微透鏡陣列的慢刀伺服加工表面粗糙度預(yù)測(cè)模型

林澤欽 陳新度 顏志濤 孫豪

摘?要：建立了超精密加工微透鏡陣列的表面形貌預(yù)測(cè)模型。基于切削參數(shù)、刀具幾何參數(shù)、微透鏡陣列的幾何結(jié)構(gòu)，分析了加工的軌跡規(guī)劃;模型中考慮了刀具與工件之間三維方向相對(duì)振動(dòng)的影響，仿真出加工的表面形貌和粗糙度。通過(guò)仿真模型的計(jì)算，分析了切削參數(shù)、透鏡幾何參數(shù)對(duì)微透鏡陣列表面形貌及粗糙度的影響。

關(guān)鍵詞：微透鏡陣列;慢伺服加工;軌跡生成;振動(dòng);表面預(yù)測(cè)

DOI：10.15938/j.jhust.2020.03.013

中圖分類(lèi)號(hào)：?TH161.1

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：?A

文章編號(hào)：?1007-2683（2020）03-0083-05

Abstract：A?prediction?model?for?the?surface?topography?generation?in?the?ultra-precision?machining?of?microlens?arrays?is?established.?The?tool?path?generation?is?analyzed?based?on?the?cutting?parameters，?tool?geometry?parameters?and?geometry?of?microlens?array.?The?tool-work?vibrations?in?three?dimensional?directions?are?considered?in?the?model?to?simulate?the?surface?topography?and?predict?the?roughness.?The?influence?of?cutting?parameters?and?lens?geometric?parameters?on?the?surface?topography?and?roughness?of?microlens?array?is?studied?through?the?simulation?model.

Keywords：microlens?array;?slow?tool?servo?cutting;?tool?path?generation;?vibration;?surface?prediction

0?引?言

在現(xiàn)代光學(xué)系統(tǒng)中，微結(jié)構(gòu)陣列表面得到廣泛應(yīng)用，包括微透鏡陣列、微棱鏡陣列、微柱面槽、正弦波微槽、微?V?形槽等在內(nèi)的微結(jié)構(gòu)光學(xué)元件具有體積小、質(zhì)量輕、集成度高、造價(jià)低等優(yōu)點(diǎn)，能實(shí)現(xiàn)特定的光學(xué)功能，提高光學(xué)系統(tǒng)的性能，精簡(jiǎn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)[1-3]。其中，微透鏡陣列光學(xué)元件廣泛應(yīng)用在均勻照明、光束聚能及整形、光學(xué)波前檢測(cè)、光場(chǎng)相機(jī)等光學(xué)系統(tǒng)中。

針對(duì)微透鏡陣列元件的生產(chǎn)制造，精密加工技術(shù)提供了整體一次加工的實(shí)現(xiàn)方法[4]，不需要拋光等后續(xù)加工就可以使加工精度達(dá)到亞微米級(jí)的形狀精度和納米級(jí)的表面光潔度。其中，超精密車(chē)削加工有快刀伺服（fast?tool?servo，?FTS）車(chē)削和慢刀伺服（slow?tool?servo，?STS）車(chē)削技術(shù)?？斓端欧?chē)削技術(shù)中使用了由壓電陶瓷、音圈電機(jī)等元件驅(qū)動(dòng)的輔助刀架，進(jìn)行高頻的快速精密進(jìn)刀運(yùn)動(dòng)，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜面形的加工，但大多數(shù)快刀裝置行程有限，一般小于1mm，且驅(qū)動(dòng)元件的滯后問(wèn)題會(huì)造成跟蹤性能下降，主軸位置估計(jì)誤差會(huì)引起加工輪廓混淆[5]。慢刀伺服車(chē)削技術(shù)是在超精密加工機(jī)床上使用主軸的精密位置伺服控制模式（C軸模式），采用C、X、Z三軸聯(lián)動(dòng)方式進(jìn)行加工，不需要額外的刀具驅(qū)動(dòng)裝置，廣泛應(yīng)用于復(fù)雜曲面的加工。使用慢刀伺服技術(shù)車(chē)削微透鏡陣列，其加工的表面形貌和粗糙度與加工過(guò)程中的多個(gè)因素相關(guān)，比如刀具幾何尺寸、加工參數(shù)、加工面幾何參數(shù)、刀具路徑規(guī)劃、主軸回轉(zhuǎn)誤差、材料特性、刀具與工件之間的振動(dòng)、刀具磨損等等。國(guó)內(nèi)外有多個(gè)團(tuán)隊(duì)對(duì)上述因素進(jìn)行了研究，并提出相關(guān)預(yù)測(cè)模型[6-8]。

本文研究了慢刀伺服加工微透鏡陣列的刀具切削軌跡規(guī)劃過(guò)程，考慮加工參數(shù)、刀具幾何參數(shù)、透鏡陣列幾何參數(shù)，以及刀具與工件在三維方向的振動(dòng)等因素的影響，提出微透鏡陣列慢刀伺服加工的表面預(yù)測(cè)模型。

1?微透鏡陣列超精密加工的軌跡規(guī)劃

利用超精密加工機(jī)床CXZ軸的精密位置聯(lián)動(dòng)控制功能，慢刀伺服車(chē)削可實(shí)現(xiàn)微透鏡陣列的加工。在加工過(guò)程中，刀具相對(duì)于工件的加工軌跡在XY平面的投影是螺旋線（圖2），機(jī)床的Z軸則根據(jù)微透鏡陣列的幾何面形以及C軸反饋的位置信號(hào)，帶動(dòng)刀具進(jìn)行進(jìn)刀切削運(yùn)動(dòng)。在進(jìn)行加工前，需要根據(jù)微透鏡陣列的幾何面形、刀具幾何尺寸、加工參數(shù)等規(guī)劃加工切削的軌跡，生成CXZ三軸的聯(lián)動(dòng)加工代碼。

1.1?切削軌跡生成

以主軸的換轉(zhuǎn)中心點(diǎn)為原點(diǎn)構(gòu)建極坐標(biāo)系，在極坐標(biāo)系下的慢刀伺服切削的軌跡可用下式表達(dá)：

式中：n為主軸轉(zhuǎn)速（r/min）;Rw為加工工件尺寸（mm）;F為X軸的進(jìn)給速度（mm/min）;t為加工時(shí)間（s）;q和r分別是刀心位置點(diǎn)在極坐標(biāo)系下的極角和極半徑;h為對(duì)應(yīng)點(diǎn)的Z向高度。在極坐標(biāo)系下對(duì)切削軌跡進(jìn)行等角度的離散化劃分，劃分后的離散點(diǎn)（圖2）坐標(biāo)為（θ，r，h），分別對(duì)應(yīng)機(jī)床的CXZ軸位置坐標(biāo)，可用于生成加工代碼。通過(guò)求解方程組（1）可以計(jì)算每個(gè)徑向截面上的離散點(diǎn)的坐標(biāo)值，其中，式h=f（θ，r）由微透鏡陣列的面形決定，也和刀具圓弧半徑的補(bǔ)償相關(guān)。

1.2?刀尖半徑補(bǔ)償

在時(shí)刻t=tP時(shí)，刀具對(duì)應(yīng)工件表面的加工點(diǎn)為P（θ（tP），r（tP），h（tP）），結(jié)合刀尖圓弧半徑Rt進(jìn)行刀尖圓弧半徑補(bǔ)償，可計(jì)算出刀具的刀心位置tP（θ（tP），r（tP），hT（tP））。

刀尖圓弧半徑補(bǔ)償?shù)姆椒ㄓ?種，一種是沿輪廓法線方向的補(bǔ)償，另一種是沿Z軸方向的補(bǔ)償。法線方向的補(bǔ)償即刀具沿著當(dāng)前工件加工點(diǎn)所在曲線的法線方向偏置距離Rt，這在實(shí)際加工中需要機(jī)床的X軸和Z軸聯(lián)動(dòng)以實(shí)現(xiàn)這個(gè)補(bǔ)償偏置量。因此，X軸除了完成進(jìn)給運(yùn)動(dòng)外，需要有額外的微小移動(dòng)，而由于一般機(jī)床X軸上安裝有主軸、Y軸結(jié)構(gòu)，負(fù)載重量大，動(dòng)態(tài)性能差，采用這種補(bǔ)償方式會(huì)限制加工的速度。本研究采用了Z軸方向的補(bǔ)償方法，在加工過(guò)程中X軸保持固定的進(jìn)給速度，刀具通過(guò)Z軸方向的偏置使得刀尖圓弧與工件表面相切（圖3），Z軸偏置量與輪廓上該點(diǎn)的曲率半徑有關(guān)，刀尖觸點(diǎn)Pcut的連線在XY平面的投影則不是標(biāo)準(zhǔn)的螺旋線。采用這種補(bǔ)償方式，偏置補(bǔ)償運(yùn)動(dòng)由Z軸實(shí)現(xiàn)，而Z軸負(fù)載較小、動(dòng)態(tài)響應(yīng)能力相對(duì)較高，加工的穩(wěn)定性更高。設(shè)工件截面輪廓為L(zhǎng)P，補(bǔ)償后的刀路軌跡Lt可表示如下：

式中：nP為與曲線各點(diǎn)曲率半徑相關(guān)的偏置系數(shù)。

以各單元形狀為球面的微透鏡陣列為例，刀尖圓弧半徑補(bǔ)償如圖3所示。假設(shè)微透鏡陣列的球面單元的球半徑為RQ，單元深度為hQ，刀尖圓弧半徑為R。以微透鏡陣列的基面為參考面（基面處h=0），進(jìn)行Z軸方向的刀尖半徑補(bǔ)償后，微透鏡陣列表面上任意點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的刀心位置表示為PT（θ（tP），r（tP），hT（tP）），可由式（3）計(jì)算刀路軌跡（圖4）。

2?振動(dòng)對(duì)切削軌跡的影響

在超精密加工中，刀尖與工件存在著小幅值的低頻振動(dòng)，是影響加工形貌和粗糙度的重要因素。刀尖與工件之間的振動(dòng)是由機(jī)床振動(dòng)、主軸跳動(dòng)等因素綜合影響的結(jié)果，可以分解到機(jī)床的XYZ三個(gè)方向上，而每個(gè)方向的振動(dòng)分量可近似為簡(jiǎn)諧振動(dòng)[6]，如式（4）所示，其中ax，ay，az分別表示3個(gè)振動(dòng)分量的振幅，fx，fy，fz表示振動(dòng)的頻率，φx，φy，φz表示振動(dòng)的初始相位，為了便于計(jì)算說(shuō)明，本文假定初始相位均為0。

XYZ方向的振動(dòng)不僅會(huì)造成實(shí)際切削點(diǎn)的偏移，也會(huì)改變切削深度，最終影響工件表面的形貌和粗糙度。不少學(xué)者對(duì)振動(dòng)的影響進(jìn)行了影響[6-7，10]，然而其研究并沒(méi)有綜合分析3個(gè)方向的振動(dòng)分量對(duì)陣列表面影響。

圖5描述了XY方向振動(dòng)分量對(duì)切削軌跡（在XY平面的投影）的影響。在極坐標(biāo)系中，X方向的振動(dòng)改變了軌跡上的點(diǎn)的極半徑值，在振動(dòng)影響下，理想的軌跡點(diǎn)A偏移到了A'處;而Y方向的振動(dòng)造成軌跡上點(diǎn)的極角度和極半徑的變化，在主軸旋轉(zhuǎn)了θ角度后，刀心位置/應(yīng)該由B點(diǎn)轉(zhuǎn)移到C點(diǎn)，但振動(dòng)的影響改變了C點(diǎn)的位置，實(shí)際的刀心點(diǎn)偏置到了C'。而Z方向的振動(dòng)分量則影響刀尖與工件的距離，使得實(shí)際切削深度發(fā)生變化。振動(dòng)導(dǎo)致的偏移量可用式（5）表示。

振動(dòng)因素導(dǎo)致了切削軌跡的偏移，在加工微透鏡陣列過(guò)程中，實(shí)際軌跡表達(dá)式為式（6）。為求解實(shí)際的軌跡坐標(biāo)點(diǎn)（θi（ti），ri（ti），hTi（ti）），在極坐標(biāo)下按照等角度間隔Δθ做軌跡離散化，聯(lián)合式（6）求解每個(gè)角度截面上的軌跡點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)間ti序列，進(jìn)而求解出ti序列的軌跡坐標(biāo)值。

以2×2的球面單元微透鏡陣列為例，考慮了刀具半徑補(bǔ)償（假設(shè)刀尖半徑R=0.5mm）及振動(dòng)因素后的切削軌跡如圖6所示，為了更好體現(xiàn)振動(dòng)的影響，圖中仿真的加工每轉(zhuǎn)進(jìn)給量、振動(dòng)幅值均作了放大處理。

3?表面形貌生成

超精密車(chē)削的表面輪廓可以看作是刀具輪廓以進(jìn)間隔連續(xù)運(yùn)動(dòng)掃掠而成[6]，工件上每個(gè)徑向截面的輪廓是由刀刃輪廓交點(diǎn)以及最小輪廓邊組成，根據(jù)刀心的位置可計(jì)算出工件表面各個(gè)點(diǎn)的殘留高度值圖3。使用同樣的切削參數(shù)，即每轉(zhuǎn)進(jìn)給量f不變，在加工不同球半徑（曲率）的透鏡得到的殘留高度hc是不相同的，這在后續(xù)的仿真實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了驗(yàn)證。

為計(jì)算殘留高度值，如圖7所示，對(duì)工件表面按照等角度間隔Δθ劃分徑向截面，每個(gè)截面沿徑向按照等間距Δr劃分，形成網(wǎng)格并計(jì)算各個(gè)網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)值。截面上的輪廓由該截面上加工軌跡點(diǎn)的位置決定，各節(jié)點(diǎn)的殘留高度值?hSPcut可按照下式計(jì)算。

基于工件表面網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)據(jù)，可以擬合仿真出加工表面的形貌，按照式（8），可以計(jì)算出工件表面的粗糙度值Ra，其中NS表示表面離散網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的總數(shù)。

4?仿真分析

本文使用Matlab軟件進(jìn)行模型仿真，圖8為微透鏡陣列的仿真加工表面形貌，仿真參數(shù)見(jiàn)表1。

在建立了仿真模型后，本文研究了透鏡尺寸、切削參數(shù)對(duì)加工結(jié)果的影響，使用模型計(jì)算了不同參數(shù)下的仿真預(yù)測(cè)結(jié)果見(jiàn)圖9～10，仿真中除了對(duì)比的仿真參數(shù)取不同數(shù)值外，其它參數(shù)均與表1數(shù)據(jù)相同。

如圖9所示，在一定范圍內(nèi)，隨著透鏡球半徑的增大，微透鏡單元的平均粗糙度值逐漸減小。這是由于在主軸轉(zhuǎn)速和進(jìn)給量都保持不變時(shí)，加工的每轉(zhuǎn)進(jìn)給量f恒定，根據(jù)本文提出的刀具圓弧半徑補(bǔ)償方法可知，當(dāng)透鏡單元的球半徑增大，同一徑向界面上相鄰刀心在工件半徑方向的距離不變，而在Z方向上的距離減小，從而使得加工表面的殘留高度

hc和粗糙度Ra都減少。但從圖9數(shù)據(jù)可見(jiàn)，當(dāng)透鏡單元球半徑增大到15mm后，球半徑對(duì)粗糙度的影響已經(jīng)很小。圖10數(shù)據(jù)說(shuō)明了當(dāng)主軸轉(zhuǎn)速恒定，隨著進(jìn)給速度提高（每轉(zhuǎn)進(jìn)給量增大），透鏡單元的平均粗糙度也逐漸增大。且針對(duì)固定球半徑大小的微透鏡陣列，隨著進(jìn)給速度的增大，其對(duì)粗糙度的影響也增大。

綜上分析，在使用慢刀伺服加工球半徑值較小的透鏡陣列時(shí)，設(shè)置較小的進(jìn)給速度值，有利于減少粗糙度。而當(dāng)進(jìn)給速度足夠小時(shí)，繼續(xù)減少進(jìn)給速度對(duì)提高表面質(zhì)量所起的效果不大，反而降低了加工效率。使用本文模型，可以在加工前進(jìn)行仿真分析，選取優(yōu)選的加工參數(shù)。

5?結(jié)?論

本文分析了超精密車(chē)削加工微透鏡陣列的加工軌跡規(guī)劃方法，研究了加工參數(shù)、透鏡陣列的幾何參數(shù)、刀具尺寸，以及刀具與工件之間的振動(dòng)對(duì)微透鏡陣列加工形貌和粗糙度的影響，并提出了微透鏡陣列表面形貌生成的仿真與粗糙度的預(yù)測(cè)模型。通過(guò)該模型的仿真分析，研究了不同的透鏡球半徑、加工刀具的進(jìn)給速度對(duì)微透鏡單元表面粗糙度的影響。

從仿真結(jié)果可見(jiàn)，保持其他參數(shù)恒定，子透鏡的球半徑越大，子透鏡的粗糙度越小;而主軸轉(zhuǎn)速恒定，隨著進(jìn)給速度提高，加工后的粗糙度增大。

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（編輯：王?萍）