三容對(duì)象臨界比例度法的參數(shù)計(jì)算與仿真實(shí)驗(yàn)

彭 程， 謝迎新

（華北科技學(xué)院電子信息工程學(xué)院，河北三河065201）

0 引 言

臨界比例度法，又稱(chēng)穩(wěn)定邊界法［1］、連續(xù)循環(huán)法［2］，是一種重要的PID參數(shù)整定方法，在四旋翼飛行器穩(wěn)定控制［3］、羅茨風(fēng)機(jī)風(fēng)量調(diào)節(jié)［4］、溫度控制［5-7］、直流電機(jī)調(diào)速［8］、船用升降設(shè)備位置控制［9］、反應(yīng)堆功率控制［10］以及變量施肥控制［11］等不同控制問(wèn)題中均有成功應(yīng)用。

自動(dòng)化專(zhuān)業(yè)本科“過(guò)程控制系統(tǒng)”課程中會(huì)講授臨界比例度法，實(shí)驗(yàn)課也經(jīng)常會(huì)針對(duì)該方法開(kāi)展訓(xùn)練［12-15］。在以往的教學(xué)實(shí)踐中，通常只是將臨界比例度法作為一種PID參數(shù)整定方法加以介紹，一般不會(huì)將該方法與“自動(dòng)控制原理”課程中講授過(guò)的系統(tǒng)穩(wěn)定性判據(jù)聯(lián)系起來(lái)，學(xué)生也只是將臨界比例度法理解為一個(gè)獨(dú)立的知識(shí)點(diǎn)。使用臨界比例度法的關(guān)鍵是通過(guò)實(shí)驗(yàn)得到臨界比例系數(shù)和等幅振蕩周期。對(duì)于一些特定形式的被控過(guò)程，如果已知被控對(duì)象、執(zhí)行器和測(cè)量變送器的數(shù)學(xué)模型，上述兩個(gè)參數(shù)是可以計(jì)算出來(lái)的。文獻(xiàn)［1，10］中均提出過(guò)這一觀點(diǎn)，并分別采用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法進(jìn)行了計(jì)算，但是沒(méi)有進(jìn)行詳細(xì)的理論分析。本文以有自衡特性和無(wú)自衡特性3容對(duì)象為例，給出了臨界比例度法參數(shù)的計(jì)算公式，并設(shè)計(jì)了Matlab／Simulink仿真實(shí)驗(yàn)，以便于學(xué)生更好地理解和掌握該方法。

1 臨界比例度法

考慮圖1所示的單回路控制系統(tǒng)，圖中R（s）、E（s）、U（s）、Y（s）和B（s）分別為系統(tǒng)的參考輸入、偏差、控制量、被控量和反饋量，C（s）、Gv（s）、Gp（s）和Gm（s）分別為控制器、執(zhí)行器、被控對(duì)象和測(cè)量變送器的傳遞函數(shù)。

圖1 單回路控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

若Y（s）和B（s）在階躍型參考輸入R（s）和增益為臨界比例系數(shù)Kc的比例控制器C（s）作用下產(chǎn)生周期為T(mén)c的等幅振蕩，則PID控制器

的3個(gè)參數(shù)：比例系數(shù)KP、積分時(shí)間常數(shù)TI和微分時(shí)間常數(shù)TD，可以由表1 確定［1］。

表1 臨界比例度法PID控制器參數(shù)計(jì)算

臨界比例度法不需要已知被控對(duì)象、執(zhí)行器和測(cè)量變送器的數(shù)學(xué)模型，只需在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中逐步增大比例控制器的比例系數(shù)，直到Y(jié)（s）和B（s）產(chǎn)生等幅振蕩，記錄臨界比例系數(shù)Kc和等幅振蕩的周期Tc的值，就可以確定PID控制器的參數(shù)。

2 臨界比例度法參數(shù)的解析計(jì)算

2.1 有自衡特性3容對(duì)象

如前所述，臨界比例度法的關(guān)鍵問(wèn)題是確定參數(shù)Kc和Tc的值。本節(jié)針對(duì)有自衡特性3容對(duì)象

式中：K ＞0為對(duì)象增益；T1＞0、T2＞0、T3＞0為時(shí)間常數(shù)。為研究參數(shù)Kc、Tc與模型參數(shù)T1、T2、T3以及K之間的關(guān)系，給出下面的引理。

引理1 對(duì)于正常數(shù)T1、T2和T3，有

成立。

證明：令

則

由多項(xiàng)和平方展開(kāi)公式計(jì)算可得：

易知M1＞0，M2＞0，故M1＝M2成立。證畢。

引理2 對(duì)于正常數(shù)T1、T2和T3，有成立。

證明 因?yàn)?/p>

同時(shí)考慮到

所以

成立。證畢。

在引理1和引理2的基礎(chǔ)上，可以給出如下的定理。

定理1 對(duì)于式（2）給出的有自衡特性3容對(duì)象，若已知模型參數(shù)T1、T2、T3和K，令比例控制器

則Y（s）和B（s）在單位階躍參考輸入R（s）＝1／s作用下將產(chǎn)生等幅振蕩，且等幅振蕩的周期

證明 （1）證法1。

由引理1可知，

由上述計(jì)算結(jié)果可知，以C（s）＝αKc為比例控制器的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線經(jīng)過(guò)復(fù)平面上的（－α，j0）點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的頻率為ωc。

根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)容易知道，當(dāng)α＞1時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相特性曲線順時(shí)針包圍（－1，j0）點(diǎn)兩次，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且有兩個(gè)不穩(wěn)定閉環(huán)極點(diǎn)；當(dāng)α＜1時(shí)，開(kāi)環(huán)幅相特性曲線不包圍（－1，j0）點(diǎn)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；而α＝1，即比例控制器C（s）＝Kc時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，階躍輸入下閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

（2）證法2。

比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環(huán)特征多項(xiàng)式

對(duì)閉環(huán)特征多項(xiàng)式列勞斯表，有

勞斯表s1行中

即勞斯表出現(xiàn)了全0行，閉環(huán)系統(tǒng)必然存在位于實(shí)軸或者虛軸上的、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的極點(diǎn)。由勞斯表s2行構(gòu)造輔助方程

容易知道構(gòu)造輔助方程之后勞斯表第一列元素均為正，故閉環(huán)系統(tǒng)沒(méi)有實(shí)部大于零的極點(diǎn)，即關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的閉環(huán)極點(diǎn)是位于虛軸上的，而第3個(gè)閉環(huán)極點(diǎn)位于負(fù)實(shí)軸上。解輔助方程可得虛軸上的共軛虛數(shù)極點(diǎn)

故在比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，階躍響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

（3）證法3。

由根軌跡分析可知，不管比例控制器的比例系數(shù)KP如何變化，根軌跡3個(gè)分支之中有1個(gè)分支始終位于負(fù)實(shí)軸上，即閉環(huán)系統(tǒng)總有1個(gè)穩(wěn)定的閉環(huán)實(shí)極點(diǎn)；而另外2個(gè)分支在離開(kāi)負(fù)實(shí)軸之后會(huì)隨著比例系數(shù)KP的增大，逐漸靠近并穿越虛軸。即隨著比例系數(shù)KP的增大，閉環(huán)系統(tǒng)會(huì)呈現(xiàn)出穩(wěn)定、臨界穩(wěn)定到不穩(wěn)定的變化規(guī)律。

比例控制器C（s）＝Kc時(shí)，閉環(huán)特征多項(xiàng)式

令D（s）＝0，可得閉環(huán)極點(diǎn)為

和

閉環(huán)系統(tǒng)的3個(gè)極點(diǎn)分別位于虛軸和負(fù)實(shí)軸上，故比例控制器C（s）＝Kc作用下閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

定理1的3種證明方法將“自動(dòng)控制原理”和“過(guò)程控制系統(tǒng)”兩門(mén)課的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，分別從奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、勞斯穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法的角度揭示了有自衡特性3容對(duì)象臨界比例度法參數(shù)Kc、Tc的取值規(guī)律。

2.2 無(wú)自衡特性3容對(duì)象

對(duì)于無(wú)自衡特性3容對(duì)象

式中：T1＞0、T2＞0、T3＞0為時(shí)間常數(shù)。其臨界比例度法參數(shù)Kc和Tc的計(jì)算原理可以由下面的定理2給出。與定理1的證明過(guò)程類(lèi)似，可以從奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、勞斯穩(wěn)定判據(jù)和根軌跡法3種角度出發(fā)進(jìn)行證明。這里僅給出使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)的證明方法。

定理2 對(duì)于式（7）給出的無(wú)自衡特性3容對(duì)象，若已知模型參數(shù)T1、T2和T3，令比例控制器

則Y（s）和B（s）在單位階躍參考輸入R（s）＝1／s作用下將產(chǎn)生等幅振蕩，且等幅振蕩的周期

證明 設(shè)比例控制器

式中：β＞0為正常數(shù)，則系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)

令s＝j(luò)ω，可得開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻率特性

令

將ωc代入開(kāi)環(huán)幅頻特性和相頻特性的表達(dá)式，可得

以及

由上述計(jì)算結(jié)果可知，以C（s）＝βKc為比例控制器的開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的幅相特性曲線經(jīng)過(guò)復(fù)平面上的（－β，j0）點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的頻率為ωc。

根據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)容易知道，當(dāng)β＞1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；當(dāng)β＜1時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；而β＝1，即比例控制器C（s）＝Kc時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定，階躍輸入下閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩，且振蕩周期

證畢。

3 仿真實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

在教學(xué)實(shí)踐中，使用了Matlab／Simulink軟件進(jìn)行臨界比例度法仿真實(shí)驗(yàn)。在使用Matlab／Simulink軟件模擬3容對(duì)象的臨界比例度法參數(shù)調(diào)節(jié)過(guò)程之后，可以使用定理1和定理2計(jì)算出參數(shù)Kc、Tc的理論值，以檢驗(yàn)參數(shù)整定過(guò)程的正確性。要求學(xué)生完成的實(shí)驗(yàn)內(nèi)容包括：

①針對(duì)有自衡特性3容對(duì)象，根據(jù)圖1建立Simulink仿真文件。

②取消積分和微分控制作用，逐步增大比例控制器的比例系數(shù)，使閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)呈現(xiàn)等幅振蕩，記錄臨界比例系數(shù)Kc和等幅振蕩的周期Tc的值。

③按照表1的規(guī)則，編寫(xiě)Matlab程序計(jì)算P、PI和PID控制器參數(shù)，將參數(shù)寫(xiě)入Simulink仿真文件，進(jìn)行仿真，記錄峰值時(shí)間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間和穩(wěn)態(tài)誤差，比較不同控制器作用下閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的特點(diǎn)。

④編寫(xiě)Matlab程序計(jì)算臨界比例度法參數(shù)的理論值，并與②中的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，如果不一致，找出原因。

⑤改變Simulink仿真文件中被控對(duì)象的模型參數(shù)，使其成為無(wú)自衡特性3容對(duì)象，重復(fù)②～④的仿真內(nèi)容。

在實(shí)驗(yàn)課之前，向?qū)W生講授定理1及其證明方法，要求學(xué)生利用課余時(shí)間使用奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)、根軌跡法或者勞斯穩(wěn)定判據(jù)之中的一種方法自行分析臨界比例度法參數(shù)與無(wú)自衡特性3容對(duì)象模型參數(shù)之間的關(guān)系，并進(jìn)行理論證明，以培養(yǎng)學(xué)生的理論分析能力。

4 數(shù)值算例

限于篇幅，本節(jié)使用兩個(gè)算例進(jìn)一步驗(yàn)證定理1和定理2的正確性，不展示臨界比例度法參數(shù)整定過(guò)程和控制效果，兩例中均假設(shè)Gv（s）＝1、Gm（s）＝1。

例1 有自衡特性3容對(duì)象

其模型參數(shù)為T(mén)1＝2 s、T2＝10 s、T3＝20 s和K ＝3。

由定理1計(jì)算可得Kc＝6.600 0，進(jìn)而可以求出ωc＝ 0.282 8 rad／s，Tc＝ 22.214 4 s。比例控制器C（s）＝6.600 0作用下閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖2所示。觀察圖2可知階躍響應(yīng)出現(xiàn)了等幅振蕩，并且振蕩周期與理論計(jì)算結(jié)果一致，驗(yàn)證了定理1的正確性。

圖2 有自衡特性3容對(duì)象的閉環(huán)單位階躍響應(yīng)

例2 無(wú)自衡特性3容對(duì)象

其模型參數(shù)為T(mén)1＝0.2 s、T2＝2 s和T3＝7 s。

由定理2計(jì)算可得Kc＝0.128 6，進(jìn)而可以求出ωc＝ 0.267 3 rad／s，Tc＝ 23.509 5 s。比例控制器C（s）＝0.128 6作用下閉環(huán)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3所示。與例1的情況類(lèi)似，觀察圖3可以驗(yàn)證定理2正確性。

圖3 無(wú)自衡特性三容對(duì)象的閉環(huán)單位階躍響應(yīng)

5 結(jié) 語(yǔ)

針對(duì)有自衡特性和無(wú)自衡特性3容對(duì)象這兩類(lèi)典型的過(guò)程控制對(duì)象，研究了臨界比例度法參數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系，以此為基礎(chǔ)，設(shè)計(jì)了臨界比例度法Matlab／Simulink仿真實(shí)驗(yàn)。具體結(jié)論如下：

（1）對(duì)于有自衡特性3容對(duì)象，臨界比例系數(shù)Kc是模型參數(shù)T1、T2、T3和K的顯函數(shù)，等幅振蕩周期Tc是T1、T2、T3的顯函數(shù)；對(duì)于無(wú)自衡特性3容對(duì)象，Kc是模型參數(shù)T1、T2和T3的顯函數(shù)，Tc是和T2和T3的顯函數(shù)。

（2）使用“自動(dòng)控制原理”課程講授過(guò)的穩(wěn)定性判別方法證明了3容對(duì)象臨界比例度法參數(shù)與模型參數(shù)之間的關(guān)系。在理論指導(dǎo)下設(shè)計(jì)了臨界比例度法Matlab／Simulink仿真實(shí)驗(yàn)，有利于學(xué)生更好地掌握該方法，提升理論分析和實(shí)踐能力。