壓電柔性結(jié)構(gòu)形狀復(fù)合控制方法研究

張宗宇，周文雅，呂維梁，王曉明，馬瑞鑫

(1.大連理工大學(xué) 航空航天學(xué)院,遼寧 大連 116024；2.中山大學(xué) 航空航天學(xué)院,廣東 廣州 510006)

0 引言

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)被廣泛用于柔性機(jī)翼主動(dòng)變形、太陽(yáng)能帆板、大型空間反射器結(jié)構(gòu)型面調(diào)整及發(fā)動(dòng)機(jī)、機(jī)翼顫振的主動(dòng)抑制等航空航天領(lǐng)域。與其他壓電形式驅(qū)動(dòng)源相比，壓電纖維材料驅(qū)動(dòng)器因其能量密度大，控制帶寬高，環(huán)境適應(yīng)性好及體積小等優(yōu)勢(shì)而受到研究者的廣泛青睞[1-6]。但壓電纖維材料固有的遲滯、蠕變特性嚴(yán)重影響其控制精度，給結(jié)構(gòu)高精度形狀控制帶來(lái)嚴(yán)重挑戰(zhàn)。

目前，許多學(xué)者已針對(duì)壓電材料的遲滯蠕變特性進(jìn)行了理論研究和壓電驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)變形控制的研究[7]。趙天等[8]提出了一種基于遲滯蠕變前饋補(bǔ)償控制與自適應(yīng)濾波反饋控制相結(jié)合的前饋-反饋復(fù)合控制法，并成功應(yīng)用于壓電陶瓷層疊作動(dòng)器控制中；Shrock等[9]對(duì)宏纖維復(fù)合材料(MFC)的遲滯蠕變特性進(jìn)行了逆補(bǔ)償研究及基于前饋補(bǔ)償?shù)腗FC驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)形狀控制實(shí)驗(yàn)；周淼磊等[10]構(gòu)建了BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯蠕變模型，與專家模糊控制相結(jié)合，有效提高了壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)平臺(tái)定位精度；趙慶旭等[11]采用二階多項(xiàng)式模型構(gòu)建了壓電陶瓷作動(dòng)器遲滯模型，開(kāi)展了壓電陶瓷定位平臺(tái)復(fù)合控制方法的研究。為解決現(xiàn)有壓電驅(qū)動(dòng)結(jié)構(gòu)形狀控制研究中存在的被控對(duì)象和壓電作動(dòng)器遲滯蠕變建模方法粗糙、精確度低、通用性及可擴(kuò)展性差等問(wèn)題，進(jìn)一步探討提高控制精度的有效方法。本文開(kāi)展了MFC驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)高保真動(dòng)力學(xué)建模和前饋-反饋相結(jié)合的動(dòng)態(tài)形狀復(fù)合控制方法研究。首先，采用有限元法、均勻化理論結(jié)合壓電驅(qū)動(dòng)載荷比擬法，建立了壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)力-電耦合動(dòng)力學(xué)模型，采用模態(tài)降階法推導(dǎo)了其狀態(tài)空間形式控制模型。進(jìn)一步構(gòu)建了基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的Prandtl-Ishlinskii(PI)遲滯模型和lg(t)形式蠕變模型，推導(dǎo)得到其逆模型，并據(jù)此開(kāi)展前饋補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)。在前饋補(bǔ)償?shù)幕A(chǔ)上，結(jié)合線性自抗擾反饋控制法，實(shí)現(xiàn)了壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)的前饋-反饋混合控制器設(shè)計(jì)，并通過(guò)仿真算例驗(yàn)證了本文所提控制方法的可行性及其在控制精度方面所具有的優(yōu)勢(shì)。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型

圖1為MFC驅(qū)動(dòng)柔性懸臂鋁板實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)。M8528P1型MFC壓電纖維作動(dòng)器粘貼在被控結(jié)構(gòu)根部。利用壓電材料的逆壓電效應(yīng)，可將電壓激勵(lì)轉(zhuǎn)化為自身結(jié)構(gòu)應(yīng)變，實(shí)現(xiàn)對(duì)被控結(jié)構(gòu)形狀的控制,控制原理如圖2所示。研究過(guò)程中采用被控結(jié)構(gòu)端部測(cè)量點(diǎn)撓度來(lái)定量刻畫(huà)結(jié)構(gòu)變形量。

圖1 MFC驅(qū)動(dòng)懸臂鋁板結(jié)構(gòu)示意圖

圖2 形狀控制系統(tǒng)示意圖

研究中采用四節(jié)點(diǎn)板單元結(jié)合有限元法建立了壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型[12]。建模過(guò)程中利用壓電驅(qū)動(dòng)載荷比擬法[13]實(shí)現(xiàn)輸入電壓-輸出力(矩)的轉(zhuǎn)換。模型中包含被動(dòng)單元和主動(dòng)單元(粘貼有壓電纖維作動(dòng)器的單元)[14]。

將被動(dòng)單元和主動(dòng)單元進(jìn)行組裝，得到壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)整體控制方程為

(1)

式中：xs為結(jié)構(gòu)位移矢量；Ms=Msb+Msp和Ks=Ksb+Ksp分別為整體質(zhì)量矩陣和剛度矩陣，下標(biāo)b和p分別對(duì)應(yīng)于懸臂板結(jié)構(gòu)和壓電驅(qū)動(dòng)器的相關(guān)變量；Fp為單位電壓下產(chǎn)生的壓電控制力(矩)矢量;u為作動(dòng)器施加的電壓矢量。表1為被控結(jié)構(gòu)及驅(qū)動(dòng)器屬性。

表1 被控結(jié)構(gòu)及驅(qū)動(dòng)器屬性

由于所建結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型階數(shù)較大，為便于開(kāi)展控制率設(shè)計(jì)，采用模態(tài)分解法對(duì)所建立的有限元模型開(kāi)展降階工作，引入模態(tài)坐標(biāo)變換[14]：

xs=Φq

(2)

式中：q為廣義坐標(biāo)向量；Φ為系統(tǒng)振型矩陣。

為模擬結(jié)構(gòu)在電壓激勵(lì)下的真實(shí)變形響應(yīng)，還須考慮結(jié)構(gòu)阻尼效應(yīng)。本文采用經(jīng)典阻尼模型，其數(shù)值通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)獲得。進(jìn)一步考慮結(jié)構(gòu)阻尼，降階后的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型為

(3)

(4)

式中A,B分別為系統(tǒng)矩陣和輸入矩陣。

研究中，被控結(jié)構(gòu)的變形量用測(cè)點(diǎn)的彎曲撓度來(lái)表示，則有

y=CyX

(5)

式中：y為輸出變量；Cy為輸出矩陣。

1.2 MFC作動(dòng)器遲滯蠕變建模及其逆補(bǔ)償

研究中采用的MFC具有壓電材料所固有的遲滯與蠕變特性。遲滯特性表現(xiàn)為在升壓或降壓的過(guò)程中，作動(dòng)器對(duì)應(yīng)的輸出位移表現(xiàn)出明顯的回路特征[15](見(jiàn)圖3(a))；蠕變特性表現(xiàn)為作動(dòng)器在如圖3(b)所示穩(wěn)定加載電壓下，其驅(qū)動(dòng)位移呈現(xiàn)出如圖3(c)所示的隨時(shí)間發(fā)生漂移的特性。為提高壓電作動(dòng)器的驅(qū)動(dòng)精度，本文對(duì)壓電纖維作動(dòng)器的遲滯蠕變特性進(jìn)行了精細(xì)化建模，并對(duì)其逆補(bǔ)償法進(jìn)行了重點(diǎn)研究。

圖3 MFC驅(qū)動(dòng)器遲滯蠕變特性

1) 遲滯建模。研究采用PI遲滯模型描述MFC的遲滯特性。PI遲滯模型屬于唯象模型，可通過(guò)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)刻畫(huà)遲滯非線性效應(yīng)。PI遲滯模型H[x](t)由nH+1個(gè)基本單元遲滯算子線性加權(quán)疊加得到：

(6)

式中：wHi為權(quán)系數(shù)；rHi為閾值；zH0i(i=0,1,…,nH)為初值。

基本單元遲滯算子定義為在分段單調(diào)時(shí)間區(qū)間內(nèi)t0?…?tj?t?tj+1?…?tend輸入信號(hào)的遞推關(guān)系[8]，具體形式為

zH(t)=max{x(t)-rH,min{x(t)+

rH,zH(tj)}}

(7)

其中初值為

zH(t0)=max{x(t0)-rH,min{x(t0)+

rH,zH(t0)}}

(8)

2) 蠕變建模。MFC的蠕變特性表現(xiàn)為在穩(wěn)定驅(qū)動(dòng)電壓作用下，壓電系統(tǒng)輸出位移隨時(shí)間改變的一種滯后效應(yīng)。由于其位移特性與時(shí)間呈現(xiàn)對(duì)數(shù)變化關(guān)系，可由lg(t)型蠕變算子進(jìn)行描述，其由m個(gè)基本單元蠕變算子疊加得到：

(9)

式中:m為蠕變特征值個(gè)數(shù);rK∈R+為閾值。

基本單元蠕變算子，即

zK(t)=KrKaK0[x,zK0]

(10)

式中zK0為初值。

式(10)為下式所示非線性微分方程的唯一解，即

rK,min{x(t)-zK(t)+rK,0}}

(11)

式中aK∈R+為蠕變特征值,其具體值如下：

(12)

式中Ts為時(shí)間序列的最小間隔。

PI形式蠕變算子由nH+1個(gè)閾值為rKi的lg(t)蠕變算子加權(quán)疊加得到：

(13)

式中wKi為權(quán)系數(shù)。

將蠕變算子與遲滯算子相結(jié)合，可得非線性遲滯蠕變模型：

(14)

結(jié)合實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，通過(guò)系統(tǒng)辨識(shí)法可得遲滯蠕變模型算子的參數(shù)。利用這種基于算子的模型，方便計(jì)算其逆算子，并建立逆模型來(lái)補(bǔ)償遲滯蠕變效應(yīng)。補(bǔ)償模型為

x(t)=G-1[y](t)=H-1[y-K[x]](t)

(15)

由于本文研究重點(diǎn)是壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)形狀的復(fù)合控制，故針對(duì)MFC遲滯和蠕變模型參數(shù)辨識(shí)法及其逆模型推導(dǎo)過(guò)程不再給出，詳細(xì)信息可參考文獻(xiàn)[16-17]。

2 柔性結(jié)構(gòu)非線性模型及控制器設(shè)計(jì)

2.1 MFC驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)非線性控制模型的建立

通過(guò)有限元法、均勻化理論和載荷比擬法，結(jié)合模型降階手段得到MFC驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)狀態(tài)空間形式控制模型。該模型不包含MFC作動(dòng)器的非線性特性。因此，基于1.2節(jié)建立的MFC作動(dòng)器遲滯蠕變模型獲得被控系統(tǒng)非線性特征，將其與建立的壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)線性模型串聯(lián)，最終可得到包含壓電驅(qū)動(dòng)器遲滯、蠕變特性的被控系統(tǒng)非線性模型，如圖4所示。

圖4 壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)非線性控制模型

2.2 壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)前饋控制器的設(shè)計(jì)

完成壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)高保真形狀控制建模后，基于遲滯蠕變逆模型實(shí)現(xiàn)了面向被控系統(tǒng)的前饋補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)(見(jiàn)圖5)，并對(duì)被控結(jié)構(gòu)進(jìn)行動(dòng)態(tài)變形的開(kāi)環(huán)全補(bǔ)償控制實(shí)驗(yàn)。前饋補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)流程如下：

1) 依據(jù)被控系統(tǒng)線性模型求解跟蹤預(yù)定變形軌跡的所需電壓。

2) 將得到的電壓加載軌跡作為前饋逆補(bǔ)償控制器輸入，經(jīng)遲滯蠕變逆補(bǔ)償后得到實(shí)際控制電壓加載曲線。

3) 將補(bǔ)償后的電壓作為實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)輸入，進(jìn)行被控對(duì)象結(jié)構(gòu)形狀控制。

圖5 開(kāi)環(huán)前饋補(bǔ)償控制示意圖

在研究過(guò)程中，為避免大柔性結(jié)構(gòu)形狀變化過(guò)程中的振蕩效應(yīng)對(duì)遲滯蠕變建模精度產(chǎn)生影響，使用較短鋁板來(lái)研究MFC的遲滯蠕變非線性特征。圖6為該短鋁板的實(shí)物圖及對(duì)應(yīng)的有限元模型。

圖6 遲滯蠕變逆補(bǔ)償研究用壓電驅(qū)動(dòng)層合鋁板結(jié)構(gòu)

圖7(a)為通過(guò)MFC驅(qū)動(dòng)短鋁板開(kāi)環(huán)變形實(shí)驗(yàn)測(cè)量的電壓-位移數(shù)據(jù)滯回曲線。圖7(b)為經(jīng)過(guò)遲滯蠕變逆模型補(bǔ)償后得到的一組電壓-位移響應(yīng)關(guān)系曲線。對(duì)比圖7(a)、(b)可知，經(jīng)逆補(bǔ)償后，可得加載電壓-驅(qū)動(dòng)位移間呈近似線性關(guān)系，由此表明遲滯、蠕變非線性得到了很好的補(bǔ)償。后續(xù)研究中，將基于該實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)開(kāi)展柔性結(jié)構(gòu)遲滯、蠕變前饋補(bǔ)償器設(shè)計(jì)工作。

圖7 遲滯蠕變非線性關(guān)系補(bǔ)償

對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)分別施加如圖8(a)所示的加載電壓(對(duì)應(yīng)測(cè)量點(diǎn)終端穩(wěn)態(tài)位移量為5 mm)，可得到如圖8(b)所示的位移響應(yīng)曲線。由圖8(b)可知，壓電作動(dòng)器的遲滯蠕變作用對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)控制精度影響嚴(yán)重。建立的前饋補(bǔ)償器能夠有效消除遲滯、蠕變效應(yīng)對(duì)結(jié)構(gòu)控制精度帶來(lái)的影響。對(duì)比仿真與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，建立的被控對(duì)象模型具有較高精度，且能良好地模擬被控對(duì)象結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性。

圖8 開(kāi)環(huán)補(bǔ)償控制結(jié)果示意圖

2.3 壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)復(fù)合控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)

為提高控制系統(tǒng)增益，改善系統(tǒng)控制精度及提升系統(tǒng)魯棒性，本文采用自抗擾法設(shè)計(jì)面向形狀控制的閉環(huán)反饋控制器，并與基于遲滯蠕變模型的前饋控制器相結(jié)合，構(gòu)建了面向壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)形狀的復(fù)合控制系統(tǒng)。圖9為構(gòu)建的復(fù)合控制系統(tǒng)示意圖。自抗擾控制器主要由微分跟蹤器(TD)、狀態(tài)反饋環(huán)節(jié)(LF)和狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器(LESO)3部分組成[18]。

圖9 壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)形狀復(fù)合控制示意圖

針對(duì)本文涉及的典型二階受控系統(tǒng)，設(shè)計(jì)自抗擾控制率為

U0=Kp(r-Z1)-KdZ2

(16)

(17)

式中：U0為由狀態(tài)誤差反饋控制率解算得到的控制輸入;U1為由自抗擾控制器解算得到的控制輸入；Z1、Z2、Z3為三階狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器的觀測(cè)輸出；r為系統(tǒng)控制指令輸入；Kp，Kd為控制參數(shù)；b0為由被控對(duì)象特性和參數(shù)決定的常量參數(shù)。

將U1與經(jīng)過(guò)遲滯、蠕變前饋補(bǔ)償?shù)玫降那梆佪斎險(xiǎn)q進(jìn)行求和，得到所設(shè)計(jì)的復(fù)合控制器整體輸入U(xiǎn)為

U=U1+Uq

(18)

3 仿真研究

為檢驗(yàn)復(fù)合控制法對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)形狀控制的效果，在MATLAB/Simulink環(huán)境下構(gòu)建了壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)形狀閉環(huán)控制仿真平臺(tái)，并開(kāi)展了數(shù)值仿真研究。本文在線性自抗擾控制(LADRC)系統(tǒng)中，狀態(tài)擴(kuò)張觀測(cè)器的參數(shù)選取β1=150，β2=120，β3=125×103，反饋參數(shù)Kp=1 000，Kd=8，b0=0.01。為對(duì)比顯示LADRC控制法在控制精度和魯棒性上的優(yōu)勢(shì)，還搭建了基于比例、積分、微分(PID)控制與遲滯、蠕變前饋補(bǔ)償相結(jié)合的復(fù)合控制系統(tǒng)。通過(guò)自調(diào)節(jié)整定PID參數(shù)Kp=5×104，Ki=7×102，Kd=5×104。

在研究中采用正弦形式的控制信號(hào)yr=0.005sin(0.125πt)作為期望輸入，對(duì)被控對(duì)象分為下述3種情況進(jìn)行仿真：

1) 在無(wú)外界干擾條件下，單獨(dú)采用LADRC控制法和PID法對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)變形控制。圖10為兩種控制方法的控制效果和控制誤差。

圖10 控制效果展示

2) 在無(wú)外界干擾條件下，將LADRC控制法和PID控制法分別與遲滯、蠕變前饋逆補(bǔ)償控制相結(jié)合，對(duì)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)變形控制。圖11為兩種控制方法的控制效果和控制誤差。

圖11 控制效果展示

3) 將LADRC控制法和PID控制法分別與遲滯、蠕變前饋逆補(bǔ)償控制相結(jié)合，對(duì)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)進(jìn)行動(dòng)態(tài)變形控制。采用正弦信號(hào)y=50sin(0.5πt)作為輸入干擾信號(hào)施加于仿真過(guò)程中，圖12為兩種控制方法的控制效果和控制誤差。

圖12 控制效果展示

圖13為分別采用LADRC和PID結(jié)合遲滯、蠕變前饋補(bǔ)償控制的復(fù)合控制法及單獨(dú)采用LADRC和PID反饋控制法的誤差曲線?；诜抡娼Y(jié)果，計(jì)算得到4種控制方法下的控制位移與期望位移的平均絕對(duì)誤差分別為0.038 6 mm、0.108 1 mm、0.484 5mm、1.537 3 mm。

圖13 控制誤差對(duì)比圖

對(duì)比圖11和圖12的仿真結(jié)果可知，MFC遲滯、蠕變特性對(duì)系統(tǒng)控制精度影響嚴(yán)重，在LADRC和PID閉環(huán)控制下，引入遲滯蠕變前饋補(bǔ)償控制器后，系統(tǒng)控制精度分別提高了2.8倍和3.2倍。

由圖13可知，LADRC復(fù)合控制法除能夠提高被控對(duì)象的控制精度外，閉環(huán)系統(tǒng)的抗干擾能力和魯棒性也得到增強(qiáng)。在引入干擾信號(hào)后，LADRC復(fù)合控制法的控制能力幾乎無(wú)變化，而PID復(fù)合控制法則難以實(shí)現(xiàn)對(duì)控制輸入的有效跟蹤。由此可知，LADRC控制法對(duì)這種壓電驅(qū)動(dòng)大柔性結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)形狀的控制更具優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)論

1) 本文進(jìn)行了壓電驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)形狀復(fù)合控制的理論研究?；谟邢拊?、均勻化理論和載荷比擬法，構(gòu)建了面向MFC驅(qū)動(dòng)柔性結(jié)構(gòu)形狀的控制模型。對(duì)比實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，所建立的控制模型具有良好的精度。建模方法對(duì)于指導(dǎo)壓電材料驅(qū)動(dòng)大柔性結(jié)構(gòu)形狀控制具有實(shí)際參考價(jià)值。

2) MFC作動(dòng)器遲滯蠕變特性對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)形狀控制精度影響嚴(yán)重。建立了基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)PI遲滯模型與lg(t)形式的蠕變模型，開(kāi)展了遲滯蠕變前饋逆補(bǔ)償控制器設(shè)計(jì)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，所設(shè)計(jì)的前饋控制器能有效消除MFC的非線性，滿足高精度形狀控制的工程需要。

3) 構(gòu)建了基于遲滯、蠕變非線性逆補(bǔ)償模型的前饋控制和自抗擾反饋控制相結(jié)合的復(fù)合控制系統(tǒng)。仿真算例表明,復(fù)合控制法能在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性前提下實(shí)現(xiàn)對(duì)結(jié)構(gòu)形狀的有效控制，前饋補(bǔ)償控制能夠提高控制精度。同時(shí)仿真結(jié)果表明，與經(jīng)典PID控制法相比，LADRC具有更高的抗擾性和魯棒性。