圖形規(guī)律問題解題策略

陸新亞

“找規(guī)律”是一個探究事物之間內在聯(lián)系或變化趨勢的過程。中考中常出現(xiàn)的圖形規(guī)律問題，可以從數(shù)字規(guī)律或數(shù)形結合等角度尋找解決問題的策略。本文結合考題，和同學們一起探索這類問題的解題策略。

類型1：從算式中尋找規(guī)律

例1（2018·江蘇徐州）如圖1，每個圖案均由邊長相等的黑、白兩色正方形按規(guī)律拼接而成，照此規(guī)律，第n個圖案中白色正方形比黑色正方形多個。（用含n的代數(shù)式表示）

【解析】方法一：觀察圖形，分別尋找每個圖形中的正方形總個數(shù)和黑、白兩色正方形個數(shù)的規(guī)律，從而解決問題。

第1個圖形黑、白兩色正方形共3×3個，其中黑色1個，白色3×3-1個;

第2個圖形黑、白兩色正方形共3×5個，其中黑色2個，白色3×5-2個;

第3個圖形黑、白兩色正方形共3×7個，其中黑色3個，白色3×7-3個;

......

依此類推，第n個圖形黑、白兩色正方形共3×（2n+1）個，其中黑色n個，白色3×（2n+1）-n個，即白色正方形5n+3個，故第n個圖案中白色正方形比黑色正方形多4n+3個。

方法二：尋找后一個圖形與前一個圖形之間的聯(lián)系和變化，發(fā)現(xiàn)增加的個數(shù)，從而尋找規(guī)律。

第1個圖形白色正方形共8個，黑色1個，白色比黑色多7個;

第2個圖形相比第1個圖形，白色比黑色又多了4個，即白色比黑色多7+4個;

第3個圖形相比第2個圖形，白色比黑色又多了4個，即白色比黑色多7+4x2個;

......

依此類推，第n個圖案中白色正方形比黑色正方形多7+4（n一1）個，即4n+3個。

【點評】我們在求解這道題時，要先從特殊情況出發(fā)，用前三個具體數(shù)據(jù)逐步發(fā)現(xiàn)規(guī)律。既可以從代數(shù)規(guī)律角度研究，也可以結合圖形去尋找規(guī)律。我們在尋找規(guī)律時，不一定要把具體數(shù)據(jù)算出來，而應該尋找每一種方法的規(guī)律。

類型2：從圖形分割中尋找規(guī)律

例2下列圖形都是由同樣大小的▲按一定規(guī)律組成的，其中第1個圖形中一共有6個▲;第2個圖形中一共有9個▲;第3個圖形中一共有12個▲......按此規(guī)律排列，則第2019個圖形中▲的個數(shù)為（）。

【解析】如下圖，將圖形分割，可以發(fā)現(xiàn)，后一個圖形比前一個圖形多3個▲，所以第2019個圖形比第一個圖形多2018個3，從而第2019個圖形中▲的個數(shù)為6+3×2018=6060。故選D。

【點評】本題根據(jù)圖形擺放的方式，將圖形合理分割，尋找前后兩個圖之間的聯(lián)系。也可以從代數(shù)角度出發(fā)，根據(jù)前三個圖形的三角形個數(shù)是6、9、12，從而發(fā)現(xiàn)規(guī)律為3（n+1）。

類型3：尋找循環(huán)的周期

例3（2017·江蘇連云港）如圖2所示，一動點從半徑為2的⊙O上的A0點出發(fā)，沿著射線A0O方向運動到⊙O上的點A1處，再向左沿著與射線A1O夾角為60°的方向運動到⊙O上的點A2處;接著又從A2點出發(fā)，沿著射線A2O方向運動到⊙O上的點A3處，再向左沿著與射線A3O夾角為60°的方向運動到⊙O上的點A4處......按此規(guī)律運動到點A2017處，則點A2017與點A0間的距離是（）。

【解析】如圖2，由題意得，⊙O的半徑為2，A0A1=4，A0A2=23，A0A3=2，A0A4=23，A0A5=2，A0A6=0，A0A7=4......

∵2017÷6=336...1，

∴按此規(guī)律運動到點A2017處，A2017與A1重合，∴A0A2017=A0A1=4。

【點評】解題的關鍵是尋找循環(huán)的周期。只要計算前幾個具體數(shù)據(jù)，當發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)相同情況，循環(huán)的周期就找到了。

類型4：結合圖形性質尋找規(guī)律

例4（2018·江蘇淮安）如圖3，在平面直角坐標系中，直線l為正比例函數(shù)y=x的圖像，點A1的坐標為（1，0），過點A1作x軸的垂線交直線l于點點C1作直線l的垂線，垂足為A2，交x軸于點B2，以A2B2為邊作正方形A2B2C2D2;過點C2作x軸的垂線，垂足為A3，交直線l于點D3，以A3D3為邊作正方形A3B3C3D3......按此規(guī)律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面積是

【解析】∵直線l為正比例函數(shù)y=x的圖像，∴∠D1OA1=45°，

由9規(guī)律可知正方形AnBnCnDn的面積為（2）n-1。

【點評】本題考查了正方形的性質、一次函數(shù)圖像上點的坐標特征，根據(jù)一次函數(shù)解析式得到∠DOA=1145°，正確找出規(guī)律是解題的關鍵。

（作者單位：江蘇省常州市北環(huán)中學）