白光干涉垂直掃描測量算法綜述

汝洪武,張文喜,吳玲玲

(1.西安工業(yè)大學(xué)光電工程學(xué)院,陜西 西安 710021;2.中國科學(xué)院空天信息創(chuàng)新研究院計(jì)算光學(xué)室重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100094)

1 引 言

白光干涉測量解決了單色激光干涉測量的量程較小,精度不足的問題,在干涉定位和非接觸式測量方面有廣泛的應(yīng)用[1]。白光干涉多采用垂直掃描法進(jìn)行測量,如圖1所示。光源出射光準(zhǔn)直后被分光鏡(BS)分束,分別到達(dá)測試面和標(biāo)準(zhǔn)面后得到表面信息,反射光束再被BS合束后到探測器,采用壓電陶瓷(PZT)線性位移機(jī)構(gòu)調(diào)整參考光路的光程差進(jìn)行掃描測量。白光干涉測量不同于單色光源干涉測量,白光光源一般功率大、光譜較寬[2]。兩路相同波段的激光重合時會產(chǎn)生干涉現(xiàn)象,把這兩路激光稱為“激光對”,單色光干涉產(chǎn)生的條紋對比度是穩(wěn)定的[3-5]。白光干涉是無數(shù)不同波段的“激光對”的干涉的相互疊加,且不同波段的干涉條紋寬度不同,隨著光程差的增大干涉光強(qiáng)被均勻化,光強(qiáng)對比度為零,只有在參考光與測試光光程差為零時無數(shù)條激光干涉的波峰在同一處重合,此處光強(qiáng)最強(qiáng)。

圖1 邁克爾遜白光干涉系統(tǒng)

穩(wěn)定雙光束干涉的光強(qiáng)信號可以表示為[6]:

(1)

相干峰尋址法根據(jù)白光信號相干長度短、相干峰明顯的特性提出的:以高度不同的兩點(diǎn)為例,掃描測量的過程中兩點(diǎn)依次出現(xiàn)相干峰,以相干峰峰值點(diǎn)的位置為參照,兩個相干峰峰值點(diǎn)在Z軸上的差值就是兩點(diǎn)的高度差,如圖3所示。實(shí)現(xiàn)相干峰尋址法的具體算法很多,不同的算法具有不同的相干峰定位精度和不同的特性,選擇合適的算法尤為重要。

圖2 模擬白光干涉信號

圖3 相干峰尋址法

2 白光掃描干涉信號算法

將相干峰尋址法分為三大類:直接求解法、包絡(luò)曲線擬合法和加權(quán)平均法。不同算法的特性直接決定了白光干涉信號的相干峰定位精度。在同等算法的條件下,采樣點(diǎn)越密集精度越高。

2.1 直接求解法

2.1.1 插值法

插值法在相干峰峰值點(diǎn)處選取三個干涉數(shù)據(jù),代入一元二次方程后求得極值點(diǎn)橫坐標(biāo)代替對應(yīng)的峰值點(diǎn)位置[7]。表面高度信息h的計(jì)算表達(dá)為:

(2)

其中,i為光強(qiáng)最大值處的橫坐標(biāo)值；Ii為對應(yīng)位置i處光強(qiáng)值。插值法每組數(shù)據(jù)只用了峰值附近的三個數(shù)據(jù)點(diǎn),計(jì)算速度快、精度低,適用于精度不高的應(yīng)用場合,提高插值法的測量精度可以通過多次測量求均值、提高步進(jìn)精度、減小白噪聲誤差或減小掃描間隔。

2.1.2 移相法

移相算法根據(jù)白光干涉光強(qiáng)公式的基礎(chǔ)上得出,在峰值附近選取幾個采樣點(diǎn),解方程計(jì)算出峰值點(diǎn)的相位φ,如式(3)所示,再通過光源參數(shù)計(jì)算求得表面高度。移相法又有三步移相法、四步移相法、五步移相法等多步移相法[8-9]。以四步相移法為例,計(jì)算公式如式(4)所示。

(3)

(4)

移相法利用峰值附近的幾個數(shù)據(jù),計(jì)算速度快,充分利用了光強(qiáng)和相位兩種信息,計(jì)算精度高。因?yàn)閿?shù)據(jù)點(diǎn)較少,分母上差值準(zhǔn)確性降低,分母較小時受到白噪聲影響較大。移相計(jì)算方式可以在一定程度上不受掃描間隔大小的影響,降低對高精度移動平臺的依賴。

2.1.3 空間頻域法

空間頻域法Peter de Groot等人提出[10],是現(xiàn)階段計(jì)算精度相對較高的方法[11-12]。只通過白光干涉信號的相位信息計(jì)算待測面形。單色光發(fā)生干涉時相位與波數(shù)和光程差成正比,白光干涉信號是很多單波長光產(chǎn)生干涉信號的疊加,將其相位在空間角頻率k0處用泰勒級數(shù)展開,得到:

(5)

其中,第一項(xiàng)Φ0=k0Z0,為k=k0處的相位分量;Z0為k0的相速度光程差。通過相位解包裹的方法消除周期性2π的相位模糊,保證相位計(jì)算的連續(xù)性。將常數(shù)項(xiàng)k0Z0來進(jìn)行優(yōu)化,該常數(shù)項(xiàng)通過直線擬合后的直線函數(shù)信息獲得。優(yōu)化后如下[13]:

(6)

其中,n為傳播介質(zhì)的反射率系數(shù)；α為相位補(bǔ)償量；n,α由材料所決定。

空間頻域法擺脫白光干涉測量對干涉光強(qiáng)對比度的依賴,僅在頻域內(nèi)進(jìn)行處理,以相位與空間角頻率之間關(guān)系的斜率求得待測面形信息,計(jì)算精度高,相比傅里葉變換和高斯擬合具有更小的運(yùn)算量,信號處理迅速。在信號處理時,即使測量時存在一定的2π周期的相位模糊也并不影響斜率的計(jì)算,因此采樣過程中采樣間隔π/2與5π/2,計(jì)算結(jié)果一致,可用于欠采樣時的情況下。

2.2 加權(quán)平均法

2.2.1 重心法

重心法是基于加權(quán)平均提出的,把光強(qiáng)值看作為權(quán)值,對應(yīng)的橫坐標(biāo)看作待求平均的數(shù)據(jù),得到的加權(quán)平均的值就是相干峰的坐標(biāo)值[14-16]。即相干峰峰值的橫坐標(biāo)信息可以表示為:

(7)

但是上式的計(jì)算精度受白光干涉信號的背景光強(qiáng)值影響較大。Veeco的Ai等人對重心法進(jìn)行了改進(jìn),有效降低了背景光強(qiáng)的影響[17],如下式:

(8)

其中,令mi=(Ii-Ii-1)2代替原始信號的光強(qiáng)值作為權(quán)值,重心算法的速度和效率都很高,但受背景光強(qiáng)的影響很大,適用于背景光強(qiáng)相對較小的測量環(huán)境。改進(jìn)后的重心法能有效的降低背景光強(qiáng)的影響,使用重心法求解的過程中盡可能峰值所處的位置在于數(shù)據(jù)的中心位置,可以有效的提高重心法的計(jì)算精度。

2.2.2 相干相關(guān)算法

相干相關(guān)算法(Coherence Corelation Interferometry,CCI)由泰勒霍普森公司提出[18-19]。首先根據(jù)采用的光源的參數(shù)模擬出參考白光干涉光強(qiáng)信號ai,將模擬信號與實(shí)際采集到的掃描信號點(diǎn)對點(diǎn)相乘,然后將參考信號沿X軸方向逐步平移,記錄下每步參考信號ai與白光干涉光強(qiáng)Ii的乘積,用該數(shù)據(jù)代替白光干涉信號[20]。具體如下式:

(9)

Ai呈高斯分布,對其高斯擬合后找到高斯擬合曲線的最大值的橫坐標(biāo)即待測表面高度。

相干相關(guān)算法與小波變換包絡(luò)擬合法極為相似,但是沒有小波變換的靈活度高。適用于欠采樣的情況,能保持相對可觀的計(jì)算精度。由于每組數(shù)據(jù)都需要多次計(jì)算,并且再進(jìn)行擬合取極值橫坐標(biāo)值,計(jì)算量很大,相對較為耗時。

2.3 包絡(luò)曲線擬合法

包絡(luò)曲線擬合法根據(jù)白光干涉包絡(luò)曲線的形狀擬合的函數(shù)曲線,或利用經(jīng)過各種變換處理后的包絡(luò)曲線進(jìn)行擬合,用該曲線的峰值點(diǎn)來代替實(shí)際相干峰的峰值點(diǎn),很大程度上提高了白光干涉的相干峰定位精度,主要包括以下幾種算法。

2.3.1 多項(xiàng)式擬合

多項(xiàng)式擬合法由Park和Kim提出[20],根據(jù)白光干涉光強(qiáng)的包絡(luò)曲線符合高斯分布,在峰值附近的包絡(luò)曲線接近于一個一元二次方程的函數(shù)曲線在峰值附近的包絡(luò)形狀,因此用二次多項(xiàng)式對白光干涉光強(qiáng)的包絡(luò)曲線進(jìn)行擬合。具體過程如下所示:

I(z)=Ibg-Ibg(a1+a2z+a3z2)(cosθcosρ+sinθsinρ)

(10)

(11)

多項(xiàng)式擬合宜取相干長度范圍內(nèi)的數(shù)據(jù)用以擬合,便于保證實(shí)際數(shù)據(jù)與二次曲線的重合程度更高,提高擬合結(jié)果的邏輯縝密性。多項(xiàng)式擬合法優(yōu)勢在于對數(shù)據(jù)利用更充分,具有相對較強(qiáng)的白噪聲抑制能力。但是數(shù)據(jù)量更豐富的同時計(jì)算量增大、計(jì)算時間變長。

2.3.2 高斯擬合法

白光干涉光強(qiáng)曲線符合高斯包絡(luò)調(diào)制,對白光干涉光強(qiáng)的高斯包絡(luò)進(jìn)行擬合,取其極值點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是該點(diǎn)對應(yīng)的相干峰的坐標(biāo)h[21]。其計(jì)算公式如下:

(12)

高斯擬合算法相對簡單,當(dāng)掃描間隔穩(wěn)定時計(jì)算精度也相對較高,還適用于欠采樣的測量過程,當(dāng)掃描間隔較大時可以采取對數(shù)據(jù)先減其均值后再取絕對值,數(shù)據(jù)密度增加了一倍,高斯擬合法對掃描間隔的依賴性較低。高斯擬合法對掃描間隔的大小要求相對較低,但是當(dāng)掃描間隔過大時精度也隨之降低,且高斯擬合法計(jì)算量大,計(jì)算時間較長。

2.3.3 傅里葉變換

傅里葉變換法是適用性比較廣泛的一種算法,將采集到的白光干涉信號傅立葉變換,濾去正弦調(diào)制項(xiàng)的頻率,逆變換后得到白光干涉數(shù)據(jù)的高斯包絡(luò)曲線的相干峰峰值點(diǎn)坐標(biāo)。傅里葉變換法本質(zhì)上是濾除自身載波的影響,因此也被稱作傅里葉濾波法,分析如下式[22-23]：

(13)

其中,*表示對函數(shù)的卷積。白光干涉信號的包絡(luò)曲線與傅里葉逆變換后得到的幅值曲線成正比,即白光信號的峰值點(diǎn)與該曲線的峰值點(diǎn)重合,對上式的幅值曲線高斯擬合即得表面高度。

傅里葉變換算法的計(jì)算精度高,對白噪聲抑制能力強(qiáng),不足之處需進(jìn)行正反兩次變換和高斯擬合,計(jì)算量大,計(jì)算時間長,且傅里葉變換只反映整體信息,對局部窗口的信息反應(yīng)不夠全面。傅里葉變換法要求掃描間隔不能過大,否則可能會導(dǎo)致采樣頻率提取無效,只適用于采樣間隔相對不大的測量環(huán)境。

2.3.4 希爾伯特變換

希爾伯特變換法將原始信號加上經(jīng)過希爾伯特變換的虛部信號構(gòu)成的復(fù)信號,得到的信號的頻率全是正頻部分[24]。提取信號包絡(luò)的過程通過希爾伯特變換完成,即希爾伯特變換可得白光干涉測量的峰值點(diǎn)。設(shè)Iac為白光干涉信號的交流部分,變換后Iac產(chǎn)生了-90°的相移。在調(diào)制信號逐漸變化、載波信號迅速變化的情況下,交流信號的希爾伯特變換近似表示為[7]:

(14)

希爾伯特變換與傅里葉變換的計(jì)算精度相近,要求采集信號中的背景光強(qiáng)足夠穩(wěn)定。實(shí)際測量時,參考面的移動過程當(dāng)中距離光源的位置發(fā)生改變,背景光強(qiáng)隨之改變。但希爾伯特變換法是一種時域內(nèi)的變換,不需要從頻域向時域的逆變換和高斯擬合過程,相比傅里葉變換法就有更快的計(jì)算速度,更容易引入測量誤差。

2.3.5 小波變換法

小波方法是在傅里葉變換的基礎(chǔ)上優(yōu)化出的。傅里葉變換僅采用正弦波作為變換的基礎(chǔ)波形,而小波變換采用特殊的曲線線段或者向量作為變換的基礎(chǔ)波形,可以用自己定義的一個波形作為變換的基,擴(kuò)大了頻域信號分析方法中的時頻適用性[25-26]。小波變換有兩個可變的參量,所以小波變換具有對目標(biāo)信號進(jìn)行有選擇性的分段分析,實(shí)現(xiàn)不同波段進(jìn)行不同頻率濾波的功能。設(shè)Ψ(t)為一個小波族的基波,則將小波族定義為:

(15)

式中,a,b為常數(shù)。通過調(diào)整參數(shù)a、b來調(diào)整上式的幅值大小和坐標(biāo)位置。小波變換定義為:

(16)

其中,X(t)為任意平方可積函數(shù)。針對小波變換雙參數(shù)可調(diào)的特性,提出了兩個白光干涉信號的峰值點(diǎn)的尋址方法:小波包絡(luò)峰值點(diǎn)提取以及連續(xù)小波變換法。

(1)小波包絡(luò)提取

根據(jù)不同使用情況下選擇適合的基,小波包絡(luò)提取時直接選擇白光干涉信號的波形作為母小波。由法國地震學(xué)家J.Morle提出的Morlet小波[25],它是一個受復(fù)數(shù)信號調(diào)制的高斯包絡(luò)信號,通過提取包絡(luò)信號的極值點(diǎn)對應(yīng)的橫坐標(biāo),得到變換的目標(biāo)結(jié)果[25]。由下式所示:

(17)

定義|WT(a,b)|為小波系數(shù),其中WTmr(a,b)和WTmi(a,b)分別為小波系數(shù)的實(shí)數(shù)部分和虛數(shù)部分,調(diào)整b的大小實(shí)現(xiàn)子小波與實(shí)際信號會發(fā)生小距離的錯位,當(dāng)小波系數(shù)最大時,小波函數(shù)的峰值點(diǎn)與白光光強(qiáng)包絡(luò)的峰值點(diǎn)重合,子小波峰值點(diǎn)的位置代替干涉峰峰值點(diǎn)所在的位置。模擬的小波包絡(luò)如下式:

(18)

(2)連續(xù)小波變換

連續(xù)小波變換充分利用小波變換的兩個可變尺度參數(shù)a調(diào)整光源的中心波長,b調(diào)整相干峰位置。當(dāng)小波函數(shù)與干涉光強(qiáng)曲線I(z)在頻域與時域都重合時,小波系數(shù)最大[26]。此時的相干峰信息確定方式如下式[26]:

(19)

其中,h′為對應(yīng)著小波系數(shù)最大時小波函數(shù)峰值點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo),相位信息通過下式可得:

(20)

其中,[WT(a,b)]是小波系數(shù)的最大值,表示b0處Morlet小波與I(z)之間的相位差。

小波變換法相對于傅里葉變換法具有較強(qiáng)噪聲平滑作用,對噪聲具有很強(qiáng)的抑制效果的同時不損傷數(shù)據(jù)的邊緣信息,能夠獲得每個頻段的完整信息[27-28]。小波變換在時域和頻域中同時具有非常好的調(diào)控能力,可以針對目標(biāo)信號的任意波段進(jìn)行分析,有利于更全面的對所獲得的數(shù)據(jù)獲取更多的信息,在科學(xué)研究中應(yīng)用非常廣泛。但是小波變換算法的計(jì)算量相對較大,計(jì)算速度較慢。

2.3.6 基于采樣定理的平方包絡(luò)函數(shù)估計(jì)算法(SEST)

基于采樣定理的平方包絡(luò)函數(shù)測量(SEST)方法的提出是為了解決白光干涉測量時數(shù)據(jù)量龐大的問題,有效地降低了白光干涉測量對高密度采樣的依賴性,在欠采樣測量過程中應(yīng)用比較廣泛[29]。用采樣數(shù)據(jù)信號點(diǎn)Ym(m=l,2,…,M)定義一個新的向量如式(21),作為原始干涉信號進(jìn)行處理。

(21)

式中,f(z)是干涉光強(qiáng)分布中的干涉項(xiàng),可以定義為ym=f(zm),zm是第m個采樣點(diǎn)。則φm(z)定義為:

(22)

(23)

式中,Δ是采樣間隔。找到包絡(luò)曲線的峰值點(diǎn)就能解算出待測面的面形信息,不需要嚴(yán)格的復(fù)現(xiàn)干涉圖的信息,式(24)是一個基于采樣數(shù)據(jù)對r(z)的估算值rB(z),其包絡(luò)曲線最大值對應(yīng)的橫坐標(biāo)就是對應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)的表面高度h。當(dāng)z是其中的一個采樣點(diǎn),定義:z=zj(j=1,2,3,…M)。

(24)

SEST算法是針對掃描間隔較大的情況提出的,適用于欠采樣的測量過程中,雖然小幅度增加了計(jì)算時間,但是大幅度減少了采樣時間,另外可以適用于生產(chǎn)線上的快速測量,降低了垂直掃描干涉法對高精度移動平臺的高度依賴,并且具有較高的計(jì)算精度。

3 計(jì)算結(jié)果

表1是在一組仿真的白光干涉信號,仿真光強(qiáng)的中心波長為633 nm,相干長度為50 μm,掃描長度為80 μm,單組數(shù)據(jù)有120個光強(qiáng)值,從計(jì)算精度、掃描步長、運(yùn)算速度和白噪聲影響四個方面對各種算法做了仿真分析,得到以下結(jié)果。

表1 各種算法的性能對比

(續(xù)表)

4 結(jié) 論

白光干涉測量具有算法精度高、量程大等優(yōu)點(diǎn),廣泛應(yīng)用于各種高精度、大量程的干涉測量當(dāng)中。白光干涉測量算法種類較多,需要根據(jù)實(shí)際測量的條件和環(huán)境靈活選擇適合的算法,也可采用多種算法組合使用。了解各種白光干涉測量算法的特性、選擇適當(dāng)?shù)乃惴▽μ岣甙坠鉁y量的精度具有非常重要的意義。

根據(jù)仿真結(jié)果得出幾點(diǎn)結(jié)論:①相干相關(guān)算法、空間頻域法、移相法、小波變換法和采樣定理的平方包絡(luò)函數(shù)估計(jì)算法在未知光源參數(shù)的情況下不能使用,可優(yōu)先采用其他幾種算法;②相移法和插值法只需要峰值附近的幾個數(shù)據(jù)就可實(shí)現(xiàn)測量,計(jì)算精度快,可在在線測量或者快速測量的情況下優(yōu)先采用。其中相移法測量精度相對較高;③重心法、相干相關(guān)算法、空間頻域法和SEST法受掃描步長的影響較小,可用于欠采樣情況下;④傅里葉變換法、小波變換法和空間頻域法具有較強(qiáng)的噪聲濾除能力,可用于探測器噪聲相對較大的情況。