基于音圈電機的魯棒控制器設(shè)計與仿真

胡永珊，李志濤，謝求泉，羅志良

(江西工業(yè)工程職業(yè)技術(shù)學院 機械工程學院，江西 萍鄉(xiāng) 337000)

0 引言

音圈電機(Voice Coil Motor,VCM)是一款由單相直流電直接驅(qū)動的直線電機，可以實現(xiàn)高速高精度且力波動較小的定位運動，由于沒有復雜的機械結(jié)構(gòu)，現(xiàn)在普遍運用在三維運動平臺的Z軸，并搭配力-位置切換控制算法進行推壓力控制。

魯棒控制主要用于那些被控對象存在高頻動態(tài)不能建模以及系統(tǒng)存在一些不確定性參數(shù)等問題的運控系統(tǒng)，其最核心的概念是得到被控對象的數(shù)學模型，分析系統(tǒng)具有的不確定因素和攝動，通過對被控對象的伯德圖分析，選取相應的加權(quán)函數(shù)，使系統(tǒng)能夠快速響應動態(tài)指令，并在一定的干擾下可以快速恢復自身的穩(wěn)定性，從而保證點到點運動的精準定位。

在進行魯棒控制器設(shè)計時，最重要的是在對應的頻域段選取被控對象的不確定性上界函數(shù)和被控對象的性能加權(quán)函數(shù)，并要滿足系統(tǒng)抑制干擾能力強、動態(tài)過程響應快和穩(wěn)態(tài)過程整定精度高的性能要求；其次就是要盡量使所設(shè)計的魯棒控制器傳遞函數(shù)的階次低。為此，本文對基于音圈電機的魯棒控制器進行設(shè)計與仿真。

1 建立音圈電機數(shù)學模型

在高速高精密的三維運動平臺中，音圈電機一般運用在Z軸，由于音圈電機沒有自鎖結(jié)構(gòu)，每次下使能時，動子會因自身重力而往下掉，并且不易確定其運動初始位置，所以在工程應用時會用一個拉力彈簧或恒力氣缸來平衡動子的重力，使音圈電機的動子在去使能的狀態(tài)下可以處于一個固定的初始位置。所以在對音圈電機構(gòu)建數(shù)學模型時，可以將被控對象構(gòu)建成一個質(zhì)量-阻尼-彈簧系統(tǒng)(MFK系統(tǒng))，音圈電機力學模型如圖1所示。圖1中，F(xiàn)K為拉力彈簧的彈簧力，F(xiàn)G為電機動子的重力，F(xiàn)C為系統(tǒng)的阻尼力，F(xiàn)為電機產(chǎn)生的推拉力,y為動子的位移。

根據(jù)音圈電機工作原理，其等效電路模型如圖2所示。圖2中，U為音圈電機的母線電壓，E為音圈電機運動時產(chǎn)生的反電動勢，L為動子線圈等效電感，R為動子線圈等效電阻，I為流經(jīng)動子線圈的電流。

圖1 音圈電機力學模型 圖2 音圈電機等效電路模型

根據(jù)等效電路模型可以推導出音圈電機母線電壓平衡方程式：

(1)

其中：t為時間；B為定子產(chǎn)生的磁感應強度；l為動子線圈長度；v為動子的運動速度。

根據(jù)電機力學模型可以得到音圈電機力學平衡方程式：

(2)

其中：m為動子線圈的質(zhì)量；y為動子的運動位移；C為電機的等效阻尼系數(shù)；k為彈簧的彈力系數(shù)；g為重力加速度。

將式(1)和式(2)進行拉氏變換后再整理數(shù)據(jù)，就得到了音圈電機關(guān)于輸出運動位移y與相線輸入電壓u之間的數(shù)學模型，其傳遞函數(shù)P(s)表達式為：

(3)

2 系統(tǒng)辨識

在進行魯棒控制時，先要對被控對象進行系統(tǒng)辨識，得到被控對象的標稱數(shù)學模型。一般在工程設(shè)計中均采用掃頻的方式來分析和獲取被控對象的模型參數(shù)，掃頻時常選用的激勵信號有正弦波、PBRS和Chirp等。

正弦掃頻是將整個運控系統(tǒng)處于開環(huán)控制狀態(tài)，利用運動控制器產(chǎn)生一組模擬量電流信號來激勵音圈電機來回運動，并采集光柵尺的位置信號。該激勵信號是由一組在0 Hz～2 000 Hz的頻率段內(nèi)間隔一定步距的模擬量電流信號組成。

將運控系統(tǒng)采集的模擬量電流信號和音圈電機光柵尺的位置信號進行快速傅里葉變換，并在MATLAB里畫出伯德圖，如圖3所示。利用圖3可以在頻域里分析被控對象的幅值特性和相角特性。

圖3 音圈電機經(jīng)正弦掃頻得到的伯德圖

將經(jīng)過快速傅里葉變換處理后所得到的頻率、幅值和相角等數(shù)據(jù)導入MATLAB軟件中，使用MATLAB系統(tǒng)辨識ident工具箱，通過分析被控系統(tǒng)的頻率特性曲線圖進行最小二乘法擬合。

擬合方式選用零極點配置方式。通過選用不同組合的零點和極點，與被控對象的數(shù)據(jù)進行最小二乘法擬合。分析經(jīng)多次擬合后的效果，選取其中匹配度最高的那組零點和極點。最后擬合結(jié)果匹配度最高的是3個極點和0個零點，這也正好可以驗證機理數(shù)學建模的合理性。最終被控對象音圈電機所確定的數(shù)學模型的傳遞函數(shù)為：

(4)

對得到的傳遞函數(shù)進行頻域分析以及動態(tài)響應性分析，并對掃頻所得的數(shù)據(jù)進行不確定性及擾動分析，為魯棒控制器設(shè)計做準備。

3 魯棒控制器的設(shè)計

根據(jù)運控系統(tǒng)要求的性能指標和魯棒穩(wěn)定性，選擇用H∞混合靈敏度方法來設(shè)計控制器，其控制結(jié)構(gòu)如圖4所示。圖4中，W1、W2和W3為系統(tǒng)的加權(quán)函數(shù)，z1、z2、z3為系統(tǒng)的評價函數(shù)，Δ1、Δ2和Δ3為系統(tǒng)存在的不確定性擾動，R1(s)為規(guī)劃位置輸入，e為位置跟蹤誤差，K(s)為H∞控制器，P(s)為被控對象標稱傳遞函數(shù)，u為H∞控制器輸出，d為控制對象輸出的測量噪聲，w1、w2、w3為Δ1、Δ2和Δ3的輸出，Y(s)為實際位移輸出。

加權(quán)函數(shù)W1、W2和W3的標準框架如式(5)所示：

(5)

其中：G(s)為廣義被控對象；y為Y(s)控制器輸出。

圖4 被控對象基于混合靈敏度控制的控制器結(jié)構(gòu)

魯棒控制器性能的好壞依賴于權(quán)函數(shù)的選取。在選取加權(quán)函數(shù)時要注意各加權(quán)函數(shù)的特點:W1主要用來抑制系統(tǒng)的高頻噪聲以及權(quán)衡高頻域中因不能建模的不確定性因素，所以該傳遞函數(shù)具有高通特性；W2用來抑制外界低頻干擾，確保系統(tǒng)在運行中有較好的抗干擾能力和定位誤差跟隨調(diào)節(jié)能力，所以該傳遞函數(shù)具有低通特性；W3用來防止系統(tǒng)出現(xiàn)動態(tài)跟隨誤差輸出過大和穩(wěn)態(tài)時積分過飽和而導致被控對象出現(xiàn)過沖或震蕩的現(xiàn)象。

最終選取的三個加權(quán)函數(shù)如下：

(6)

三個加權(quán)函數(shù)的伯德圖如圖5所示。

圖5 W1、W2和W3的伯德圖

最后根據(jù)三個加權(quán)函數(shù)，在MATLAB上求出魯棒控制器的傳遞函數(shù)，其傳遞函數(shù)的伯德圖如圖6所示。

4 仿真分析

4.1 分析方法

在MATLAB的Simulink模塊中搭建一套含魯棒控制算法、PID控制算法和開環(huán)控制算法的仿真系統(tǒng)，如圖7所示。

首先給系統(tǒng)觸發(fā)一個階躍單位信號，在示波器上得到相應的階躍響應曲線，分別來分析各個控制器的上升時間、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時間，從而來分析控制器的動態(tài)響應性能和穩(wěn)態(tài)整定性能。

其次當被控對象整定到穩(wěn)態(tài)時，再給系統(tǒng)觸發(fā)一個干擾信號，來分析魯棒控制器和PID控制器抑制干擾的性能。

4.2 仿真結(jié)果

首先在沒加干擾信號條件下，給系統(tǒng)觸發(fā)一個單位階躍激勵信號，得到如圖8所示的魯棒控制算法和PID控制算法的階躍響應。

由圖8可知:在相同情況和條件下，魯棒控制器在動態(tài)上升過程中沒有出現(xiàn)明顯的過沖，可以迅速地進入穩(wěn)態(tài)過程；而PID控制器卻達不到這種效果，說明魯棒控制算法有良好的動態(tài)響應性能和穩(wěn)態(tài)整定性能。

圖6 魯棒控制器的傳遞函數(shù)伯德圖

圖7 魯棒控制算法與PID控制算法性能對比仿真系統(tǒng)

然后再給系統(tǒng)觸發(fā)一個階躍激勵信號，待系統(tǒng)達到穩(wěn)定后，添加一個干擾信號，最后分別在示波器中得到魯棒控制器和PID控制器抑制干擾能力的結(jié)果，如圖9所示。

由圖9可知：當遇到擾動時，魯棒控制算法可以迅速恢復到穩(wěn)定狀態(tài)，且沒有出現(xiàn)顯著的波動，從而驗證了所設(shè)計的魯棒控制算法具有良好的抑制外來干擾的能力。

5 結(jié)論

通過與PID控制算法仿真對比，驗證了魯棒控制算法較好地改善了被控對象的動態(tài)響應品質(zhì)和穩(wěn)態(tài)抑制干擾的能力。

圖8 魯棒控制算法與PID控制算法階躍響應對比

圖9 魯棒控制算法與PID控制算法抑制干擾性能對比