多級(jí)奇異值分解和SG的通信雷達(dá)信號(hào)降噪方法*

位秀雷 劉樹勇

(中國(guó)人民解放軍91404部隊(duì)1) 秦皇島 066000) (海軍工程大學(xué)艦船與海洋學(xué)院2) 武漢 430033)

0 引 言

雷達(dá)已應(yīng)用于地面、空中、海上和太空，地面雷達(dá)主要用來探測(cè)、定位和跟蹤空中目標(biāo)，不僅在軍事各個(gè)方面得到應(yīng)用，同時(shí)在民用雷達(dá)方面也發(fā)揮著日益增長(zhǎng)的作用[1-3].然而雷達(dá)回波信號(hào)在接受過程中受到內(nèi)部噪聲、地雜波和外部干擾等噪聲的影響，導(dǎo)致目標(biāo)檢測(cè)結(jié)果出現(xiàn)偏差，甚至影響目標(biāo)識(shí)別的正確判斷，使我方指揮者難以做出正確決策，并且雷達(dá)信號(hào)和噪聲頻帶部分甚至全部混疊，傳統(tǒng)的沖擊響應(yīng)濾波器無(wú)法依據(jù)差頻信號(hào)頻域分布的特點(diǎn)對(duì)濾波器參數(shù)進(jìn)行自適應(yīng)修改，難以有效實(shí)現(xiàn)信噪分離[4-5].

目前較為常用的雷達(dá)信號(hào)降噪方法有小波分析、經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解，以及相關(guān)延伸算法.小波閾值降噪方法，采用卷積方法提取高低頻細(xì)節(jié)，計(jì)算復(fù)雜且閾值處理采取一刀切的方法，會(huì)丟失很多目標(biāo)特征信息，雷達(dá)回波信號(hào)目標(biāo)信息屬于微弱信號(hào)，其重要特征失真，很難提取有效信息[6]，做出準(zhǔn)確識(shí)別，且小波閾值處理效果會(huì)受到小波基函數(shù)、分解層數(shù)以及閾值選擇的影響；EMD是一種無(wú)需先驗(yàn)知識(shí)的信號(hào)處理方法，其分解完全依賴信號(hào)本身，但是，在局部干擾下，EMD分解得到的本征模態(tài)分量(intrinsic mode function，IMF)會(huì)發(fā)生畸變[7]，且EMD本身有缺陷，如模式混疊、端點(diǎn)效應(yīng)等[8]，文獻(xiàn)[9]利用無(wú)偏自相關(guān)運(yùn)算，計(jì)算各IMF能量，確定出有用信號(hào)貢獻(xiàn)率最大的IMF，進(jìn)行FMCW雷達(dá)信號(hào)特征提取，該方法自適應(yīng)高，但是會(huì)導(dǎo)致其他IMF分量有用細(xì)節(jié)流失.奇異值分解(singular value decomposition，SVD)是一種有效的非線性信號(hào)處理方法并應(yīng)用于多個(gè)領(lǐng)域信號(hào)處理[10]，該方法將原始信號(hào)分解為由大到小的奇異值，表示信號(hào)的奇異值要大于噪聲的奇異值，通過確定有效秩階次，將表示信號(hào)的奇異值重構(gòu)實(shí)現(xiàn)降噪，其關(guān)鍵是如何有效確定分解后的有效秩階次[11]，為此，結(jié)合雷達(dá)信號(hào)本身特性和SVD算法特點(diǎn)，將多級(jí)奇異值分解應(yīng)用到雷達(dá)信號(hào)降噪處理，通過多次分解，將噪聲部分奇異值逐級(jí)剔除，保留信號(hào)主導(dǎo)的奇異值，然后利用SG濾波算法移動(dòng)窗口加權(quán)平均擬合特性，對(duì)信號(hào)主導(dǎo)信號(hào)進(jìn)行平滑修正處理，剔除信號(hào)毛刺和尖銳，進(jìn)一步提高信號(hào)信噪比，進(jìn)行了數(shù)字仿真與雷達(dá)信號(hào)處理分析.結(jié)果表明：本文方法在有效剔除噪聲的同時(shí)，減少了原始信號(hào)的失真.

1 多級(jí)奇異值分解

1.1 奇異值分解

奇異值分解在相空間重構(gòu)理論基礎(chǔ)上，將原始信號(hào)x(i),i=1,2,…，n內(nèi)嵌到維數(shù)為L(zhǎng)的吸引子軌道D中.

矩陣D表示吸引子在相空間中的演化特性，可表示為D=Dx+Dw.Dx，Dw為干凈信號(hào)和噪聲構(gòu)成的m×n矩陣，對(duì)D進(jìn)行奇異值分解，獲得降序排列奇異值與ui，vi.

D=USVT

(1)

式中：U=[u1,u2,…,un]∈Rn×n，V=[v1,v2,…,vm]，S=[diag(σ1,σ2,…,σr),0]或其轉(zhuǎn)置，取決于n>m或n

文獻(xiàn)[13]定義奇異值差分譜為

di=σi-σj,j=i+1,i=1,2,…,q

(2)

式中：q=min(N-n+1,n)-1.

記差分譜序列D=(d1,d2,…,dq).D的前k個(gè)奇異值為信號(hào)的真實(shí)分量對(duì)應(yīng)的奇異值，第k+1個(gè)奇異值起為噪聲對(duì)應(yīng)的奇異值，則D的第k個(gè)元素dk為差分譜序列的最大峰值，即

k=argmax{peak(di):i=1,2,…,q}

(3)

式中：peak(di)為di的峰值.選擇前k個(gè)奇異值即可重構(gòu)原信號(hào).

1.2 多級(jí)奇異值分解實(shí)施策略

為了避免重構(gòu)階次k選取過大或過小導(dǎo)致信號(hào)失真或降噪效果不理想，本文采用多級(jí)奇異值分解策略實(shí)現(xiàn)信號(hào)提取.對(duì)于高信噪比原始信號(hào)，信號(hào)占據(jù)主導(dǎo)地位，使用文獻(xiàn)[14]方法便可得到較好的降噪效果，而對(duì)于雷達(dá)信號(hào)，目標(biāo)特征比較微弱，隱藏在復(fù)雜干擾中，重構(gòu)階次的選取就有較困難.

以信噪比為5 dB的雷達(dá)回波信號(hào)為例，詳述多級(jí)奇異值分解的實(shí)施策略.圖1為5 dB雷達(dá)回波信號(hào)的奇異值和差分譜，由圖1b)可知，第二個(gè)差分譜最大，若是將其后的奇異值置零重構(gòu)，必然會(huì)導(dǎo)致信號(hào)大量失真，為了在剔除復(fù)雜干擾的同時(shí)盡可能減少有用細(xì)節(jié)的流失，以奇異值的差分譜作為進(jìn)行2級(jí)奇異值分解的標(biāo)準(zhǔn)，將最大差分譜(圖1b)箭頭所指)所對(duì)應(yīng)的奇異值作為臨界值，前面較大大的奇異值重構(gòu)后記為B1，后面較小的奇異值重構(gòu)后記為S1，然后對(duì)S1進(jìn)行下一級(jí)分解.2級(jí)奇異值分解后信號(hào)的奇異值和差分譜見圖2，由圖2a)可知，表示信號(hào)的較大奇異值已經(jīng)變少，根據(jù)最大差分譜區(qū)分原則，將前面較大大的奇異值重構(gòu)后記為B2，后面較小的奇異值重構(gòu)后記為S2.3級(jí)奇異值分解后信號(hào)的奇異值和差分譜見圖3，3級(jí)分解后奇異值雖然呈遞減分布，但是從圖3b)可知，其差分譜相差較小，分布比較均勻，說明信號(hào)中的主要成分為噪聲信號(hào)，則分解停止，多級(jí)奇異值分解處理后的信號(hào)就記為B1+B2，通過多級(jí)奇異值分解的實(shí)施策略可以得出如下結(jié)論：原始信號(hào)信噪比越低，多級(jí)奇異值分解的次數(shù)越多.圖4為降噪前后雷達(dá)回波信號(hào)時(shí)域波形圖，圖5為降噪后信號(hào)和干凈信號(hào)的相對(duì)誤差，可以看出，信號(hào)特征基本被還原，但信號(hào)略顯粗糙，存在毛刺和尖銳，說明，對(duì)于較低信噪比信號(hào)降噪問題，單一的信號(hào)處理方法很難取得理想效果.

圖1 SNR=5 dB雷達(dá)信號(hào)的奇異值和差分譜

圖2 2級(jí)分解后的奇異值和差分譜

圖3 3級(jí)分解后的奇異值和差分譜

圖4 降噪前后雷達(dá)信號(hào)時(shí)域圖

圖5 降噪后雷達(dá)信號(hào)相對(duì)誤差

2 SG濾波算法

經(jīng)多級(jí)奇異值分解處理后的信號(hào)雖然有用信號(hào)占絕大比重，但是還有少許噪聲干擾，信號(hào)還存在毛刺和尖銳.SG濾波算法是一種移動(dòng)窗口的加權(quán)平均算法，通過最小二乘法求取多項(xiàng)式系數(shù)，得出滑動(dòng)窗口中心點(diǎn)的最佳擬合值.利用SG對(duì)多級(jí)奇異值處理后的信號(hào)進(jìn)行平滑修正處理，可進(jìn)一步提高信號(hào)信噪比[15].

對(duì)于含噪序列點(diǎn){x1,x2,…,xN}，假設(shè)擬合曲線方程為

地表水受到嚴(yán)重污染，城鎮(zhèn)供水水源地水質(zhì)不能達(dá)到有關(guān)標(biāo)準(zhǔn)；大量未經(jīng)處理的廢污水排入河道和滲井、滲坑，加之過量使用農(nóng)藥和化肥，使得河流和地下水受到嚴(yán)重污染。城市下游河道多為不能利用的超V類水體，減少了水資源的可利用量。

x(t)=a0+a1t+a2t2+…+antn,n∈Z

(4)

式中：n為擬合階數(shù).

最小二乘算法的擬合殘差為

(5)

式中：x(t)為擬合點(diǎn)；xt為實(shí)際數(shù)據(jù)點(diǎn)；2M+1為數(shù)據(jù)窗口，t=-M為數(shù)據(jù)窗口最左邊的數(shù)據(jù)點(diǎn)；t=M為數(shù)據(jù)窗口最右邊的數(shù)據(jù)點(diǎn).

若系數(shù)ai(i=0，1，2，…，n)滿足式(8)最小，則認(rèn)為點(diǎn)為序列的最佳擬合點(diǎn).由微積分知識(shí)可知，若εN最小，則其對(duì)各個(gè)參數(shù)的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該為零，于是

(6)

為了計(jì)算方便，引入一個(gè)2M+1行n+1列的輔助矩陣A，設(shè)A={at,i}.其中，at,i=ti,-M≤t≤M,0≤i≤n.

設(shè)輔助矩陣B，使B=ATA.

(7)

設(shè)

于是

Ba=ATAa=ATx

a=(ATA)-1ATx=Hx

(8)

將多項(xiàng)式系數(shù)矩陣a代入到式(7)中就可以得到SG平滑濾波后信號(hào).

綜上所述，多級(jí)奇異值分解和SG降噪方法的實(shí)施流程見圖6.

圖6 多級(jí)奇異值分解和SG降噪方法流程圖

3 仿真分析

為了驗(yàn)證所提方法的有效性和對(duì)雷達(dá)信號(hào)處理的優(yōu)勢(shì)，以Matlab仿真的“chirp”信號(hào)為例，與文獻(xiàn)[14]方法作對(duì)比分析，其中采樣頻率為1 kHz，采樣時(shí)間為0.5 s.圖7～8為文獻(xiàn)[14]和本文方法的降噪效果圖，由圖7～8可知，文獻(xiàn)[14]降噪方法對(duì)重構(gòu)階次的選取方法加以改進(jìn)，但是無(wú)法更加細(xì)化地提取淹沒在噪聲主導(dǎo)奇異值中的有用細(xì)節(jié)，降噪后信號(hào)明顯粗糙(如圖中箭頭所示)，降噪后信號(hào)和干凈信號(hào)的相對(duì)誤差較多級(jí)奇異值分解處理后信號(hào)要大(見圖5)，而本文方法處理后的信號(hào)基本已無(wú)明顯毛刺，信號(hào)比較光滑，并且和干凈信號(hào)相對(duì)誤差最小，說明了SG平滑濾波算法進(jìn)一步修正了信號(hào)軌跡，平滑掉了殘留噪聲.

圖7 文獻(xiàn)[14]降噪效果圖

圖8 本文方法降噪效果圖

對(duì)于已知模型產(chǎn)生的信號(hào)，可以采用信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)定量衡量降噪效果，信噪比越大，均方誤差越小，降噪效果越好[16].表1為不同信噪比原始信號(hào)的降噪效果對(duì)比，由表1可知，對(duì)于不同信噪比的雷達(dá)回波信號(hào)，本文方法都有著較好的降噪效果，并且原始信號(hào)信噪比越低，降噪效果優(yōu)勢(shì)越大，體現(xiàn)了所提方法對(duì)于處理較低信噪比雷達(dá)信號(hào)的優(yōu)越性，更加適用于復(fù)雜環(huán)境下雷達(dá)信號(hào)處理，應(yīng)用前景更廣.

表1 降噪效果比較

4 實(shí)驗(yàn)分析

將本文提出的降噪方法應(yīng)用于雷達(dá)信號(hào)的降噪，帶寬為30 M，脈寬為10 μs，采樣頻率為150 MHz，取11 000～14 000為樣本點(diǎn)數(shù)，其實(shí)測(cè)波形圖見圖9，受到復(fù)雜噪聲干擾，從時(shí)域圖中很難準(zhǔn)確提取信號(hào)特征.

圖9 實(shí)測(cè)雷達(dá)信號(hào)

圖10～11為文獻(xiàn)[14]和本文方法的降噪效果圖.文獻(xiàn)[14]降噪后的波形圖局部毛刺明顯，波形不夠光滑，而本文所提方法去噪后的信號(hào)整體比較平滑，無(wú)明顯毛刺，效果要優(yōu)于文獻(xiàn)[14]降噪方法.

圖10 文獻(xiàn)[14]降噪效果圖

圖11 本文方法降噪效果圖

考慮到實(shí)驗(yàn)信號(hào)先驗(yàn)知識(shí)未知，不能采用信噪比和均方誤差來定量比較兩種方法的降噪效果，根據(jù)信號(hào)都有一定的相關(guān)性，而噪聲不相關(guān)特性，因此，信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于噪聲.自相關(guān)函數(shù)定義為

式中：τ為延遲；N為信號(hào)長(zhǎng)度.

2種方法去噪前后的部分自相關(guān)函數(shù)值見圖12，由圖12可知，本文所提方法降噪后序列的自相關(guān)函數(shù)值要明顯大于文獻(xiàn)[14]，說明原始信號(hào)經(jīng)本文方法降噪后信號(hào)比重要大于文獻(xiàn)[14]，進(jìn)一步展現(xiàn)了其降噪的優(yōu)越性.

圖12 兩種方法自相關(guān)函數(shù)

5 結(jié) 束 語(yǔ)

針對(duì)雷達(dá)信號(hào)降噪問題，提出了基于多級(jí)奇異值分解和SG的降噪方法，詳述了多級(jí)奇異值分解的實(shí)施策略，克服了奇異值分解重構(gòu)階次難以有效選取的難題，以先驗(yàn)知識(shí)已知和先驗(yàn)知識(shí)未知的雷達(dá)信號(hào)為例，進(jìn)行了仿真和實(shí)驗(yàn)對(duì)比分析，結(jié)果表明，含噪信號(hào)經(jīng)多級(jí)奇異值分解處理后，再經(jīng)SG平滑濾波，有效剔除復(fù)雜干擾，減少有用信號(hào)失真，真正實(shí)現(xiàn)了降噪目的.對(duì)于有無(wú)先驗(yàn)知識(shí)的雷達(dá)信號(hào)，所提方法也有較好的降噪效果.