一類具有狀態(tài)脈沖反饋控制的害蟲治理模型

黃立壯，劉瓊*,，陳武大仁，馬藝銘

(1.北部灣大學(xué)理學(xué)院，廣西欽州535011；2.廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，廣西南寧530004)

數(shù)學(xué)模型在農(nóng)業(yè)生態(tài)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛，尤其是在害蟲防治方面，從早期文獻(xiàn)[1-5]可以看出，生態(tài)學(xué)家一直在尋找理想的病蟲害治理方法，他們?cè)噲D通過建立數(shù)學(xué)模型，根據(jù)模型分析種群之間的性態(tài)，從而實(shí)施生物防治。生態(tài)數(shù)學(xué)愛好者對(duì)生物防治有極大的興趣[6-7]。生物防治方法很多，例如利用微生物防治方法治理病蟲害[8]。也有利用捕食性天敵捕食害蟲，從而達(dá)到消滅病蟲害[9]。人們發(fā)現(xiàn)利用單一的生物防治并不能有效地控制病蟲害，有學(xué)者提出實(shí)施有害生物綜合治理的方法(也稱為IPM防治策略)，并取得一定成果[10-11]。

最近十多年以來，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)病蟲害研究進(jìn)入了一個(gè)新的階段，病蟲害防治取得了一些顯著的成果，歸納起來主要有兩類，第一類采用化學(xué)實(shí)施治理病蟲害，但是隨著時(shí)間推移，害蟲體內(nèi)產(chǎn)生抵抗耐藥性，很難殺死害蟲。同時(shí)，農(nóng)藥的使用也會(huì)對(duì)環(huán)境產(chǎn)生一定的危害。第二類實(shí)施害蟲綜合防治策略[9,12]，在害蟲治理過程，不單純使用農(nóng)藥，要結(jié)合實(shí)施釋放害蟲的天敵共同治理害蟲，把害蟲數(shù)量控制在農(nóng)作物能承受的范圍內(nèi)(EI，也稱為防治指標(biāo)的閾值)，一旦害蟲達(dá)不到這個(gè)閾值并不需要實(shí)施害蟲治理。在害蟲治理過程，天敵的投放和噴灑農(nóng)藥的過程，用微分方程刻畫并不是十分準(zhǔn)確，因?yàn)樘鞌车耐斗藕蛧姙⑥r(nóng)藥的過程，包含兩部分，瞬時(shí)和連續(xù)狀態(tài)，此時(shí)宜采用半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)刻畫，更能反映害蟲治理的客觀實(shí)際。從提出半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)理論應(yīng)用于害蟲治理以來，許多生態(tài)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛好者熱衷于半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的害蟲治理模型研究[13-14]。文獻(xiàn)[15-16]研究了害蟲治理的狀態(tài)脈沖模型，系統(tǒng)研究了模型具有的性態(tài)，討論了模型存在階1周期解的充分條件以及存在階1周期解軌道穩(wěn)定的若干條件。從以上文獻(xiàn)可以看出，學(xué)者建立病蟲害脈沖微分方程基本涉及線性微分方程或非線性微分方程。對(duì)于含時(shí)滯脈沖微分方程治理模型研究成果相對(duì)少，文獻(xiàn)[17]針對(duì)害蟲治理的實(shí)際問題，建立了一類脈沖微分方程害蟲治理模型,采用半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)幾何理論以及微分方程定性理論，證明階1周期解存在需要滿足一定的參數(shù)條件，當(dāng)存在階1周期解時(shí)，采用新的幾何方法證明其階1周期解軌道是穩(wěn)定的。

基于上述文獻(xiàn)分析，下面筆者考慮一類具有狀態(tài)脈沖反饋控制的害蟲治理模型，研究建立的害蟲治理模型階1周期解存在的充分條件，在階1周期解存在時(shí)，采用新的幾何方法證明其軌道是漸近穩(wěn)定的，這些研究結(jié)論可為害蟲治理提供立理論參考依據(jù)。

在文獻(xiàn)[17]考慮了如下模型。

(1)

(2)

其中b表示不飽和狀態(tài)下害蟲種群密度增長系數(shù)，c表示密度制約系數(shù)，相關(guān)的生物參數(shù)意義見系統(tǒng)(1),為了弄清系統(tǒng)(2)所具有的種群性態(tài)，下面作自變數(shù)變換，令dτ=(k+blnx(t))dt，為方便記憶，作變換后扔把τ記為t，則系統(tǒng)(2)化為如下等價(jià)系統(tǒng):

(3)

(4)

為方便記憶，仍把u(t),v(t)分別記為x(t),y(t)，文中出現(xiàn)的x,y均指的是x(t),y(t)。則系統(tǒng)(4)改為如下系統(tǒng)。

(5)

由于系統(tǒng)(2)與系統(tǒng)(5)為等價(jià)系統(tǒng)，可通過研究系統(tǒng)(5)具有性態(tài)，便知道系統(tǒng)(2)所有的性態(tài)。

1 相關(guān)定義和引理

定義1考慮如下狀態(tài)脈沖微分方程[18]:

(6)

定義2若在相集上N，?p∈N且?T1滿足f(p,T1)=q1∈M{x,y}，而且脈沖映射φ(q1)=φ(f(p,T1))=p∈N{x,y}，則f(p,T1)稱為階1周期解[18]，其周期為T1，見圖1。

定義3脈沖集用M表示，相集用N表示，脈沖集M以及相集N都是直線，見圖2所示。設(shè)相集N與x軸的交點(diǎn)為Q，一條軌線從相集N上點(diǎn)E出發(fā)，交于脈沖集M上的點(diǎn)G，在脈沖映射作用下，交于相集N上點(diǎn)E1，則點(diǎn)E1為點(diǎn)E的后繼點(diǎn)，相集N上點(diǎn)E1、E與x軸距離分別用e1、e表示，則點(diǎn)E的后繼函數(shù)G(E)=e1-e。

圖1 階1周期解示意圖Fig.1 Order-1 periodic solution diagram

圖2 后繼函數(shù)G(E)=e1-eFig.2 Successor function G(E)=e1-e

定義4假設(shè)Γ是系統(tǒng)(5)半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)周期解，若?ε>0，3，?δ>0,T1≥0,相集上點(diǎn)p鄰域U(p,δ), ?p1∈U(p,δ)，?p1∈U(p,δ)，則以p1為初始點(diǎn)的半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)的軌線f(p1,t)，當(dāng)t≥T1時(shí)，有ρ(f(p1,t),Γ)<ε，Γ稱為是軌道穩(wěn)定的。

引理1后繼函數(shù)G(E)是連續(xù)的[18]。

引理2設(shè)連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(X,Π)，若?x1,x2∈M,M是脈沖相集，使得后繼函數(shù)G(x1)·G(x2)<0, 則在x1,x2之間?E使得G(E)=0。由零點(diǎn)定理可得，則在x1,x2之間必有過E的階1周期解[19]。

引理3(Bendixon-Dulac判別法)考慮系統(tǒng)

(7)

引理4考慮如下線性脈沖函數(shù)狀態(tài)脈沖系統(tǒng)[20]。

(8)

若半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)(8)有如圖1的階1周期解pq1，且滿足如下條件：

①P(x,y),Q(x,y)對(duì)x,y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

②系統(tǒng)(8)有階1周期解pq1且其周期為T；

③微分方程軌線與相集N僅有一個(gè)交點(diǎn)p，而且在p點(diǎn)相交不相切；

④軌線pq1與脈沖q1線p構(gòu)成簡(jiǎn)單凸閉曲線。

2 連續(xù)系統(tǒng)正平衡點(diǎn)的定性分析

在系統(tǒng)(5)中，當(dāng)β=0時(shí)，系統(tǒng)變成如下連續(xù)的微分方程：

(9)

令:

(10)

2.1 平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性

定理1系統(tǒng)(5)唯一的正平衡點(diǎn)E*(x1,y1)是局部漸近穩(wěn)定的。

綜上分析可得,系統(tǒng)(5)僅有的正平衡點(diǎn)E*(x1,y1)是局部漸近穩(wěn)定的。

圖3 系統(tǒng)(5)一致有界區(qū)域ΩFig.3 System (5) uniformly bounded domain Ω

定理3系統(tǒng)(5)唯一的正平衡點(diǎn)E*(x1,y1)是全局漸近穩(wěn)定的。

3 階1周期解的存在性及其穩(wěn)定性

由前面分析可知，當(dāng)正參數(shù)k,a,b,c,r取不同值時(shí)，則系統(tǒng)(5)唯一的正平衡點(diǎn)E*(x1,y1)是穩(wěn)定的焦點(diǎn)或者是穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，下面分別討論。

3.1 焦點(diǎn)型時(shí)階1周期解的存在性

當(dāng)01時(shí)，lnh>0，根據(jù)正平衡點(diǎn)橫坐標(biāo)x1與脈沖集lnh的關(guān)系一共分三種情況，下面以定理的形式給出，見如下定理：

定理4①若0

②若(1-β)lnh

③若x1<(1-β)lnh

圖4 系統(tǒng)(5)滿足0

圖5 系統(tǒng)(5)滿足0

②采用①相同的方法可證，若(1-β)lnh

圖6 系統(tǒng)(5)滿足(1-β)lnh

③若x1<(1-β)lnh

圖7 系統(tǒng)(5)滿足x1<(1-β)lnh

軌線L1,L2與相集、脈沖集均不相交，由前面分析可知，唯一的正平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定。系統(tǒng)所有的軌線均趨向于這個(gè)平衡點(diǎn)，由此可得，在平衡點(diǎn)附近存在一個(gè)吸引域，經(jīng)過充分長的時(shí)間，這些軌線停留在吸引域內(nèi)部，不再跑出吸引域外面。也就是說害蟲的危害水平處在經(jīng)濟(jì)閥值下，害蟲數(shù)量達(dá)不到設(shè)定監(jiān)控上限，不需要對(duì)害蟲進(jìn)行脈沖控制，也不需要對(duì)害蟲進(jìn)行治理。

3.2 結(jié)點(diǎn)型時(shí)階1周期解的存在性

根據(jù)前面分析，同樣有，當(dāng)h>1時(shí)，lnh>0，根據(jù)正平衡點(diǎn)橫坐標(biāo)x1與脈沖集lnh的關(guān)系只有一種情況，存在階1周期解，下面以定理的形式給出，見下定理：

定理5若0

當(dāng)0

3.3 階1周期解穩(wěn)定性

設(shè)系統(tǒng)(5)的階1周期為T,滿足定理4和定理5階1周期解存在條件時(shí)，它的階1周期解軌道T穩(wěn)定性，由如下定理確定。

定理6若系統(tǒng)(5)存在階1周期解，則階1周期解T的軌道是漸近穩(wěn)定的。

證明只要系統(tǒng)(5)滿足引理4的四個(gè)條件即可，下面進(jìn)行驗(yàn)證。

①可見P(x,y)=r-rcky-rbcxy對(duì)x,y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，Q(x,y)=ax-ay對(duì)x,y有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

②系統(tǒng)(5)有階1周期解EE1且其周期為T,從圖4、圖5、圖6、圖8均可以看出；

③微分方程軌線與相集N僅有一個(gè)交點(diǎn)p，而且在p點(diǎn)相交不相切，從圖4、圖5、圖6、圖8軌線的幾何結(jié)構(gòu)可以看出。

④從圖4、圖5、圖6、圖8可以看出軌線EE1與脈沖E1線E構(gòu)成簡(jiǎn)單凸閉曲線；

4 結(jié)語

論文建立了一類具有狀態(tài)脈沖反饋控制的害蟲治理模型,利用半連續(xù)動(dòng)力系統(tǒng)幾何理論探究害蟲治理模型階1周期解存在的若干充分條件,借用脈沖微分方程理論證明系統(tǒng)存在階1周期解情況下,其 階1周期解軌道是穩(wěn)定的。 從種群的生態(tài)意義來說，害蟲數(shù)量在平衡點(diǎn)附近處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，害蟲種群數(shù)量永遠(yuǎn)達(dá)不到設(shè)定的經(jīng)濟(jì)閾值，不需要人工脈沖干預(yù)。假如害蟲數(shù)量達(dá)到設(shè)定的經(jīng)濟(jì)閾值，影響害蟲種群的動(dòng)態(tài)平衡，則需要實(shí)施人工脈沖干預(yù)，使害蟲數(shù)量控制在經(jīng)濟(jì)閾值之下，從而實(shí)現(xiàn)害蟲數(shù)量處于周期性穩(wěn)定的動(dòng)態(tài)平衡中，這對(duì)保護(hù)種群的良性發(fā)展具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。