幾何直觀：運算概念教學(xué)的有效通道

小學(xué)數(shù)學(xué)運算概念的學(xué)習(xí)，主要包括四則運算概念、積的變化規(guī)律、商不變的性質(zhì)和運算律等內(nèi)容。在運算概念教學(xué)中，如何化抽象為具體、變復(fù)雜為簡明，一直是教學(xué)的焦點問題。一般地說，幾何直觀是運算概念教學(xué)目標(biāo)達成的有效通道。因為幾何直觀可以借助形與數(shù)的對應(yīng)幫助學(xué)生理解形與數(shù)的關(guān)聯(lián)，有助于運算概念的引入；可以借助形的表象來幫助學(xué)生理解抽象的運算算理，有助于運算方法的理解和掌握；可以借助形的幾何推算激發(fā)學(xué)生對運算規(guī)律的探究欲望，有助于運算規(guī)律的應(yīng)用。本文就幾何直觀在運算律概念、運算算理理解、積的變化規(guī)律的教學(xué)中的實際運用為例，試著尋求以幾何直觀為主要路徑與手段來發(fā)現(xiàn)運算概念中內(nèi)隱的幾何背景，從而有效揭示運算概念的本質(zhì)。

一、幾何直觀有利于運算概念的引入

數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中的運算概念呈現(xiàn)線性的教學(xué)結(jié)構(gòu)體系，根據(jù)同一領(lǐng)域內(nèi)容的先后順序縱向展開。如果把這塊知識和圖形與幾何領(lǐng)域的內(nèi)容結(jié)合，就能使知識點的學(xué)習(xí)環(huán)環(huán)相扣，形成一個網(wǎng)狀的知識結(jié)構(gòu)。而兩者的結(jié)合點，就是利用幾何直觀對應(yīng)形與數(shù)，使學(xué)生在理解形與數(shù)的關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，有效建構(gòu)運算概念。

在教學(xué)乘法分配律后，教師總會發(fā)現(xiàn)學(xué)生中存在著大量的運算錯誤，主要形式有“（a×b ）×c”與“（a+b ）×c”混淆，“（a+b）×c”演算成“a+b×c”。出現(xiàn)困難的學(xué)生往往只建立了運算概念的表象，并沒有將其本質(zhì)納入自身的知識結(jié)構(gòu)中。其中重要的原因是學(xué)生對乘法分配律引入的表征感悟不深。在課堂上，如果只讓學(xué)生經(jīng)歷從“數(shù)”到“數(shù)”、從“算”到“算”的乘法分配律建構(gòu)過程，只讓學(xué)生用“數(shù)”表征“數(shù)”、用“算”表征“算”，那么學(xué)生對乘法分配律的理解就會停留在識記與模仿層面，既給他們帶去記憶負擔(dān)，又導(dǎo)致他們在多種運算律齊學(xué)之后胡亂運用。

那么，以什么來表征乘法分配律，以什么來引入乘法分配律的建構(gòu)呢？在學(xué)生的學(xué)習(xí)中，雖然數(shù)與形一方面分別以不同的方式存在于各自的領(lǐng)域，但教師可以想辦法將它們聯(lián)系起來，例如，長方形的周長就與乘法分配律相關(guān)聯(lián)。學(xué)生在三年級已經(jīng)學(xué)習(xí)了長方形的周長，是否可以利用長方形周長的計算經(jīng)驗、直觀的線段圖來引出抽象的乘法分配律？筆者進行了嘗試，并收到了意想不到的效果。

（一）以形引數(shù)，以數(shù)表形

師：用兩種方法求出第一個長方形的周長。

生：5×2+3×2=16，（5+3）×2=16。（從形到數(shù)，是抽象概括）

師：指一指式子中每一步運算表示的是圖上的哪一部分。[“指一指”是從數(shù)到形，發(fā)現(xiàn)每一步運算代表的直觀意義，借助直觀理解（5+3）×2=5×2+3×2。]

（二）借助直觀，理解乘法分配律的基本模型

師（課件變數(shù)據(jù)）：現(xiàn)在，你還能算這個長方形的周長嗎？

生：（長+寬）×2，長×2+寬×2。

師：左邊乘了一個2，右邊乘了兩個2，左右為什么會相等？（長+寬）×2=長+寬×2，看起來更合理。

生：不是的。（長+寬）×2，是長方形一條長與一條寬先合起來，然后有這樣的兩份。長+寬×2，只有一條長兩條寬，變成一個殘疾長方形了。長×2+寬×2，是兩條長兩條寬，還是這個長方形。

師：你們能把自己的意思畫出來嗎？

（思考：學(xué)生原本對乘法分配律中數(shù)的變化并不在意，對“2”也不關(guān)注，他們很清楚用兩種方法求出的周長肯定相等，可現(xiàn)在不得不把所有的注意力都集中到式子中唯一的數(shù)字“2”上。他們經(jīng)歷了剛才的“指一指”，對每一步運算代表的直觀意義有了清晰的解讀，因此能很快畫出直觀圖來表示（長+寬）×2、長×2+寬×2、長+寬×2所代表的意義。在這個過程中，學(xué)生自己利用直觀形象予以解釋，對乘法分配律的基本模型有更深刻的理解，無形中減少了類似（5+3）×2=5+3×2這樣的錯誤。）

師：當(dāng)長方形的長和寬變成a和b，周長怎樣算？

生：（a+b）×2，a×2+b×2。

師：a和b可以是幾？你能舉例嗎？

師：觀察，這些式子里，誰總是不變的呢？

生：“2”，沒有變。

師：那如果“2”也變了，比如說變成了3，兩個式子還會相等嗎？請舉例，并用作圖的方式說明你的看法。（個別學(xué)生板演）

生： （a+b）×3=a×3+b×3。

（多名學(xué)生舉例、說明）

師：既然這個2也可以變，可以是3，可以是4……那我們可以用一個怎樣的式子加以概括？

生：（a+b）×c=a×c+b×c。

師：觀察一下你們畫的圖形，長度為a和b的線段有什么特點？

生：兩種線段一樣多。

師：當(dāng)長度為a和b的線段擁有相等的數(shù)量時，我們總能得到這樣的兩個相等的式子嗎？當(dāng)它們都有10份時，總長度是多少？

師：（a+b）×10=a×10+b×10。

師：誰來舉例？

生：當(dāng)a和b都有99份時，（a+b）×99=a×99+b×99。

師：能看圖說嗎？

生：（5+12）×3=5×3+12×3。

師：（5+12）×3，從圖上怎么看？5×3+12×3又是怎么看？

師：大家都能理解為什么（a+b）×c=a×c+b×c，這很好。但這（a+b）×c=a×c+b×c，還表示著一種運算律，叫作乘法分配律。

（思考：在這一系列寫、說、畫之后，學(xué)生會自然地發(fā)現(xiàn)當(dāng)a和b數(shù)量相等時，教師總可以寫出這樣的兩個相等的式子。借助直觀一步一步提取了基本模型，提取后再從數(shù)到形用直觀加以表征，數(shù)與形也就結(jié)合起來共同納入學(xué)生的認知系統(tǒng)。在數(shù)與形獨立、 對應(yīng)的基礎(chǔ)上，讓兩者承接內(nèi)聯(lián)，相互作用、相互影響，以便于學(xué)生更深刻地理解知識， 更全面地揭示知識的本質(zhì)。）

二、幾何直觀有利于運算方法的理解

在計算教學(xué)中，經(jīng)常能看到數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。但如何在算理算法上突破以往的思維慣性，讓直觀幾何真正起到幫助學(xué)生理解算法的作用呢？丁杭纓老師的“多位數(shù)乘一位數(shù)筆算”教學(xué)給教師提供了極佳的范例。

（6 位小朋友參加羽毛球訓(xùn)練，教練員要求“每人準(zhǔn)備 30 只羽毛球 ”，他們訓(xùn)練了一個月后，有3個小朋友剩下的羽毛球只數(shù)都是12只，另3個小朋友剩下的都是21只）

師：剛才同學(xué)們分別用口算的方法、豎式的方法嘗試計算了 21×3 的積。這兩種方法你看懂了嗎？為了證明大家已經(jīng)理解了，老師想和大家一起合作，我點豎式中的一個（部分）數(shù)，你們點出它相當(dāng)于橫式中的哪一步？在這幅圖中（見下圖），又是指哪一部分呢？（師點“ 3”，生點 “ 3 ×1 =3”，另一生指出了圖中王芳、陳園、張晴所剩下的羽毛球中，零散的3只。師再指 6，生圈3×20=60，另一生指出3人剩下6盒羽毛球）

師： 從上圖可以看出豎式中的每一步和口算、 圖都是有密切聯(lián)系的。

師：剛才我們計算了 21×3和 12×3， 再把兩個積相加， 算出還剩羽毛球 99 只。老師也解答了這個問題， 但是我的算式是這樣的： 33×3=99， 請你猜一猜， 老師是怎么想的？

生： 知道了， 21 和 12 加起來是 33， 再把 33 和 3 乘起來。

師： 請你在圖上指給大家看， 21 和 12 加起來是什么意思？……

師： 請你用豎式計算 33×3。（學(xué)生獨立計算，互相說明計算方法）

（思考：在這樣一個教學(xué)過程中，運用幾何直觀是教師的重要教學(xué)手段。幾何直觀為理解算理與算法提供了豐富的支撐。學(xué)生學(xué)會了算，理解了為什么這樣算，使運算在學(xué)生眼里不再是枯燥的，而是豐滿和立體的。）

三、幾何直觀有利于運算規(guī)律的應(yīng)用

在小學(xué)運算概念中，主要有積變化的規(guī)律和商不變的規(guī)律。積的變化規(guī)律一課的教學(xué)目標(biāo)是讓學(xué)生探索因數(shù)變化引起積的變化規(guī)律，感受發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的規(guī)律。

教材以兩組乘法算式為載體，試圖引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、口算、計算、說理、交流等活動，歸納出積的變化規(guī)律，并會用數(shù)學(xué)語言刻畫這個規(guī)律，感悟函數(shù)的思想方法。因此，在教學(xué)中，教師大多是從口算引入，再來引出規(guī)律，然后舉例驗證，最后應(yīng)用。

學(xué)生雖然通過觀察、歸納，看似能夠比較順利地歸納出積的變化規(guī)律，但在實際應(yīng)用時，卻出現(xiàn)了問題。

例如，下面這樣一道題（見圖1、圖2）。第二個因數(shù)依次擴大到原數(shù)的2倍、3倍、4倍、5倍、6倍，學(xué)生的正確率較高?？梢坏⑺闶巾樞虼騺y，將題目重新排列（見圖2），錯誤卻大增。而當(dāng)學(xué)生遇到下面這道題（見圖3）時，僅個別學(xué)生能夠自發(fā)運用積的變化規(guī)律去計算。

圖 1

圖 2

圖3

這說明學(xué)生從探究到應(yīng)用使用的材料都是以組為單位按一定規(guī)律排列的乘式，探究時往往數(shù)據(jù)很簡單，使學(xué)生在易于發(fā)現(xiàn)規(guī)律的同時形成了對規(guī)律沒有學(xué)習(xí)需求的問題。而且從數(shù)到數(shù)，他們只看到積的0一個一個多起來了，卻沒有深刻領(lǐng)悟0因誰而多起來，為什么多起來，也無法將其與幾何圖形自發(fā)關(guān)聯(lián)。因此，很多學(xué)生不具備靈活應(yīng)用積的變化規(guī)律的能力。

積的變化規(guī)律是小學(xué)階段第一次概括運算規(guī)律、應(yīng)用規(guī)律，教師應(yīng)該注意在歸納和應(yīng)用的過程中讓學(xué)生經(jīng)歷一個從直觀到抽象的過程，讓“形”成為“數(shù)”的支撐，讓學(xué)生經(jīng)歷一個自發(fā)需要探究規(guī)律、運用規(guī)律的過程，讓探究需要成為規(guī)律歸納與應(yīng)用的動力，使學(xué)生能將規(guī)律靈活應(yīng)用于實際問題的解決。

第一步，計算中探求規(guī)律。呈現(xiàn)多個長方形，無序擺放，讓學(xué)生求出它們的面積。給出的數(shù)據(jù)不容易口算，又要計算4個圖形，學(xué)生自然會感到很麻煩。教師引導(dǎo)“看誰動作快，一邊算，一邊可以觀察哦！發(fā)現(xiàn)了數(shù)學(xué)秘密，你就不會覺得計算麻煩了”。當(dāng)有個別學(xué)生發(fā)現(xiàn)秘密后，就會刺激其他學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，允許同桌交流，擴大探究面。

第二步，結(jié)合直觀描述規(guī)律。讓學(xué)生上講臺來匯報他們的發(fā)現(xiàn)和思考。在學(xué)生回答時，教師緊扣“誰變了，誰不變，誰跟著變”將式子中的數(shù)與圖中的數(shù)據(jù)對應(yīng)，從數(shù)的變化推論圖形面積的變化，又用圖形的形狀和面積的變化來直觀式子中數(shù)的變化。在學(xué)生描述發(fā)現(xiàn)的過程中，將上圖變成下圖，使學(xué)生直觀地認識到一條邊的長度不變，另一條邊擴大幾倍，面積也擴大相應(yīng)的倍數(shù)。

借助“形”的支撐，學(xué)生很快歸納出“一個因數(shù)不變，另一個因數(shù)擴大幾倍，積也擴大相應(yīng)的倍數(shù)”這一運算規(guī)律。

第三步，以形表數(shù)，靈活應(yīng)用。提出“看到120×23，你想到了怎樣的圖形？”這類作圖問題，使學(xué)生在“數(shù)”與“形”的轉(zhuǎn)換中完全掌握規(guī)律。隨后做圖3的變化題（見圖4）。

圖4

把560變成544，544÷8×24與544×（24÷8），在計算上544×（24÷8）優(yōu)勢明顯，凸顯運用規(guī)律的便捷性。而560÷8×24和560×（24÷8），誰更方便呢？方法不同，僅僅是解決問題的策略多樣化，并未為運算規(guī)律的應(yīng)用提供助力。

數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。數(shù)與形雖然存在于兩個系統(tǒng)領(lǐng)域中，但兩者在某種意義上往往存在著要素的對應(yīng)關(guān)系。在小學(xué)數(shù)學(xué)運算概念教學(xué)中，如果能充分挖掘運算概念中的幾何內(nèi)涵，優(yōu)化幾何直觀的教學(xué)行為，打通數(shù)與形之間的通道，必將會使學(xué)生更深刻地理解運算概念，更全面地揭示概念的本質(zhì)，學(xué)習(xí)也必將更為直觀和更具數(shù)學(xué)味。

（浙江省奉化市實驗小學(xué) 315500

浙江省奉化市教師進修學(xué)校 315500）