)楊甬英等提出了一種基于部分零位干涉的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量方法[24]，使用部分零位干涉系統(tǒng)的多重結(jié)構(gòu)模型進(jìn)行同步優(yōu)化，同時(shí)獲得被測(cè)非球面的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差和面形誤差，其相對(duì)測(cè)量精度可以優(yōu)于0.025%；該方法使用的干涉系統(tǒng)多重結(jié)構(gòu)模型，可能會(huì)導(dǎo)致波前相位的測(cè)量逐漸積累誤差，最終影響整個(gè)系統(tǒng)的測(cè)量精度。

本文首先針對(duì)PCI系統(tǒng)中頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差與面形誤差的耦合問(wèn)題，提出旋轉(zhuǎn)對(duì)稱非球面的誤差分離原理，從而消除面形誤差中耦合的部分頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差；然后，在分析PCI系統(tǒng)的剩余波前像差的基礎(chǔ)上，建立初級(jí)球差項(xiàng)與頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的關(guān)系；最后，提出一種基于PCI的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量方法，在簡(jiǎn)化測(cè)量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的高精度測(cè)量。

2 基本測(cè)量原理

2.1 部分補(bǔ)償干涉法的原理

光學(xué)系統(tǒng)中用非球面光學(xué)元件可以在增強(qiáng)像差的同時(shí)減少系統(tǒng)中光學(xué)元件的數(shù)量。但是如果將非球面光學(xué)元件和它所屬的系統(tǒng)分開(kāi)，那么在進(jìn)行非球面檢測(cè)時(shí)，該元件會(huì)產(chǎn)生非球面波前;而在干涉系統(tǒng)中，非球面波前與參考波前干涉的條紋密度很可能超過(guò)探測(cè)器的分辨率，因此非球面波前自身的檢測(cè)要比球面波前或者平面波前較困難[16]。

零位補(bǔ)償干涉法通過(guò)使用零位補(bǔ)償器把非球面波前完全轉(zhuǎn)化為球面波前或者平面波前，然后與參考波前進(jìn)行干涉，對(duì)其結(jié)果進(jìn)行分析計(jì)算，即可獲得被測(cè)非球面光學(xué)元件的相關(guān)信息;PCI法則使用部分補(bǔ)償器減小干涉系統(tǒng)剩余波前的最大斜率，使得干涉條紋的密度滿足探測(cè)器分辨率的要求[25]，同時(shí)具有較高的精度、較大的動(dòng)態(tài)范圍和一定的通用性。

PCI法用于非球面面形誤差測(cè)量的原理如圖1所示，包括1臺(tái)實(shí)際干涉儀以及1臺(tái)通過(guò)計(jì)算機(jī)建立的虛擬干涉儀，PC是部分補(bǔ)償器(partial compensator)。在實(shí)際干涉儀中，采用實(shí)際PC補(bǔ)償被測(cè)非球面，從而得到包含被測(cè)面誤差信息的一幅實(shí)際干涉圖；在計(jì)算機(jī)中，根據(jù)實(shí)際干涉光路，在被測(cè)面位置虛設(shè)與被測(cè)非球面對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)非球面，并代入已知的PC參數(shù)，用光線追跡的方法得到4幅移相虛擬干涉圖。采用數(shù)字莫爾移相干涉技術(shù)比較處理實(shí)際干涉圖與虛擬干涉圖，即可得到被測(cè)非球面的面形誤差信息[3，26]。

圖1 部分補(bǔ)償干涉法原理圖Fig.1 Schematic diagram of partial compensation interferometry

對(duì)頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量而言，與零位補(bǔ)償干涉系統(tǒng)不同，PCI系統(tǒng)不存在零位置，無(wú)法確定實(shí)際被測(cè)面和虛擬被測(cè)面的相對(duì)位置，使部分頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差信息被離焦補(bǔ)償而丟失，而無(wú)法直接獲得非球面的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差;同時(shí)頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差與面形誤差耦合。為有效分離2種誤差，并發(fā)揮PCI方法的優(yōu)勢(shì)，基于PCI本文進(jìn)行了非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量的研究。

2.2 誤差分離原理

該原理的目的是將頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差剔除，得到完整的面形誤差信息。光學(xué)系統(tǒng)中通常采用的是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱非球面，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)Z軸為非球面的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸，非球面的頂點(diǎn)P與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，可以建立非球面的曲面方程，用以表征非球面的面型，其關(guān)系式可表示為[16]：

(1)

式中：S2=x2+y2；|S|表示非球面上任意一點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)對(duì)稱軸的徑向距離；R0是非球面的頂點(diǎn)曲率半徑；K0是二次曲面常數(shù)，K0=-e2，e為二次曲面的偏心率；A2i是高次非球面系數(shù)。

對(duì)式(1)進(jìn)行麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)(McLaurin series expansion)，可以獲得：

(2)

式中D2i為非球面形變系數(shù)。

2.3 非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量的原理

在獲得去離焦面形誤差的基礎(chǔ)上，研究剩余波前像差的初級(jí)球差項(xiàng)與頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的關(guān)系，可以得到基于PCI的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量方法。

首先，對(duì)PCI系統(tǒng)的剩余波前像差進(jìn)行研究。圖2為部分補(bǔ)償干涉系統(tǒng)測(cè)量臂的結(jié)構(gòu)示意圖，SUT表示被測(cè)非球面(aspheric surface under test，SUT)；剩余波前經(jīng)由理想透鏡匯聚在像平面處，然后與參考球面波干涉形成部分補(bǔ)償干涉圖。

圖2 部分補(bǔ)償干涉系統(tǒng)測(cè)量臂結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Sketch map of the measured arm of the partial compensation interferometer

在PCI系統(tǒng)中，SUT的球差并沒(méi)有被完全補(bǔ)償，存在部分余量，從SUT處反射的光線不沿原路返回，剩余波前為非球面波前，系統(tǒng)存在一定的剩余波前像差。當(dāng)沿光軸方向移動(dòng)SUT時(shí)，剩余波前的分布會(huì)發(fā)生變化，即系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生額外的剩余波前像差，且種類與原剩余波前像差一致，不會(huì)產(chǎn)生新的像差分量。鑒于PCI系統(tǒng)是以補(bǔ)償球差為主，這里只考慮剩余波前像差中的球差分量，將其變化量記為ΔWS(Δl)，其中Δl是SUT沿光軸方向的位置變化量，其關(guān)系可以表示為[27]：

(3)

為了便于分析和研究，需建立Zernike初級(jí)球差系數(shù)與Δl的關(guān)系。一般用Zernike多項(xiàng)式的前九項(xiàng)表示初級(jí)像差，對(duì)其進(jìn)行合并同類項(xiàng)和等價(jià)替換，可以得到球差分量的變化量表達(dá)式：

ΔWS(Δl)=6·ΔZ8·S4

(4)

式中：ΔZ8是Zernike多項(xiàng)式的第9項(xiàng)系數(shù)的變化，可以用來(lái)表示初級(jí)球差的變化。

可知，ΔZ8與Δl成正比[27]，則Z8隨SUT沿光軸方向的位移滿足直線關(guān)系：

Z8(Δl)=k·Δl+b

(5)

式中：k和b分別是直線的斜率和截距。

然后，對(duì)初級(jí)球差項(xiàng)Z8與頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差ΔR的關(guān)系進(jìn)行研究。構(gòu)造4種不同的SUT形式用于像差分析。

(1) 實(shí)際SUT：同時(shí)包含去離焦面形誤差和頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差，記為SR，其剩余波前的初級(jí)球差用Z8R來(lái)表示；

(2) 虛擬SUT：只包含去離焦面形誤差，記為SF，其剩余波前的初級(jí)球差用Z8F來(lái)表示；

(3) 構(gòu)造SUT：只包含頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差，記為SC，其剩余波前的初級(jí)球差用Z8C來(lái)表示；

(4) 理想SUT：不包含任何加工誤差，記為SV，其剩余波前的初級(jí)球差用Z8V來(lái)表示。

如果沿光軸方向移動(dòng)SR、SF、SC和SV相同的距離Δl，根據(jù)式(5)，Z8R、Z8F、Z8C、Z8V的數(shù)值變化均滿足直線關(guān)系，則Z8R-Z8F和Z8C-Z8V也是直線，記Z8R-Z8F=Z8RF，則有：

Z8RF=kRF·Δl+bRF

(6)

式中：kRF和bRF分別是直線的斜率和截距。

同理，記Z8C-Z8V=Z8CV，則有：

Z8CV=kCV·Δl+bCV

(7)

式中：kCV和bCV分別是直線的斜率和截距。

大量仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：式(6)和式(7)表示的兩條直線具有較好的平行關(guān)系，即kRF≈kCV；而kCV與非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差ΔR近似成正比，即

kCV=α·ΔR+β

(8)

式中：α是比例系數(shù)；β是直線的截距。在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)確定后，無(wú)需實(shí)際被測(cè)面即可通過(guò)光學(xué)設(shè)計(jì)軟件進(jìn)行預(yù)先標(biāo)定。

因此，利用包含實(shí)際SUT的實(shí)際PCI和包含理想SUT的虛擬PCI系統(tǒng)1采用數(shù)字莫爾移相干涉測(cè)量得到的結(jié)果，以及包含虛擬SUT的虛擬PCI系統(tǒng)2模擬得到的結(jié)果，即可擬合得到式(6)所示直線和kRF；根據(jù)kRF≈kCV以及預(yù)先標(biāo)定得到的α和β，利用式(8)，即可求得實(shí)際SUT的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差ΔR。

3 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與測(cè)量流程

建立圖3所示的基于PCI的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量系統(tǒng)框圖，使用虛擬PCI系統(tǒng)1和實(shí)際PCI系統(tǒng)來(lái)測(cè)量實(shí)際SUT(即SR)位于光軸不同位置時(shí)的剩余波前像差，使用虛擬PCI系統(tǒng)2來(lái)獲得虛擬SUT(即SF)位于光軸不同位置時(shí)的球差Z8F，具體測(cè)量流程為：

(1) 確定補(bǔ)償鏡和被測(cè)鏡名義參數(shù)后，預(yù)先建模構(gòu)造SUT，標(biāo)定求解kCV與ΔR的關(guān)系，計(jì)算其比例系數(shù)α和截距β；

(2) 基于PCI法和誤差分離原理，獲得實(shí)際SUT的去離焦面形誤差；

(3) 利用虛擬PCI系統(tǒng)1和實(shí)際PCI系統(tǒng)，通過(guò)數(shù)字莫爾移相干涉技術(shù)，計(jì)算實(shí)際SUT(包含面形誤差和頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差)位于光軸不同位置Δl時(shí)的剩余波前球差Z8R；

(4) 利用虛擬PCI系統(tǒng)2，獲得虛擬SUT(包含去離焦面形誤差)位于光軸不同位置Δl時(shí)的球差Z8F；

(5) 計(jì)算Z8R-Z8F，對(duì)其與Δl關(guān)系進(jìn)行擬合，計(jì)算斜率kRF，利用kRF≈kCV獲得kCV；

(6) 利用式(8)計(jì)算實(shí)際SUT的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差ΔR。

圖3 基于PCI的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量系統(tǒng)框圖Fig.3 Diagram of fabrication error measuring system for the VROC of aspheric surface based on PCI

4 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

在第2.3節(jié)闡述的測(cè)量原理中，ΔZ8與Δl成正比是嚴(yán)格滿足的，但式(6)和式(7)表示的兩條直線具有較好的平行關(guān)系，即kRF≈kCV是近似關(guān)系，且式(8)所示線性關(guān)系也是近似的，因此有必要通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證上述原理的精度和可行性。

利用ZEMAX對(duì)基于PCI的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量法進(jìn)行驗(yàn)證，理想非球面參數(shù)：R0=1 179.45 mm，D=580 mm，K0=-0.499 4，非球面度107.1λ，激光器的波長(zhǎng)為550 nm。仿真實(shí)驗(yàn)中，實(shí)際PCI系統(tǒng)也由ZEMAX軟件仿真完成。以Zernike多項(xiàng)式的形式來(lái)向?qū)嶋HSUT添加面形誤差，其值為：第5項(xiàng)至第18項(xiàng)和第20項(xiàng)系數(shù)10-4，相應(yīng)的分布如圖4所示。向?qū)嶋HSUT添加的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差為1.54 mm，即實(shí)際SUT的頂點(diǎn)曲率半徑為1 180.99 mm。

圖4 向?qū)嶋HSUT添加的面形誤差分布Fig.4 The distribution of surface error added to the real SUT

首先，求解kCV與ΔR的關(guān)系，結(jié)果如圖5所示，其比例系數(shù)α=0.475 5，截距β=0.003 2。

圖5 kCV與ΔR的關(guān)系Fig.5 The relationship between kCV and ΔR

其次，分別將實(shí)際SUT和虛擬SUT置于光軸的不同位置Δl，共取相隔0.5 mm的9個(gè)采樣點(diǎn)，計(jì)算其剩余波前球差Z8R和Z8F。

然后，計(jì)算Z8R-Z8F，并對(duì)Z8RF和Δl的關(guān)系進(jìn)行擬合，結(jié)果如圖6所示，斜率kRF=0.740 5。

圖6 Z8RF和Δl的關(guān)系Fig.6 The relationship between Z8RF and Δl

最后，kCV=kRF=0.740 5，根據(jù)式(8)，計(jì)算實(shí)際SUT的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差ΔR=1.56 mm。

對(duì)比引入頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差真值1.54 mm，結(jié)果的相對(duì)測(cè)量精度為(ΔR-1.54)/R0=0.002%。

向非球面添加不同的頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差，可以得到如表1所示的結(jié)果。

表1 不同頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的測(cè)量結(jié)果Tab.1 Measuring results of VROC fabrication error

5 結(jié) 論

針對(duì)當(dāng)前部分補(bǔ)償干涉法中缺少頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量方法的現(xiàn)狀，本文提出一種基于部分補(bǔ)償干涉的非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差測(cè)量方法，以部分補(bǔ)償干涉系統(tǒng)的剩余波前像差為切入點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行分析和研究，得到了初級(jí)球差項(xiàng)與頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的關(guān)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的高精度測(cè)量。

該方法的原理相對(duì)測(cè)量精度仿真結(jié)果優(yōu)于0.003%，實(shí)際測(cè)量時(shí)其限制因素包括：(1) 測(cè)量過(guò)程中的曲面擬合、Zernike多項(xiàng)式擬合和直線擬合引入的誤差；(2) 系統(tǒng)測(cè)量誤差，如面形誤差測(cè)量偏差和實(shí)際被測(cè)非球面沿光軸方向的位移偏差等；(3) 環(huán)境因素的干擾，如光學(xué)平臺(tái)的振動(dòng)、大氣擾動(dòng)等。對(duì)上述誤差源進(jìn)行限制和校準(zhǔn)，可以進(jìn)一步提高非球面頂點(diǎn)曲率半徑加工誤差的相對(duì)測(cè)量精度。