TI圖形計(jì)數(shù)器在線性回歸中的應(yīng)用探究

鄺國(guó)均

【摘要】 ?本文主要內(nèi)容是：通過(guò)TI圖形計(jì)算器在高中數(shù)學(xué)線性回歸分析中的應(yīng)用，展示“TI圖形計(jì)算器”其豐富的數(shù)學(xué)功能，完善的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)，不但能夠滿足常規(guī)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)的需要，而且以其方便于攜帶、操作簡(jiǎn)單等特點(diǎn)，為學(xué)生提供了一個(gè)良好的“玩數(shù)學(xué)”的環(huán)境，成為高中學(xué)生手中“流動(dòng)的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室”。利用圖形計(jì)算器，學(xué)生可以隨時(shí)隨地的研究數(shù)學(xué)，讓學(xué)生沉浸在“玩數(shù)學(xué)”的樂(lè)趣中。在某種意義上講，TI圖形計(jì)算器成為學(xué)生手中的一個(gè)認(rèn)知數(shù)學(xué)的工具，一個(gè)了解數(shù)學(xué)規(guī)律的窗口。

【關(guān)鍵詞】 ?回歸分析方法 TI圖形計(jì)算器 一元線性回歸分析 多元線性回歸分析

【中圖分類號(hào)】 ?188 ? ? ? ?? ? ? ? ? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 ?A?【文章編號(hào)】 ?1992-7711（2020）21-188-02

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一、回歸分析方法概述

（1）回歸分析是一種建立統(tǒng)計(jì)觀測(cè)值之間的數(shù)學(xué)關(guān)系的方法，它通過(guò)自變量的變化來(lái)解釋因變量的變化，從而由自變量的取值預(yù)測(cè)因變量的可能值，它是概論、統(tǒng)計(jì)學(xué)中的重要組成部分。

（2）線性回歸分析方法

包括：一元線性回歸，多元線性回歸。

（3）線性回歸模型的檢驗(yàn)

判定系數(shù)r2——用來(lái)判斷線性回歸方程的擬合優(yōu)度。通常認(rèn)為當(dāng)r2大于0.5時(shí)，所得到的回歸直線擬合得比較好，而當(dāng)r2小于0.5時(shí)，所得到的線性回歸直線很難說(shuō)明變量之間的依賴關(guān)系?？梢哉f(shuō)r2越大，函數(shù)擬合效果越好。

（4）回歸預(yù)測(cè)的步驟

第1步，獲得自變量和因變量的觀測(cè)值

第2步，繪制X-Y散點(diǎn)圖

第3步，求出含未知參數(shù)的回歸方程

第4步，觀測(cè)回歸方程的擬合優(yōu)度

第5步，進(jìn)行預(yù)測(cè)

二、一元線性回歸分析

一元線性回歸模型描述的是兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系。假設(shè)有兩個(gè)變量x和y，x為自變量，y為因變量。一元線性回歸模型的基本結(jié)構(gòu)形式為y=a+bx（a和b為待定參數(shù)）

例1：為了研究各某個(gè)連鎖飲品店季度銷售額與店鋪附近地區(qū)居民人數(shù)之間的關(guān)系，隨機(jī)抽取了十個(gè)分店的樣本，得到的數(shù)據(jù)如下：

利用TI圖形計(jì)數(shù)器的列表與統(tǒng)計(jì)功能（Statistics with List Editor）輸入數(shù)據(jù)和繪制XY散點(diǎn)圖分別得到：圖（1）

進(jìn)行函數(shù)擬合得到一元線性回歸模型：如圖（2）、圖（3）所示

結(jié)果如下：

一元線性回歸模型為：y=6.000000+5.000000x

回歸分析結(jié)果為：r=0.950123，r2=0.902734，說(shuō)明所得到的回歸直線擬合得較好。

預(yù)測(cè)作用：當(dāng)我們想要預(yù)測(cè)區(qū)內(nèi)大學(xué)生人數(shù)為1.9萬(wàn)的店鋪的季度銷售額時(shí)，只要輸入y2（1.9），如上圖：y2（1.9）=15.500000萬(wàn)元

對(duì)于預(yù)測(cè)結(jié)論的效果如何，可以指導(dǎo)學(xué)生與實(shí)際結(jié)果進(jìn)行比較，從而修改函數(shù)模型，以得到最好的結(jié)果。

三、多元線性回歸分析

在多變量的系統(tǒng)中，除了在某兩個(gè)變量之間存在著相互作用和影響而發(fā)生某種相關(guān)外，在若干個(gè)（多于兩個(gè)）變量之間也存在著相關(guān)影響、相互關(guān)聯(lián)的情況。因此，多元回歸模型更帶有普遍性的意義。假設(shè)某一因變量y受k個(gè)自變量x1，x2，…，xk的影響，那么，多元線性回歸模型的結(jié)構(gòu)形式為：Y=a+b1X1+b2X2+…+bkXk .

多元線性回歸預(yù)測(cè)步驟

第1步，獲取備選自變量和因變量的觀測(cè)值。

第2步，從備選自變量中選擇合適的自變量。常用方法有：

最優(yōu)子集法

第3步，確定多元線性回歸方程中的系數(shù)，判斷回歸方程的擬合優(yōu)度。

第4步，根據(jù)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)。

例2：一家服裝零售店將其連續(xù)18個(gè)月的員工薪酬、庫(kù)存占用資金情況、廣告投入的費(fèi)用、銷售額等方面的數(shù)據(jù)作了一個(gè)匯總表格。該服裝店的管理人員試圖根據(jù)這些數(shù)據(jù)找到銷售額與其它三個(gè)變量之間的關(guān)系，以便為未來(lái)的預(yù)算工作提供參考。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立回歸模型。如果未來(lái)某月員工薪酬總額為27萬(wàn)元，庫(kù)存資金額為150萬(wàn)元，廣告投入預(yù)算為45萬(wàn)元，試根據(jù)模擬的回歸模型預(yù)測(cè)該月的銷售額。采樣數(shù)據(jù)如下表：

利用TI圖形計(jì)數(shù)器的列表與統(tǒng)計(jì)功能（StatisticswithListEditor）

輸入數(shù)據(jù)得到：

分別擬合各種變量之間的關(guān)系：

①銷售額與庫(kù)存資金之間的關(guān)系及回歸方程的擬合優(yōu)度（此時(shí)，r2=0.890573）

②銷售額與廣告投入之間的關(guān)系及回歸方程的擬合優(yōu)度（此時(shí)，r2=0.837430）

③銷售額與員工薪酬之間的關(guān)系及回歸方程的擬合優(yōu)度（此時(shí)，r2=0.709632）

④銷售額與庫(kù)存資金、廣告投入之間的關(guān)系及回歸方程的擬合優(yōu)度（此時(shí)，r2=0.9577330）

⑤銷售額與廣告投入、員工薪酬之間的關(guān)系及回歸方程的擬合優(yōu)度（此時(shí)，r2=0.869615）

⑥銷售額與庫(kù)存資金、員工薪酬之間的關(guān)系及回歸方程的擬合優(yōu)度（此時(shí)，r2=0.898492）

⑦銷售額與庫(kù)存資金、廣告投入、員工薪酬之間的關(guān)系及方程的擬合優(yōu)度（此時(shí)，r2=0.957480）

由于④與⑦的擬合后的回歸方程中的R2都很接近，為了從中得到最好的擬合效果，我們?cè)賹?duì)④與⑦分別進(jìn)行多元線性回歸分析：

采用最優(yōu)子集法作為備選自變量篩選

分析比較結(jié)果表明：雖然④與⑦的回歸分析中的R2≈0.957，但④的AdjR2（調(diào)整后的R2）比⑦的大，所以庫(kù)存資金和廣告費(fèi)用為自變量的多元線性回歸方程效果最好。此時(shí)，回歸方程為：

y=86.953190+7.108925X1+13.683731X2（其中，X1，X2分別為庫(kù)存資金和廣告費(fèi)用）

預(yù)測(cè)作用：未來(lái)某月員工薪酬總額為27萬(wàn)元，庫(kù)存資金額為150萬(wàn)元，廣告投入預(yù)算為45萬(wàn)元，試根據(jù)建立的回歸模型預(yù)測(cè)該月的銷售額為：

y=86.953190+7.108925×150+13.683731×45≈1769.059835萬(wàn)元

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中，以問(wèn)題為載體，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題，既培養(yǎng)了學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，同時(shí)也通過(guò)在實(shí)踐的學(xué)習(xí)過(guò)程中，培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。學(xué)生通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的分析，利用圖形計(jì)算器，自己動(dòng)手，進(jìn)行抽象，簡(jiǎn)化，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，從而獲得實(shí)際問(wèn)題的解決，在這一過(guò)程中，離不開(kāi)現(xiàn)代信息技術(shù)對(duì)數(shù)據(jù)的處理和分析。TI圖形計(jì)算器由始至終作為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個(gè)學(xué)習(xí)工具，參與了解決問(wèn)題的各個(gè)階段，幫助學(xué)生以數(shù)學(xué)的方式去理解周圍的世界。

[ 參 ?考 ?文 ?獻(xiàn) ]

[1]徐勇，高建彪.借助圖形計(jì)算器CAS功能解高考題[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（11）：39-44.

[2]徐勇，高建彪.一例教材中的函數(shù)模型擬合之路的探索[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2014（11）：56-58.

[3]章建躍.理解數(shù)學(xué)理解學(xué)生理解教學(xué)[J].中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2010（12）：3-7，15.