基于MATLAB的二自由度和四自由度汽車振動模型分析

金琦珺，羅 騫

（武漢理工大學(xué) 汽車工程學(xué)院，湖北 武漢430070）

1 引言

機械振動對于人類的生產(chǎn)生活來說是一把雙刃劍，既可以服務(wù)于人類，又對人類的生產(chǎn)活動有重大危害。機械振動既有有利的一面也有有害的一面。需對振動進行動態(tài)分析，通過研究物體偏離平衡位置的位移、速度、加速度等的動態(tài)變化來達到目的。在物體的平衡點附近出現(xiàn)的物體的來回運動，有線性和非線性兩種振動模式。由于外界對系統(tǒng)的激勵或作用，使得機械設(shè)備產(chǎn)生噪聲及有損于機械結(jié)構(gòu)的動載荷，從而影響設(shè)備的工作性能和壽命。尤其是發(fā)生共振情況時，可能使機器設(shè)備受到損壞，所以急需對機械振動的相關(guān)原理進行研究。為了合理減小振動對設(shè)備的危害，充分利用振動進行機器運作，對機械振動產(chǎn)生的規(guī)律進行了探討和研究。隨著計算機智能系統(tǒng)的快速發(fā)展，相關(guān)的仿真技術(shù)都出現(xiàn)了極大的提升空間，在日常的生產(chǎn)活動中，人們經(jīng)常用到的相關(guān)軟件有adams、abaqus等。目前MATLAB計算機軟件在計算機的仿真方面使用更加廣泛一些，MATLAB是一款擁有強大繪圖能力的工程計算高級計算機語言。

2 建立數(shù)學(xué)模型

數(shù)學(xué)模型是將數(shù)學(xué)的推理邏輯和相關(guān)語言相融合在一起的高級數(shù)學(xué)工程模型，它建立在事物的系統(tǒng)特征和數(shù)量關(guān)系模型之上，運用被人所可以認知的數(shù)字語言，概括總結(jié)出某種相關(guān)系統(tǒng)的關(guān)系模型。從被人所熟悉的角度理解為，數(shù)學(xué)模型就是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常見的各種公式定理。又因為數(shù)學(xué)來源于日常生活中的各種原型事物，所以又可以理解為數(shù)學(xué)就是一門關(guān)于數(shù)學(xué)模型的數(shù)字科學(xué)理論。從不被人理解的角度看，數(shù)學(xué)模型反映的只是一些特定問題和數(shù)字結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)模型就是一個系統(tǒng)結(jié)構(gòu)間的數(shù)字表達。數(shù)學(xué)模型包括線性和非線性兩種，線性模型即各數(shù)學(xué)量之間擁有的關(guān)系是線性的，可以將各方數(shù)字量進行疊加處理，可以理解為輸入量的同時作用力與輸出量的單獨作用力相等。線性模型結(jié)構(gòu)簡單，在生活中的應(yīng)用更加廣泛。非線性模型所表達是各系統(tǒng)量之間的關(guān)系是散亂的，沒有固定的規(guī)律可循，也不能直接疊加。然而在某些條件滿足的情況下，非線性與線性之間的分界線就會破裂，可以實現(xiàn)非線性到線性的轉(zhuǎn)化。具體表現(xiàn)為將非線性模型在允許的領(lǐng)域內(nèi)展開成泰勒系數(shù)，再留下一階項，同時將高階項省略，從而得到線性模型。而本文所要研究的車輛懸掛就屬于非線性的模型數(shù)據(jù)。要想進行系統(tǒng)的仿真處理，就必須學(xué)會如何建立數(shù)學(xué)模型，因為一切計算機軟件都建立在數(shù)學(xué)模型的架構(gòu)基礎(chǔ)上。

二自由度和四自由度的數(shù)學(xué)模型分別如圖1、圖2所示。圖1中k1為懸架剛度，c為懸架阻尼，k2為輪胎剛度，m2為車身質(zhì)量，m1為輪胎質(zhì)量。

圖1二自由度數(shù)學(xué)模型

圖2四自由度的數(shù)學(xué)模型

3 二自由度系統(tǒng)振動的模擬

3.1 微分方程的建立

根據(jù)牛頓第二定律建立其微分方程如下：

取狀態(tài)向量：

取輸入向量u=[q]，輸出向量：

代入系統(tǒng)運動微分方程得其狀態(tài)方程：

可以得出A、B、C、D。

3.2 系統(tǒng)仿真模型的建立

利用MATLAB軟件強大的計算分析，可以較好地分析振動情況，解決實際問題，根據(jù)所推導(dǎo)出的二自由度系統(tǒng)振動運動學(xué)方程，并運用MATLAB編程繪制出二自由度系統(tǒng)受迫振動的運動軌跡曲線，程序如下：

其Simulink圖如圖3所示。計算結(jié)果如圖4所示。

通過分析可以看出，運用MATLAB編程求出的二自由度無阻尼振動系統(tǒng)的運動軌跡曲線是符合要求的，從而驗證了該模型仿真結(jié)果的正確性以及二自由度無阻尼振動系統(tǒng)的振動規(guī)律的客觀性。

圖3 Simulink圖

圖4計算結(jié)果

4 四自由度系統(tǒng)的仿真

圖2中，m1、m2分別為前、后車輪的簧下質(zhì)量，kg；m3為車體（懸掛）質(zhì)量；k11、k12為前/后輪胎等效剛度，N/m；k21、k22為前/后懸架彈簧剛度，N/m；c1、c2為前/后減震器的阻尼系數(shù)，Ns/m；J為簧載質(zhì)量繞其質(zhì)心的轉(zhuǎn)動慣量；q為車體繞其質(zhì)心的旋轉(zhuǎn)角度；z1、z2為前/后車輪軸的位移；z3為車體質(zhì)心處的位移；z'1、z'2為車體在前/后懸架處的位移；u1、u2為主動控制力；r為路面激勵。其中，z1=z3-qa；z2=z3+qb所以z1=z3-qa；z2=z3-qb。

動學(xué)方程：m1z1=k21（z'1-z1）+c1（z'1-z1）-k11（z1-r1）-u1=[k21（z3-z1-qa）+c1（z3-z1-qa）-k11（z1-r1）-u1]，m2z2=k21（z'2-z2）+c2（z'2-z2）-k12（z2-r2）-u2=[k22（z3-z2+qb）+c2（z3-z2-qb）-k12（z2-r2）-u2]，m3z3=k21（z'1-z1）-c1（z'1-z1）-k22(z'2-z2)-c2（z'2-z2）+u1+u2=k21（z3-z1-qa）-c1（z3-z1-qa）-k22（z3-z2+qb）-c2（z3-z2+qb）+u1+u2。

其仿真如圖5所示。路面模型的建立如圖6所示。仿真結(jié)果的分析如圖7所示。

4.1 懸架阻尼系數(shù)C的影響

在保持一定量數(shù)據(jù)不變的情況下，變化前懸架的相關(guān)阻尼數(shù)據(jù)，C2f系統(tǒng)仿真效果如圖7所示。因為車身存在固定的頻率1～2 Hz，所以可以得到如圖7所示的低頻段考慮，在1～2 Hz的周圍隨著阻尼系數(shù)的不斷增長，車身的整體質(zhì)心位移角度不會出現(xiàn)太大的變化。然而從整體的車身結(jié)構(gòu)來看，在適當?shù)奈恢迷黾討覓煜到y(tǒng)可以有效增強車身的整體穩(wěn)定系數(shù)。同樣，在其他條件不出現(xiàn)改變的情況下，改變后懸架系統(tǒng)的阻尼數(shù)據(jù)C2R，結(jié)果如圖7所示。由圖7可以得知，通過增加后懸架系統(tǒng)的阻尼數(shù)據(jù)，在1～2 Hz的周圍，車身的整體質(zhì)心沒有較大變化，而仰角出現(xiàn)了較大的改變，在阻尼數(shù)據(jù)繼續(xù)增加的情況下，車身質(zhì)心振幅的增大帶來的是仰角趨于平穩(wěn)，因此可以發(fā)現(xiàn)，阻尼數(shù)據(jù)的縮小對車身振幅的改變有較大作用。因此，通過適當縮小后懸架系統(tǒng)的阻尼數(shù)據(jù)可以增加汽車整體的平穩(wěn)性。

圖5仿真情況

圖6路面模型的建立

圖7仿真結(jié)果的分析

4.2 懸架剛度系數(shù)K的影響

由數(shù)據(jù)模擬結(jié)果可以看出，在加大前懸架的剛度數(shù)據(jù)的情況下，在辨別的1～2 Hz周圍，車身的整體質(zhì)心位移不會出現(xiàn)太大的變化，而仰角的幅度會有所增加，同時在2～3 Hz的周圍，車身的質(zhì)心和仰角會隨著數(shù)據(jù)的變化而增大，因此，在設(shè)計車身時要注意適當調(diào)整前懸掛架，進行適當縮小。

同時考慮后懸掛架的相關(guān)數(shù)據(jù)模型，在1～2 Hz周圍可以觀察到車身的質(zhì)心有較大的偏移，而仰角卻縮小。因此，從駕駛安全的角度考慮，需要適當擴大后懸掛的剛度數(shù)據(jù)。

4.3 輪胎剛度系數(shù)K1的影響

同時要關(guān)注輪胎的剛度數(shù)據(jù)，相關(guān)的模擬結(jié)果如圖4所示。由相關(guān)的數(shù)據(jù)結(jié)果表明，輪胎給車身質(zhì)心變化帶來的影響非常小，輪胎的剛度數(shù)據(jù)的縮小會使懸掛架的變化增大，同時仰角縮小，但此時帶來的是輪胎載重數(shù)據(jù)的縮小，所以在對前輪胎進行修正時，不要充氣太足。

在相關(guān)數(shù)據(jù)沒有改變的情況下，通過調(diào)整后輪胎的剛度數(shù)據(jù)來進行實驗，如圖7所展現(xiàn)，在1～2 Hz周圍，當Kr1增加時，車身的質(zhì)心垂直的加速度數(shù)值變化非常小，同時仰角度數(shù)會有一定減小，然而這對于車身振動性質(zhì)的改變很有幫助。

通過分析不難發(fā)現(xiàn)，四自由度的MATLAB仿真模型符合要求，從而驗證了該模型仿真結(jié)果的正確性以及四自由度無阻尼振動系統(tǒng)的振動規(guī)律的客觀性?？梢缘贸觯涸龃笄皯壹艿淖枘釘?shù)據(jù)，同時縮小后懸架的阻尼數(shù)據(jù)可以讓汽車的整體平穩(wěn)性得到提高；在前懸架系統(tǒng)的設(shè)計制造中，可以對其剛度數(shù)據(jù)進行適量縮小，同時可以通過提高后懸架系統(tǒng)的剛度來增加汽車的安全性；前輪胎的剛度數(shù)據(jù)變化對于車身的影響非常小，所以在車身整體的調(diào)節(jié)過程中，可以通過對后胎的調(diào)整來增加駕駛員的舒適性。

5 結(jié)論

通過對MATLAB編程工具的有效運用，可以充分模擬機械振動所產(chǎn)生的各項數(shù)據(jù)模型，讓整體的數(shù)據(jù)模型架構(gòu)過程都得到有效提升，大大節(jié)省了時間，提高了效率。

同時運用MATLAB軟件驗證了該模型的正確性和客觀性，通過MATLAB仿真軟件的聯(lián)合仿真進行分析，得到仿真結(jié)果：二自由度無阻尼振動系統(tǒng)在激振力作用下受迫振動隨著固有頻率的改變，在一定條件下產(chǎn)生共振。因此，為了合理改善和利用機械振動，對實際工程中的機器設(shè)備的研究具有參考價值。