車橋耦合振動(dòng)的橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模擬

陳水生，趙 輝，，夏鈺桓

(1.華東交通大學(xué)，江西 南昌 330013；2.湖北恒大建設(shè)工程有限公司，湖北 武穴 435400)

0 引言

車輛在橋上行駛時(shí)，高低不平的橋面狀況不僅影響車輛行駛安全和乘坐舒適性，也是橋梁產(chǎn)生隨機(jī)振動(dòng)的主要激勵(lì)源。在空間上處于車輪與橋梁間的橋面高低起伏狀況具有很大的隨機(jī)性，如何建立有效的﹑貼近實(shí)際的橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)輸入模型，對(duì)研究車橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律至關(guān)重要。文獻(xiàn)[1-2]研究橋面不平度對(duì)簡(jiǎn)支梁橋振動(dòng)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[3-4]用不同的方法模擬橋面不平度，分析連續(xù)梁橋的振動(dòng)響應(yīng)；文獻(xiàn)[5-6]分析了橋面不平度對(duì)鋼管混凝土拱橋振動(dòng)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[7]考慮車輛六輪的相互關(guān)系，分析不同橋面路況等級(jí)和不平順隨機(jī)激勵(lì)相干程度對(duì)連續(xù)箱梁橋振動(dòng)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[8]研究路面平穩(wěn)激勵(lì)對(duì)二分之一車懸架系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)的影響。上述研究的橋面不平度激勵(lì)樣本都是平穩(wěn)的高斯隨機(jī)過程，車輛在橋上是勻速行駛的。然而，當(dāng)車輛變速行駛時(shí)，橋面不平度激勵(lì)在時(shí)域上就是一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過程，此情況下采用平穩(wěn)隨機(jī)過程模擬橋面不平度就難以體現(xiàn)車橋耦合系統(tǒng)的非平穩(wěn)振動(dòng)響應(yīng)特征。因此，對(duì)于由橋面不平度引起的車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)研究，橋面激勵(lì)應(yīng)考慮為非平穩(wěn)隨機(jī)過程，更符合真實(shí)的車橋?qū)嶋H關(guān)系狀態(tài)。文獻(xiàn)[9-11]分析車輛在橋上緊急制動(dòng)產(chǎn)生的橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的影響；文獻(xiàn)[12-13]研究了路面凸凹這一非平穩(wěn)路況對(duì)結(jié)構(gòu)及車輛振動(dòng)響應(yīng)的影響;文獻(xiàn)[14]研究四分之一車在路面非平穩(wěn)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)；文獻(xiàn)[15]分析了兩軸二分之一車非勻速行駛時(shí)車橋系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)，非平穩(wěn)橋面激勵(lì)樣本驗(yàn)證不充分；文獻(xiàn)[16]基于虛擬激勵(lì)法研究了橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的影響，但橋面不平度激勵(lì)為一致激勵(lì)，沒有考慮前后車輪的時(shí)間滯后；文獻(xiàn)[17-18]建立了車輛各輪相關(guān)的路面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型，但模型沒有驗(yàn)證。針對(duì)上述研究中存在的不足，本研究建立了車輛六輪相關(guān)的橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型，通過工程實(shí)例驗(yàn)證了非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型的有效性，并將非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)應(yīng)用到車橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)研究中。

1 單輪橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型

設(shè)三軸汽車最前方兩車輪的橋面不平順激勵(lì)為q1(t)和q2(t)，中間軸兩車輪的橋面隨機(jī)激勵(lì)為q3(t)和q4(t)，第三軸兩車輪所受的橋面激勵(lì)為q5(t)和q6(t)，前軸到中軸之間的距離為l1，前軸到后軸之間的距離為l2，車輛左輪跡與右輪跡的間距為B，汽車各輪間的平面位置如圖1所示。

圖1 車輛六輪平面布置圖Fig.1 Plane layout of 6 wheels of vehicle

以車輛行駛的距離s為變量，根據(jù)濾波白噪聲法可得單輪橋面不平度為：

(1)

式中，Ωc=2πnc，nc為路面空間截止頻率。由于

(2)

公式(2)代入公式(1)可得：

(3)

因?yàn)閃(s)是參數(shù)化白噪聲，不能直接在公式(3)中應(yīng)用，依據(jù)協(xié)方差等效法可得單輪橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)輸入方程[19]：

(4)

在式(4)中因?yàn)閃1(t)為平穩(wěn)過程，可以直接使用。

2 左右輪相關(guān)橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型

車輛左右輪跡的橋面激勵(lì)相關(guān)模型需要輸入左右輪的相干函數(shù)，在此采用文獻(xiàn)[20]的相干函數(shù)模型。依據(jù)隨機(jī)振動(dòng)的理論，振動(dòng)系統(tǒng)的輸入激勵(lì)與輸出響應(yīng)之間的互功率譜Sxy(w)為振動(dòng)系統(tǒng)頻響函數(shù)Hxy(w)與輸入激勵(lì)自譜密度Sx(w)的乘積，系統(tǒng)頻響函數(shù)的模與相干函數(shù)相等，即：

|Hxy(w)|=cohxy(w)。

(5)

采用二階Pade近似計(jì)算，將公式(5)轉(zhuǎn)換為左前輪及右前輪橋面激勵(lì)輸入的狀態(tài)方程和輸出方程：

(6)

3 前后輪相關(guān)橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型

同一側(cè)的輪跡，中輪和后輪的橋面激勵(lì)滯后前輪一段時(shí)間，在車輛行駛速度為v時(shí)，左側(cè)中輪和左側(cè)后輪的橋面激勵(lì)輸入可寫成：

(7)

根據(jù)前后輪的傳遞函數(shù)關(guān)系，采用二階Pade近似計(jì)算即可求出左前輪和左中輪橋面輸入相關(guān)性的狀態(tài)方程和輸出方程[21]：

(8)

同理可得q5(t)的橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)輸入的狀態(tài)方程和輸出方程。綜上所述，便可得到車輛六輪橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)輸入的時(shí)域方程為：

(9)

式中，

4 工程實(shí)例分析

以大塅水庫(kù)橋?yàn)檠芯繉?duì)象，該橋位于江西奉銅高速公路銅鼓縣大塅鎮(zhèn)，為3×30 m預(yù)應(yīng)力混凝土先簡(jiǎn)支后連續(xù)T梁橋，單幅橋的橫橋向由6片T梁組成，T梁的高度為2 m，橋梁總跨徑為90 m。橋梁橫斷面布置：0.5 m(防撞欄)+11.65 m(行車道)+0.5 m(防撞欄)+0.35 m(隔離帶)。橋面結(jié)構(gòu)層分別為：4 cm厚改性瀝青混凝土抗滑表層、6 cm 厚中粒式改性瀝青混凝土、三層改性防水層和10 cm厚C50混凝土橋面鋪裝層。橋梁設(shè)計(jì)荷載為公路-I級(jí)，下部結(jié)構(gòu)為樁柱式橋墩。

4.1 車輛六輪相關(guān)橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型驗(yàn)證

為了更精確地計(jì)算橋面不平度對(duì)車橋耦合系統(tǒng)的影響，采用LXBP-5型公路連續(xù)式八輪平整度儀對(duì)大塅水庫(kù)橋的橋面狀況進(jìn)行了測(cè)試。在橋梁的兩個(gè)行車方向上采集多組數(shù)據(jù)，其中一組橋面不平度離散數(shù)據(jù)如圖2所示，利用快速傅里葉變換技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理可得相應(yīng)的功率譜密度，實(shí)測(cè)橋面不平度的功率譜密度與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)GB 7031—86的比較如圖3所示，從圖可知，橋面狀況處于B級(jí)到C級(jí)之間，在此取橋面不平度系數(shù)Sq(n0)≈128×10-6m2/m-1。

圖2 實(shí)測(cè)橋面不平度Fig.2 Measured bridge deck roughness

圖3 實(shí)測(cè)值與國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)對(duì)比Fig.3 Comparison between measured value and national standard values

以一輛三軸后八輪汽車為研究對(duì)象，車輛左右輪距B=1.8 m，前中軸距l(xiāng)1=3.6 m，前后軸距l(xiāng)2=4.8 m，采用大塅水庫(kù)橋橋面不平度系數(shù)，按照上述方法生成橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)樣本。車輛行駛的初速度v0=0 m/s，加速度a=2 m/s2，采樣時(shí)間10 s,可得車輛6個(gè)車輪的橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)輸入如圖4所示，從圖可以看出，當(dāng)車輛加速行駛時(shí)，因橋面不平順引起的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)的幅值隨時(shí)間 (速度)的增大而增大。

當(dāng)車輛以速度v行駛在橋梁上時(shí)，依據(jù)空間頻率n和時(shí)間頻率f之間的關(guān)系f=vn，可將空間頻率(n1,n2)內(nèi)的位移功率譜密度Sq(n)變換為時(shí)間頻率(f1,f2)內(nèi)的位移功率譜密度Sq(f)：

(10)

式中，空間參考頻率為n0=0.1 m-1；橋面不平度系數(shù)為Sq(n0)。

對(duì)車輛各輪的橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)樣本進(jìn)行功率譜變換，并與公式(10)計(jì)算的理論值進(jìn)行對(duì)比，如圖5所示，從圖中可以看出：非平穩(wěn)激勵(lì)樣本的功率譜與理論功率譜吻合得很好。

圖4 六輪相關(guān)橋面輸入時(shí)間歷程Fig.4 Time history of 6-wheel correlated bridge deck input

圖5 六輪相關(guān)橋面非平穩(wěn)激勵(lì)的功率譜Fig.5 Power spectra of 6-wheel correlated bridge deck non-stationary excitation

圖6 前中后輪互相關(guān)函數(shù)Fig.6 Cross-correlation functions of front, middle and rear wheels

圖7 左右輪相干函數(shù)值與理論值對(duì)比Fig.7 Comparison of left and right wheels coherence function value with theoretical value

4.2車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)分析4.2.1車橋耦合振動(dòng)方程

取車輛總重約330 kN，前軸重64.7 kN，中后軸重265.3 kN，采用傳統(tǒng)的彈簧-質(zhì)量-阻尼振動(dòng)體系，將三軸汽車簡(jiǎn)化為九自由度空間模型，考慮車體豎向位移、縱向點(diǎn)頭和側(cè)翻，簡(jiǎn)化車輛模型如圖8所示，車輛各項(xiàng)參數(shù)的取值與文獻(xiàn)[16]相同。依據(jù)車輛系統(tǒng)振動(dòng)原理，建立九自由度空間車輛振動(dòng)方程如下：

(11)

圖8 車輛模型的側(cè)面和正面Fig.8 Side and front of vehicle model

依據(jù)設(shè)計(jì)圖紙的尺寸和材料屬性，運(yùn)用ANSYS軟件建立大塅水庫(kù)橋的精細(xì)有限元模型，基于對(duì)大塅水庫(kù)橋現(xiàn)場(chǎng)模態(tài)測(cè)試數(shù)據(jù)，通過改變主梁、橋面鋪裝層和橫隔梁的混凝土彈性模量及密度，使橋梁有限元模型的基頻和振型特征接近現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，修正后的有限元模型如圖9所示。為減少車橋耦合計(jì)算矩陣維數(shù)，采用模態(tài)綜合疊加技術(shù)建立橋梁的振動(dòng)方程：

(12)

(13)

式中，qi為第i個(gè)車輪的橋面不平度隨機(jī)激勵(lì)值，聯(lián)立公式(11)～(13)，可得車橋耦合振動(dòng)方程：

(14)

(15)

公式(14)中的Mbv，Cbv，Kbv分別為車橋相互作用模型的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；Fw為路面不平順隨機(jī)激勵(lì)引起的車橋耦合豎向荷載；u為廣義坐標(biāo)向量，u=[y1y2…yrz1…z6zbθbφ]T。將前文模擬得到的六個(gè)車輪非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)樣本q1，q2，q3，q4，q5，q6輸入到公式(15)，通過編制基于Newmark-β算法的Matlab程序求解車橋系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

圖9 大塅水庫(kù)橋有限元模型Fig.9 FE model for Daduan reservoir bridge

4.2.2橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用效應(yīng)

當(dāng)車輛在橋上加速或減速行駛時(shí)，相應(yīng)的橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)為一非平穩(wěn)隨機(jī)過程[15,17]，其不平度的均方根值是時(shí)變的；當(dāng)車輛勻速行駛，即加速度為零時(shí)，相應(yīng)的橋面不平順隨機(jī)激勵(lì)為一平穩(wěn)隨機(jī)過程[19]，其均方根值為常數(shù)，因此平穩(wěn)激勵(lì)是非平穩(wěn)激勵(lì)的特例，即加速度為零。

(1)確定性橋面不平順激勵(lì)

本研究只考慮一種荷載布置方式，即車輛正常行車道位置行駛，距離防撞欄1.475 m。按照該橋橋面不平度狀況生成一組確定性橋面平穩(wěn)和非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)樣本，圖10給出了車輛以初始速度40 km/h，加速度為2 m/s2通過橋梁時(shí)，第二跨邊梁跨中豎向振動(dòng)和車體豎向振動(dòng)的時(shí)程曲線，由圖可得，橋梁和車輛在橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)大于平穩(wěn)激勵(lì)所產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)，且曲線波動(dòng)大于平穩(wěn)激勵(lì)，其中橋梁響應(yīng)曲線的峰值因車輛加速運(yùn)動(dòng)而相對(duì)滯后。

圖10 橋梁和車輛的振動(dòng)響應(yīng)Fig.10 Vibration responses of bridge and vehicle

(2)隨機(jī)性橋面不平順激勵(lì)

伴隨著對(duì)車橋耦合振動(dòng)隨機(jī)激勵(lì)源的研究和認(rèn)識(shí)的不斷深入，確定性橋面不平順激勵(lì)已不能充分體現(xiàn)橋面激勵(lì)的隨機(jī)性特征，這就有必要考慮橋面不平度激勵(lì)的隨機(jī)性，并進(jìn)一步應(yīng)用隨機(jī)振動(dòng)理論對(duì)橋面不平度隨機(jī)激勵(lì)下的車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。因此，本研究在分析橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)對(duì)車橋振動(dòng)響應(yīng)的影響時(shí)，采用蒙特卡羅法對(duì)5 000 個(gè)橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，計(jì)算車橋耦合振動(dòng)響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

圖11為車輛以初始速度40 km/h，加速度為2 m/s2通過橋梁時(shí)，第二跨邊梁跨中豎向振動(dòng)位移和車體豎向振動(dòng)位移的均值，從圖中可以看出：平穩(wěn)激勵(lì)與非平穩(wěn)激勵(lì)的橋梁豎向振動(dòng)位移均值基本重合，也充分說明橋梁的振動(dòng)響應(yīng)主要還是由車輛重力這一確定性荷載激勵(lì)引起，橋面非平穩(wěn)激勵(lì)對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的均值影響很小。但是，車輛振動(dòng)對(duì)橋面隨機(jī)激勵(lì)很敏感，平穩(wěn)激勵(lì)作用的車體振動(dòng)響應(yīng)均值范圍在-2～0.36 mm，而非平穩(wěn)激勵(lì)作用的車體振動(dòng)響應(yīng)均值范圍在-2.58～0.86 mm，顯然非平穩(wěn)激勵(lì)增大了車體振動(dòng)響應(yīng)。

圖11 橋梁和車輛振動(dòng)響應(yīng)均值Fig.11 Mean values of bridge and vehicle vibration response

車輛以初始速度40 km/h，加速度2 m/s2過橋時(shí)的第二跨邊梁跨中豎向位移響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差和車體上下振動(dòng)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差如圖12所示，橋梁在非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差明顯大于平穩(wěn)激勵(lì)作用，可見非平穩(wěn)激勵(lì)的離散性較大且對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差的影響也較大。同時(shí)，非平穩(wěn)激勵(lì)下的車輛振動(dòng)響應(yīng)加劇，響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差隨著車輛的行進(jìn)而增大，而平穩(wěn)激勵(lì)作用時(shí)的車輛振動(dòng)響應(yīng)離散性較小，響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差變化不大。

圖12 橋梁和車輛振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差Fig.12 Standard deviations of bridge and vehicle vibration response

當(dāng)車輛以相同的初速度40 km/h，不同的加速度2，4，6，8 m/s2通過橋梁時(shí)，第二跨邊梁跨中豎向振動(dòng)位移和車體豎向振動(dòng)位移的標(biāo)準(zhǔn)差曲線如圖13所示，由圖可知，橋梁和車輛的振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨著車輛加速度的提高而增大，因?yàn)榧铀俣鹊淖兓?，引起橋面非平穩(wěn)激勵(lì)的幅值和頻率變化，進(jìn)而影響車橋耦合系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)。

圖13 不同行車加速度的橋梁和車輛振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差Fig.13 Standard deviations of vibration responses of bridge and vehicle under different accelerations

總之，橋梁和車輛的振動(dòng)響應(yīng)對(duì)橋面隨機(jī)激勵(lì)很敏感，尤其是非平穩(wěn)激勵(lì)作用增大了橋梁和車輛的振動(dòng)響應(yīng)，對(duì)橋梁運(yùn)營(yíng)安全和使用壽命不利，也影響了車輛乘坐的舒適性，故建議車輛盡量勻速通過橋梁，避免在橋上加速行駛。

5 結(jié)論

(1)根據(jù)車輛六輪間的相干函數(shù)關(guān)系和時(shí)間滯后關(guān)系建立的橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型，其功率譜密度與理論譜吻合得很好，前中后輪的時(shí)間滯后關(guān)系明確，且實(shí)際相干函數(shù)值與理論值也吻合的非常好，充分說明六輪相關(guān)橋面非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)模型有效可靠。

(2)確定性橋面激勵(lì)作用下，非平穩(wěn)激勵(lì)的橋梁和車輛振動(dòng)響應(yīng)大于平穩(wěn)激勵(lì)所產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)，且振動(dòng)響應(yīng)曲線波動(dòng)大于平穩(wěn)激勵(lì)，橋梁響應(yīng)曲線的峰值因車輛加速運(yùn)動(dòng)而相對(duì)滯后。

(3)采用蒙特卡羅法對(duì)多個(gè)橋面隨機(jī)激勵(lì)樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析表明：平穩(wěn)激勵(lì)和非平穩(wěn)激勵(lì)對(duì)橋梁振動(dòng)響應(yīng)的均值影響很小，但車輛振動(dòng)響應(yīng)均值對(duì)橋面隨機(jī)激勵(lì)很敏感，非平穩(wěn)激勵(lì)增大了車輛振動(dòng)響應(yīng)。非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)作用下的車橋振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差明顯大于平穩(wěn)激勵(lì)作用，且車輛振動(dòng)響應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差隨著車輛的行進(jìn)而增大，而平穩(wěn)激勵(lì)作用的振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差變化不大。

(4)隨著車輛行駛速度的增加，因橋面不平順引起的非平穩(wěn)隨機(jī)激勵(lì)信號(hào)的幅值隨時(shí)間 (速度)的增大而增大，且車橋系統(tǒng)的振動(dòng)響應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)差隨著車輛加速度的提高而增大。