比率型3種群混合模型正周期解的存在性

吳新民

(邵陽學院 理學院，湖南 邵陽，422000)

生態(tài)系統(tǒng)模型解的有界性、穩(wěn)定性、振動性是種群動力系統(tǒng)中的重要研究內容，近幾年有許多學者對此進行了比較深入和系統(tǒng)的研究，取得了有意義的結果[1-7]。本文考慮了如下一類比文獻[1]更廣泛的具有比率型的三種群混合模型:

(1)

這里xi(t)(i=1，2，3)表示t時刻Xi種群的密度；x1和x2為食餌種群；x3為捕食者種群；gi(t)(i=1，2，3)表示功能性反映函數(shù)；p≥1，為常數(shù)。并且假設模型中的系數(shù)ai(t)(i=1，2，3)，bi(t)，ci(t)，mi(t)(i=1，2)，gi(t)(i=1，2，3，4)均為正ω周期函數(shù)。

重合度理論在微分方程研究問題中有重要應用[8]，本文利用重合度的延拓定理，討論了系統(tǒng)(1)中正ω周期解的存在性。所得結論是對文獻[1]結果的實際性推廣，因此，更具一般性和應用性。

1 預備知識

假設X，Z為兩個Banach空間，線性算子L:DomL∩X→Z，現(xiàn)在定義2個投影算子，P:X∩DomL→X，Q:Z→Z/ImL，使得ImP=KerL，ImL=KerQ。

1)Lx≠λNx，?x∈?Ω∩DomL，λ∈(0，1);

2)QNx≠0，?x∈?Ω∩KerL;

3)deg{QNx，Ω∩KerL，0}≠0。

設f(t)為連續(xù)正ω周期函數(shù)，做如下定義：

2 結果及證明

定理1如果成立下列條件:

則系統(tǒng)(1)至少有1個正的ω周期解。

證明:設x1(t)=eu1(t)，x2(t)=eu2(t)，x3(t)=eu3(t)，則系統(tǒng)(1)變成

(2)

顯然，系統(tǒng)(2)的ω周期解是系統(tǒng)(1)的正ω周期解。

令X=Y={(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈C(R，R3)，ui(t+ω)=ui(t)，i=1，2，3}

這里|Ω|代表R的歐幾里得范數(shù)，由此X是1個Banach空間。又令：

其中：

DomL={(u1(t)，u2(t)，u3(t))T∈C′(R，R3)，N:X→Y}，

及

定義2個投影P和Q如下：

(3)

選擇ξi，ηi∈[0，ω]，使得

則u′i(ξi)=u′i(ηi)=0，i=1，2，3，從這里和系統(tǒng)(3)有

(4)

(5)

(6)

和

(7)

(8)

(9)

從公式(4)中得到b1(ξ1)eu1(ξ1)

(10)

從公式(5)中得到c2(ξ2)eu2(ξ2)

(11)

即

因此有

(12)

從公式(7)中得到

即

(13)

同理從公式(8)中得

(14)

即

于是得到

(15)

由公式(10)～(15)，有

顯然Ri(i=1，2，3)獨立于λ。類似于前面的證法，能夠證明當下列系統(tǒng)

(16)

有解時，它的每一解α*，β*，γ*滿足

現(xiàn)在令

設系統(tǒng)(16)無解，則QNu≠(0，0，0)T。因此引理1的條件(2)是滿足的。接下來證明引理1的條件(3)滿足。作映射?:DomL×[0，1]→X

需證明當u∈?Ω∩KerL，?(u1，u2，u3，μ)≠0，即?為一同倫映射。若結論不真，

即當u∈?Ω∩R3，?(u1，u2，u3，μ)=0，于是由

利用公式(10)～(15)相類似的證明可得到

證明了Ω滿足引理1的所有條件，由引理1知，系統(tǒng)(2)至少有1個ω周期解，定理1證畢。