基于自助抽樣法與少量試驗數(shù)據(jù)的邊坡可靠性分析

王棟

（陜西省鐵道及地下交通工程重點實驗室（中鐵一院），西安 710043）

邊坡穩(wěn)定性分析的主要難點之一在于眾多參數(shù)的不確定性及其相應影響難以量化。為清晰量化各不確定性與邊坡穩(wěn)定性的關系，自20 世紀90 年代以來，可靠度理論逐漸被引入巖土工程領域，并廣泛應用在邊坡可靠度分析上。文獻［1］利用隨機場理論分析了三維土質邊坡的可靠度。文獻［2］綜合模糊理論以及統(tǒng)計知識分析了邊坡的穩(wěn)定性。文獻［3-6］利用有限元理論研究了邊坡的穩(wěn)定性，并考慮了土體的空間變異。文獻［7-8］利用光滑粒子流體動力學方法、物質點法從概率角度分析了邊坡穩(wěn)定性。由于基于有限元的邊坡可靠度分析計算較為緩慢，一些學者提出了代理模型加速這一分析過程［9-12］。

只有在巖土體參數(shù)統(tǒng)計特征估計準確的前提之下，才能正確地進行邊坡可靠度分析。這通常需要較多的巖土參數(shù)試驗。然而，鐵路工程在初測階段用于邊坡勘察的鉆孔較少，巖芯數(shù)量不多，巖土參數(shù)如摩擦角、有效黏聚力等試驗數(shù)據(jù)通常較為稀少［13］。此情形下，巖土參數(shù)的統(tǒng)計量（如均值、標準差等）與真實值一般相差較大［14］。這種不確定性會進一步傳遞并直接影響后續(xù)的邊坡可靠度分析結果。

自助抽樣法［15-16］是一種可以量化統(tǒng)計量不確定性的方法，可以避開眾多假設，如試驗數(shù)據(jù)的高斯假設等，且操作簡單。該方法由 Efron［17］于 1979 年正式提出，在 20 世紀 90 年得到快速發(fā)展，并于近 20～30 年在多個領域得到快速應用，如巖土參數(shù)均值、方差、相關系數(shù)等不確定性的量化［18］、巖土邊坡可靠度分析等［19］。唐小松等［19］探索了自助抽樣法在邊坡可靠度中的應用，其主要聚焦在巖土參數(shù)試驗數(shù)據(jù)對巖土參數(shù)概率分布形式以及邊坡可靠度的影響。本文主要聚焦在巖土參數(shù)試驗數(shù)據(jù)的數(shù)量對邊坡可靠度的影響，并通過大量計算給出自助抽樣法的適用范圍。

本文首先介紹了一個邊坡模型以及常用的可靠度計算方法，尤其是蒙特卡洛方法。其次，簡要介紹了自助抽樣法以及如何運用它進行巖土參數(shù)統(tǒng)計量如均值、方差統(tǒng)計不確定性的量化。之后，結合蒙特卡洛法以及巖土參數(shù)均值、方差的任一組合，計算某給定邊坡的可靠度與失穩(wěn)概率，從而量化出邊坡可靠度指標、失穩(wěn)概率的置信區(qū)間。最后，以一案例闡釋所提方法的有效性，并通過大量數(shù)值計算界定該方法的適用范圍。

1 邊坡模型與可靠度計算方法

選取一經(jīng)典的邊坡模型為研究對象，相應幾何參數(shù)及滑動面如圖1所示。該模型來自于Baecher等［20］，其經(jīng)常應用在可靠度分析研究中［21］。和文獻［21］保持一致，本文主要研究邊坡土體重度γ、黏聚力c′、土體有效摩擦角φ′或其正切函數(shù)tanφ′的變異性對邊坡穩(wěn)定性的影響。所有巖土參數(shù)假定不相關。根據(jù)文獻［20］，該邊坡的安全裕度M計算式為

圖1 邊坡模型示意

式中：H為坡高；ψ為邊坡的坡角；θ為滑動面與水平面夾角。

當M＜0時，認為該邊坡失穩(wěn)。

為了量化巖土參數(shù)的變異性，本文認定邊坡巖土參數(shù)如γ，c′，tanφ′均為正態(tài)隨機變量。γ的均值μ、標準差σ分別假定為 22.0，4.4 kN/m3；c′的μ，σ分別為5.0，2.0 kPa；tanφ′的μ，σ分別為0.58，0.14。隨機場模型亦可用來量化巖土參數(shù)的變異性，它可以清晰考慮巖土參數(shù)在空間的自相關性。然而，該模型數(shù)學上更加復雜，不利于工程師的理解，同時也不利于本文自助抽樣法的展開。

一旦邊坡巖土參數(shù)的統(tǒng)計量（如均值、標準差）確定，即可根據(jù)眾多方法進行邊坡的可靠度分析，如FORM，SORM 以及蒙特卡洛方法［20，22］。由于操作的便易性，本文采用蒙特卡洛法進行說明。具體步驟如下：①從給定概率分布生成大量（如107個）γ，c′以及tanφ′的隨機樣本；②將生成的樣本分別代入式（1）中；③計算M的均值（μM）及標準差（σM），進而計算邊坡可靠度指標β=μM/σM。④統(tǒng)計nMC=107次計算中M＜0 的次數(shù)nf，計算該邊坡失穩(wěn)概率為pf=nf/nMC。利用各巖土參數(shù)統(tǒng)計量真值，按照上述蒙特卡洛法可以計算出該邊坡真正可靠度指標βT=2.47 以及真正失穩(wěn)概率=0.004 98。

實際工程中，巖土參數(shù)如γ，c′以及tanφ′的均值以及標準差皆是未知，均由相應試驗數(shù)據(jù)估計而來。為了說明并量化數(shù)據(jù)稀少對最終邊坡可靠度分析的影響，本文以γ，c′以及tanφ′的統(tǒng)計量真值為基礎，模擬產(chǎn)生γ，c′以及tanφ′的“試驗”數(shù)據(jù)（見表1），以此作為實際中的測量數(shù)據(jù)并進行邊坡的可靠度分析并探討樣本量n對結果的影響。

以表 1 中前n=7 個γ，c′以及 tanφ′試驗數(shù)據(jù)為例。根據(jù)這n=7 個“試驗”數(shù)據(jù)可以分別估計出γ，c′以及tanφ′的均值及標準差，見表2?？芍?，各巖土參數(shù)均值估計相對準確。然而，各巖土參數(shù)標準差估計存在較大誤差，最大可達近30%。這種不準確性是由于巖土“試驗”數(shù)據(jù)相對稀少造成，又稱“統(tǒng)計不確定性”，其進而會傳遞給基于表2 統(tǒng)計量的邊坡可靠度分析結果。例如，基于表2 中各巖土參數(shù)的估計均值、標準差，可以產(chǎn)生nMC=107個γ，c′以及tanφ′的樣本。進而利用蒙特卡洛法計算得到nMC個該邊坡的安全裕度M值并構建起其對應的概率密度函數(shù)（圖2）。圖2 同時涵蓋了基于n=7 個小樣本“試驗”數(shù)據(jù)所得到估計的邊坡可靠度指標βe=2.07 與估算的失穩(wěn)概率0.016 1。估計的可靠度指標、失穩(wěn)概率與真值相比，存在16.19%以及223.29%的相對誤差。由于邊坡失穩(wěn)帶來的危害巨大，準確估計其失穩(wěn)風險至關重要。

第三，現(xiàn)代經(jīng)濟管理學理論與實踐結合緊密有利于個人能力發(fā)展。學習本專業(yè)的學生不僅可以掌握比較全面地、系統(tǒng)地掌握管理科學和經(jīng)濟科學方面的基本理論；掌握經(jīng)濟管理的專業(yè)知識、基本技能；具備良好的計算機應用能力和經(jīng)濟應用文寫作能力；具有一定的外語水平；熟悉國家有關方針政策和法規(guī)；而且還具備了社會經(jīng)濟調查和組織協(xié)調的基本能力，更能深刻地分析、有效地解決經(jīng)濟管理中的各種問題。對于個人今后的發(fā)展有很大幫助。

表1 模擬的巖土參數(shù)“試驗數(shù)據(jù)”

表2 利用n=7個試驗數(shù)據(jù)估計的參數(shù)均值及標準差

2 自助抽樣法與統(tǒng)計量的不確定性

自助抽樣法屬于重新抽樣方法的一種，旨在簡單、有效得解決統(tǒng)計推斷中數(shù)據(jù)稀少所帶來的不確定性問題。下文以量化巖土試樣參數(shù)x（x=γ，c′，tanφ′）的均值、標準差的統(tǒng)計不確定性來具體闡述自助抽樣法的具體步驟。

圖2 基于n=7個試驗數(shù)據(jù)的M的概率密度函數(shù)

2.1 問題簡述

現(xiàn)已獲得了n個巖土試樣參數(shù)x（x=γ，c′，tanφ′）值，記為x1，x2，…，xn?；谶@n個x試驗測量值，可以直接計算其均值以及標準差，即

盡管可以根據(jù)式（2）以及n個x試驗數(shù)據(jù)直接獲得其均值與標準差，然而所得結果是否準確仍有待解答。這是典型的統(tǒng)計推斷問題。該問題可以從經(jīng)典的統(tǒng)計理論獲得一定答案。通常需要較多的數(shù)學假設以及公式推導，因此對工程師提出較高的統(tǒng)計基礎要求。本文利用自助抽樣法，借助計算機，繞過諸多數(shù)據(jù)假設簡單有效地實現(xiàn)這一目的。

2.2 具體步驟

步驟1從現(xiàn)有n個巖土參數(shù)試驗數(shù)據(jù)xi（i=1，2，…，n）中隨機抽出1 個數(shù)據(jù)，記為′，該數(shù)據(jù)可能是xi中的任何一個。

步驟2將步驟1 重復n次即可得到n個新的數(shù)據(jù)，記為

步驟4將步驟1 到步驟3 重復多次，如N次即可獲得N個x的均值及標準差，即N的取值對結果稍有影響，但隨著N增大，結果趨于穩(wěn)定。為了避免N的影響，本文將N取為1 000，此時所得結果已經(jīng)基本穩(wěn)定。

步驟 5利用所得可以分別構建其相應的直方圖與置信區(qū)間（如90%置信區(qū)間）。如基于上述步驟，以及n=7個tanφ′試驗值（即表1前7組數(shù)據(jù)），構建了tanφ′均值的直方圖，見圖3。利用圖3 可得tanφ′均值90%置信區(qū)間為［0.50，0.71］。圖3 及上述90%置信區(qū)間反應出利用n=7 個tanφ′試驗數(shù)據(jù)估計其均值的可靠性。同理，可以利用步驟1—步驟5定量評價估計tanφ′標準差以及γ，c′的均值與標準差的統(tǒng)計不確定性。

圖3 基于自助抽樣法tanφ′均值的直方圖

為進一步闡述、量化巖土參數(shù)統(tǒng)計量估計不確定性對邊坡可靠度、概率分析的影響，結合蒙特卡洛法以及自助抽樣法，按照圖4評估邊坡可靠度分析的可靠性。

圖4 基于自助抽樣法邊坡可靠度分析流程

3 案例說明

為了說明基于自助抽樣法評估邊坡可靠度分析結果，探討利用n=7 試驗數(shù)據(jù)時邊坡的可靠度分析結果，即圖2。具體如下：①獲得n=7 組γ，c′，tanφ′的試驗數(shù)據(jù)；②根據(jù)自助抽樣法步驟1—步驟3 及試驗數(shù)據(jù)，獲得各參數(shù)的均值及標準差；③利用所得各巖土參數(shù)均值及標準差，分別產(chǎn)生nMC=107個樣本并利用蒙特卡洛法計算邊坡失穩(wěn)概率為以及可靠度指標β，記為④重復①到③直到j=N。本文N=1 000。⑤得到N=1 000 個該邊坡的值，進而構建其相應的直方圖并獲得相應的置信區(qū)間，如90%置信區(qū)間。

如利用表1中前n=7組γ，c′，tanφ′的試驗數(shù)據(jù)，可以得到邊坡（圖1）的可靠度指標估計值βe的直方圖（圖5）以及其90%的置信區(qū)間為［1.58，3.62］。顯然，該區(qū)間包含了該邊坡可靠度指標的真值，即βT=2.47。同理，可得該邊坡的失穩(wěn)概率90%置信區(qū)間為［5.0×10-4，5.4×10-2］。同樣的，該置信區(qū)間包含了該邊坡失穩(wěn)概率的真值，即

圖5 基于自助抽樣法邊坡可靠度的直方圖

根據(jù)n=7 組γ，c′，tanφ′的試驗數(shù)據(jù)所得邊坡可靠度分析結果不太準確，根據(jù)自助抽樣法結合蒙特卡洛法卻可以有效推理出邊坡可靠度以及失穩(wěn)概率真值的變化范圍。這為評估邊坡可靠度分析結果的可靠性提供了定量科學依據(jù)。

4 討論及驗證

4.1 試驗數(shù)據(jù)數(shù)量n的影響

為探討n對結果的具體影響，本小節(jié)探討了在4 種（n=7，15，30，50）不同情形下邊坡（圖1）可靠度指標估計值βe與估計失穩(wěn)概率的變化范圍。n=7，15，30，50分別對應表1中前n組數(shù)據(jù)。對于每一種n的情形，均可按照第3 章所述流程得到N=1 000 個βe與值，并構建其90%置信區(qū)間，所得結果見圖6?？芍?，隨著n逐漸增大，所得βe的90%置信區(qū)間逐漸縮窄，并趨向于可靠度指標真值βT；該觀測結果同樣適用于邊坡失穩(wěn)概率。這說明隨著巖土參數(shù)試驗數(shù)據(jù)n增大，巖土參數(shù)統(tǒng)計量估計時的統(tǒng)計不確定性逐漸降低，而相應所計算的邊坡可靠度結果的可靠性與準確性逐漸提升。

圖6 試驗數(shù)據(jù)數(shù)量n的影響

4.2 適用范圍探究

給定n個γ，c′，tanφ′的試驗數(shù)據(jù)，根據(jù)本文所提方法，可以得到邊坡可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率90%置信區(qū)間。這意味著邊坡可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率真值90%的概率會落在該置信區(qū)間。因此，可以從能否達到這一目標來判斷所提方法的適用范圍。

針對n=3，5，7，10，15，30，50 個“試驗”數(shù)據(jù)情形中每一種情形，分別進行了100次計算，并統(tǒng)計可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率真值落在所量化90%置信區(qū)間的次數(shù)，具體結果見表3。即便當只有n=5組試驗數(shù)據(jù)時，根據(jù)文中所提方法計算的90%置信區(qū)間有超過70%的概率包含邊坡可靠度系數(shù)、失穩(wěn)概率真值。當n≤3時，本文所提方法應謹慎使用。

表3 100次計算中β與pf真值落在90%置信區(qū)間的次數(shù)

5 結語

1）本文的方法可以量化巖土參數(shù)均值、標準差估計時的統(tǒng)計不確定性；可以量化這種不確定性對邊坡可靠度分析帶來的影響。相比傳統(tǒng)的可靠度分析，該方法可以量化邊坡可靠度指標、失穩(wěn)概率的置信區(qū)間。

2）通過大量計算文中確定了所提方法的適用范圍。當試驗數(shù)據(jù)n≥5 時，所提方法可以較好地確定邊坡可靠度分析結果的準確性；當試驗數(shù)據(jù)n≤3 時，文中所提方法應謹慎使用。