彎曲載荷作用下薄壁方形截面管周期角裂紋的應力強度因子

李龍 袁浩 謝禹鈞

摘 ? ? ?要：薄壁方形截面管廣泛應用于建筑、機械、石油化工等領域，隨著使用年限的增加和人為因素的影響，薄壁管會產(chǎn)生裂紋。應力強度因子作為一個斷裂參量，在工程構(gòu)件斷裂分析過程中起著重要的作用。在以往的研究中，幾乎所有關于同一個裂紋截面含多個不同奇異應力場的情形都被回避。以彎曲載荷作用下薄壁方形截面管周期角裂紋問題為例，利用初等力學和守恒律的概念，通過找出不同應力強度因子之間的簡單關系，提出了一種簡便的求解同一截面上不同應力強度因子的方法。同時也給出了有限元數(shù)值解與本文解的比較，兩者吻合較好。

關 ?鍵 ?詞：薄壁方形截面管;應力強度因子;裂紋;守恒律;有限元

中圖分類號：TE832 ? ? ? ?文獻標識碼： A ? ? ? 文章編號： 1671-0460（2020）05-0903-05

Abstract： Thin-walled square-section tubes are widely used in construction， machinery， petrochemical and other fields. With the increase of service life and human factors， thin-walled tubes will crack. As a fracture parameter， the stress intensity factor plays an important role in the fracture analysis of engineering components. In previous studies， almost all cases that the same crack section contained multiple different singular stress fields were avoided. In this paper， taking the periodic angle crack of thin-walled square-section tube under bending load as an example， using the concept of elementary mechanics and conservation law， a simple relationship between different stress intensity factors was proposed to solve a simple cross section. At the same time， the comparison between the finite element numerical solution and the solution was carried out， and the results from present method were accordant with those from finite element method.

Key words： Thin-walled square section tube; Stress intensity factor; Crack; Conservation law; Finite element

在實際工程結(jié)構(gòu)中，大多數(shù)裂紋問題是三維有限邊界問題，裂紋應力強度因子的確定一直是斷裂力學領域的主要問題。對于含有一個裂紋或者多個裂紋的應力強度因子相同的情形，利用 積分法[1-10]給出解析解相對容易，如方形截面薄壁管橫向裂紋的應力強度因子K1 [11]。由于J2積分只提供一個與應力強度因子有關的方程，該方法只能應用于求解含一個未知應力強度因子的情形，當同一個截面有多個不同的奇異應力場時，僅用J2積分則無法求解。

本文基于材料力學中平截面的變形假設，提出了求解不同奇異應力場對應的應力強度因子的補充方程，進而得到了彎曲載荷作用下薄壁方形截面管周期角裂紋的應力強度因子。

含相同的周期角裂紋的方形截面薄壁管如圖1所示。在平面應變狀態(tài)下薄壁管共有8個裂紋尖端，x1-x3平面為含裂紋的對稱平面，所有的載荷均作用在該平面上，同時彎曲變形也將發(fā)生在這個平面。很顯然，當滿足 時，薄壁管的形變具有細長梁構(gòu)件和三維殼體的特征。

1 ? 積分

1.1 ?三維J2積分

考慮三維位移場，其位移矢量u是x1、x2和x3的函數(shù)，對于閉合曲面Ω， 根據(jù)守恒律，（1）式的積分為0[12-15]。

利用ABAQUS軟件對本文模型進行有限元分析。選用的單元類型為八結(jié)點線性六面體單元（C3D8R）[20]。模型材料屬性設置為彈性模量E=200 GPa，泊松比μ=0.3。有限元模型的幾何尺寸為：邊長b=300 mm，壁厚t =10 mm，加強筋厚t =10 mm，L=1 000 mm。裂紋尖端采用四分點退化而成的奇異單元。有限元網(wǎng)格劃分如圖5所示。本文解與有限元解的比較結(jié)果如圖6所示。

3 ?結(jié)論

本文根據(jù)材料力學平截面的變形假設，提出了同一含裂紋截面不同應力場對應的應力強度因子之間的補充方程，并通過與 積分方程聯(lián)立，建立了彎矩作用下薄壁方形截面管周期角裂紋應力強度因子的求解方法。最后，采用ABAQUS對本文模型進行數(shù)值模擬，將本文解與有限元法得出的解進行比較，驗證本文方法的有效性。本文提出的方法豐富了 積分在求解應力強度因子方面的應用，并適用于其他類似結(jié)構(gòu)在平面彎曲作用下同一截面多個不同裂紋應力強度因子的求解。

參考文獻：

[1]Xie YJ. A theory on cracked pipe. International Journal of Pressure Vessels and Piping [J].1998， 75： 865-969.

[2]尤國武， 謝禹鈞. 工字型截面梁腹板中心裂紋的應力強度因子[J].遼寧石油化工大學學報， 2006， 26（2）： 63-65.

[3]謝禹鈞.彎曲載荷作用下工字形截面梁腹板中心穿透裂紋的應力強度因子[J]. 機械強度，2006， 28（3）：397-400.

[4]Cortínez VH， Dotti FE. Mode I stress intensity factor for cracked thin-walled open beams[J]. Engineering Fracture Mechanics，2013， 110： 249-257.

[5]Nobile L. Mixed mode crack initiation and direction in beams with edge crack[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics，2000（33）： 107-116.

[6]袁浩，謝禹鈞. D型截面管應力強度因子分析方法[J]. 機械強度，2018， 40（6）：1473-1478.

[7]謝禹鈞， 王曉華，王偉. 拉伸環(huán)向周期裂紋管的應力強度因子[J]. 工程力學，2006， 23（6）：173-176.

[8]王曉華， 蔡永梅，謝禹鈞. 平板雙側(cè)觸壓的應力強度因子[J]. 工程力學，2009， 26（3）：6-35.

[9]王偉，蔡永梅，謝禹鈞. 橢圓形截面管環(huán)向裂紋應力強度因子分析方法[J]. 工程力學，2011，28（11）： 197-201.

[10]邵菁，張德琦，付路路，等. 管道表面橢圓裂紋的斷裂力學有限元分析[J]. 當代化工， 2015， 44（8）：1972-1976.

[11]謝禹鈞. 方形截面薄壁管橫向裂紋的應力強度因KI[J]. 工程力學， 2004， 21（6）：183-186.

[12]Xie YJ. An analytical method on circumferential periodic cracked pipes and shells[J]. International Journal of Solids and Structures， 2000， 37： 5189-5201.

[13]Budiansky B， Rice JR. Conservation laws and energyrelease rates[J]. Journal of Applied Mechanics， 1973， 40： 201-203.

[14]Eshelby JD. The force on an elastic singularity[J]. Philosophical Transactionsof the Royal Society， 1951， 244： 87-112.

[15]Rice JR. A path independent integral and approximate analysis of strain concentration by notchs and cracks[J]. Journal of Applied Mechanics， 1968， 35： 379-386.

[16]Xie YJ， Xu H， Li PN. Crack mouth widening energy-release rate and its application[J]. Theoretical and Applied Fracture Mechanics， 1998， 29 （3）： 195-203.

[17]Xie Y J， Li P N， Xu H. On KI estimates of cracked pipes using an elliptical hole model and elementary beam strength theory of cracked beams[J]. Engineering Fracture Mechanics， 1998， 59 （3）： 399-402.

[18]H. Yuan， W. J. Liu， Y. J. Xie. Mode-I stress intensity factors for cracked special-shaped shellsunder bending[J]. Engineering Fracture Mechanics， 2019， 207： 131-148.

[19]Tada H， Paris PC， Irwin GR. The stress analysis of cracks handbook. [M]. Beijing：Science Press，2000：481-482.

[20]莊茁，由小川，廖建輝， 等. 基于ABAQUS的有限元分析和應用[M]. 北京：清華大學出版社，2009.