用Excel求二元非理想體系精餾塔理論塔板數(shù)通用方法分析研究

王菁 楊智勇

摘 ? ? ?要：介紹了用Excel計(jì)算和圖表功能，是對(duì)二元非理想體系進(jìn)行逐板計(jì)算法和圖解法相結(jié)合求精餾塔理論塔板數(shù)的一種新方法。對(duì)方法中的關(guān)鍵問題如曲線擬合和單變量求解等進(jìn)行了具體分析和說明。計(jì)算方法簡單實(shí)用，無須編程。經(jīng)實(shí)例驗(yàn)證結(jié)果準(zhǔn)確，具有實(shí)用性和一般性。

關(guān) ?鍵 ?詞：精餾塔;理論塔板數(shù);逐板計(jì)算法;圖解法;非理想體系

中圖分類號(hào)：TQ028.1 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A ? ? ? 文章編號(hào)： 1671-0460（2020）04-0704-07

Abstract： A new method for calculating the theoretical number of distillation columns in a binary non-ideal system by combining the plate-by-plate method and the graphic method with the Excel calculation and chart functions was introduced. The key problems in the method， such as curve fitting and univariate solving， were specifically analyzed and explained. The calculation method is simple and practical. The results of the examples have verified the accuracy， practicality and generality of the method.

Key words： Rectification tower; Theoretical plate number; Plate-by-plate calculation method; Graphical method; Non-ideal system

化工原理是過程工程類專業(yè)（包括化工、制藥、輕化工程等）的一門專業(yè)基礎(chǔ)課程和主干核心課程[1]。精餾是化工原理中最重要的傳質(zhì)分離單元操作之一，也是化工生產(chǎn)中最普遍使用的分離工藝過程。主要用于液體均相混合物的高純度分離。具有概念多、公式多、計(jì)算過程復(fù)雜、工程概念強(qiáng)等特點(diǎn)。對(duì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用理論知識(shí)解決實(shí)際工程問題的能力有重要作用。盡管目前分離液體混合物的新技術(shù)、新方法層出不窮。精餾過程仍是其最重要的手段，精餾理論、精餾塔的優(yōu)化設(shè)計(jì)和迅速、準(zhǔn)確、可靠地自動(dòng)控制等問題仍然是化學(xué)工程領(lǐng)域研究的重點(diǎn)，也是化工原理教學(xué)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

對(duì)精餾過程進(jìn)行設(shè)計(jì)或操作計(jì)算，精餾塔理論塔板數(shù)的計(jì)算都十分重要[2]。

在傳統(tǒng)的教材[3-6]中，若物系符合恒摩爾流假定，操作線為直線，可用圖解法或逐板計(jì)算法求取理論板數(shù)及理論加料位置，如用圖解法，為了得到較準(zhǔn)確的結(jié)果，應(yīng)采取適當(dāng)比例的圖。當(dāng)分離要求較高時(shí)，應(yīng)將平衡線的兩端局部放大，以減小作圖誤差。當(dāng)分離物系的相對(duì)揮發(fā)度較小，或分離要求較高，操作線和平衡線就比較接近，所需的理論板數(shù)就較多。若用圖解法不易得到準(zhǔn)確的結(jié)果，應(yīng)用逐板計(jì)算法進(jìn)行計(jì)算。在此種情況下應(yīng)特別注意相平衡數(shù)據(jù)的精度，數(shù)據(jù)的微小差別也會(huì)造成理論板數(shù)的很大誤差。對(duì)于非恒摩爾流物系，求取精餾塔理論塔板數(shù)，需用焓濃圖進(jìn)行求解。逐板計(jì)算法可以得到每一塊理論塔板上的氣液組成，為精餾塔的設(shè)計(jì)和控制提供準(zhǔn)確、詳細(xì)的數(shù)據(jù)依據(jù);計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確度高，且能確定理論塔板數(shù)和加料板位置[7]。但手工逐板計(jì)算過程繁瑣，工作量大且復(fù)雜，容易出錯(cuò)，操作十分不便。而且條件一旦改變，就只能重新計(jì)算。理論塔板數(shù)的求解法也可運(yùn)用圖解法，此法非常簡單、直觀，但當(dāng)塔板數(shù)較多時(shí)，計(jì)算結(jié)果誤差較大且不易準(zhǔn)確[6]。雖然圖解法非常直觀、簡便，但當(dāng)理論塔板數(shù)較多時(shí)，圖解則不易準(zhǔn)確，誤差較大，而且圖解法提供的數(shù)據(jù)結(jié)果十分有限。手工圖解法準(zhǔn)確性較差，采用手工計(jì)算只能解決小規(guī)模問題，難以達(dá)到較好的教學(xué)效果。

隨著計(jì)算和信息技術(shù)的發(fā)展，精餾計(jì)算已經(jīng)擺脫了手工計(jì)算、圖解方法。許多研究者采用不同的計(jì)算機(jī)軟件進(jìn)行精餾的計(jì)算、圖解研究。涉及逐板計(jì)算法的有從最初使用的Fortran[8]到Basic[9]、C++[10]、MathCAD[11]、MATLAB[1]、Mathematica[12]、Maple[13]、VB[6]、等，其中計(jì)算周期長、程序龐大、運(yùn)行結(jié)果不直觀都是使用計(jì)算機(jī)程序存在的問題[1]。

涉及圖解法計(jì)算精餾塔理論塔板數(shù)的方法有：使用AutoCAD[14]、MATLAB[15]、Excel[2]、origin[16]以及自行設(shè)計(jì)軟件等，大多只能進(jìn)行理想體系的圖解，只能得到較少的理論板數(shù)的信息，很少有將逐板和圖解兩者結(jié)合，既保留圖解法的直觀效果，可以在圖中查出每塊塔板上氣液相的組成，又可直觀的找到加料板位置和理論塔板數(shù)[17]。

1 ?原理和步驟

1.1 ?有關(guān)方程

在精餾塔計(jì)算中，對(duì)于設(shè)計(jì)型計(jì)算，需要?dú)庖合嗥胶怅P(guān)系圖，其圖的準(zhǔn)確性直接影響設(shè)計(jì)結(jié)果。一般情況下需在物性手冊里，查出某一溫度t下輕組分和重組分的飽和蒸汽壓，根據(jù)安托因公式算出氣液相組成，通過描點(diǎn)法得出氣液相關(guān)系圖。因此對(duì)非理想物系不論是逐板計(jì)算法還是圖解法，都必須首先得到氣液相平衡關(guān)系的具體的函數(shù)表達(dá)式即相平衡方程。

最好利用專門的非線性方程求解數(shù)值進(jìn)行計(jì)算來解決這一問題，Excel中內(nèi)嵌入的非線性方程求解的方法收斂迅速，但對(duì)初值要求較高。在單變量求解功能中給出。

1.3 ?圖解法求理論板數(shù)的過程

逐板計(jì)算氣液相組成可以在Excel工作表中完成，然后把計(jì)算結(jié)果，列入Excel中，用其圖表功能完成制圖。平衡線、操作線和階梯是圖解法求精餾塔理論板數(shù)到多步繪圖的關(guān)鍵[1]，圖表曲線有6個(gè)系列，分別為x-y氣液平衡線、對(duì)角線、精餾段操作線、提餾段操作線、q線和表示塔板的梯級(jí)線。在利用Excel進(jìn)行非理想體系的精餾理論板數(shù)的求解過程，實(shí)際上是圖解過程和逐板計(jì)算過程交替進(jìn)行，相互依賴。下面以乙醇-水混合液精餾過程理論板數(shù)計(jì)算和圖解為例進(jìn)行具體說明。

設(shè)計(jì)任務(wù)或主要技術(shù)指標(biāo)：在一常壓操作的連續(xù)精餾塔內(nèi)分離乙醇-水混合液。年產(chǎn)0.8萬t，組成為40%（乙醇的摩爾分?jǐn)?shù)，以下同），要求塔頂餾出液的組成為0.94，乙醇回收率為99%。進(jìn)料溫度為30 ℃。操作壓力（塔頂常壓），進(jìn)料熱狀況泡點(diǎn)進(jìn)料，回流比自選。

1.3.1 ?氣液相平衡數(shù)據(jù)（見表1、表2）

1.3.2 ?具體操作步驟

（1）根據(jù)表一、表二的相平衡數(shù)據(jù)在Excel中繪制t-x-y散點(diǎn)圖和x-y散點(diǎn)圖。如圖1-2所示。

若已知回流比時(shí)，可以直接根據(jù)R和xD求出精餾段操作線，提餾段操作線。若回流比未知，應(yīng)首先求出加料線與氣液平衡線交點(diǎn)的坐標(biāo)，計(jì)算最小回流比Rmin[6，19]，根據(jù)實(shí)際回流比與最小回流比的比值計(jì)算出實(shí)際回流比。在本例中給出具體求非理想物系最小回流比的一種方法。

（2）對(duì)于理想物系的情況中，通過求解出進(jìn)料方程與平衡關(guān)系方程的交點(diǎn)即挾點(diǎn)e（xe，ye）即可得到最小回流比。而非理想物系的情況中，平衡線出現(xiàn)明顯下凹時(shí)，在操作線與加料線的交點(diǎn)尚未落在平衡線上之前，精餾段操作線或提餾段操作線就有可能與平衡線在某點(diǎn)相切，這時(shí)切點(diǎn)即為挾緊點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的回流比即為最小回流比Rmin。

因而，對(duì)于非理想物系求解最回流比，關(guān)鍵是找出挾緊點(diǎn)e（xe，ye）坐標(biāo)[20]。在本例中，挾點(diǎn)在精餾段操作線與平衡線的切點(diǎn)上。求最小回流比Rmin的方法是在x-y圖上，過點(diǎn)（0.894，0.894）做相平衡曲線的切線，與y軸的交點(diǎn)為（0，0.210 85），則

如前所述方法逐板計(jì)算。由于相平衡曲線擬合為6次的多項(xiàng)式，由氣相組成計(jì)算液相平衡組成實(shí)際是解6次的非線性方程問題。該問題的難點(diǎn)在于初值的選擇很重要，否則很難收斂。許多研究者在編程解決此問題時(shí)，一般選擇一元三點(diǎn)插值多項(xiàng)式或選擇分段函數(shù)進(jìn)行曲線擬合的方式，使最高冪次降低到3次。由于已有了相平衡的實(shí)驗(yàn)點(diǎn)，對(duì)于氣液相組成我們已可以在較窄的區(qū)間范圍進(jìn)行試差，使用Excel的單變量求解功能計(jì)算液相平衡組成。

a）在Excel中新建一個(gè)工作簿，在sheet1（工作表）中輸入表1乙醇-水氣液相平衡組成如A、B列數(shù)據(jù)所示，在C列列出對(duì)角線數(shù)據(jù)。D、E、F列分別輸入精餾段、提餾段、擬合的6次多項(xiàng)式氣液平衡方程，利用Excel填充柄功能可以快速完成此三條線的相關(guān)計(jì)算，為逐板計(jì)算和圖解理論板奠定基礎(chǔ)。具體結(jié)果如圖3所示的工作表格截圖。

b）以A、B列數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)，在Excel菜單“插入”中選擇“圖表”中的散點(diǎn)圖如圖3（a）所示，選擇“帶光滑曲線和數(shù)據(jù)標(biāo)記的散點(diǎn)圖”（b）所示，做如圖3所示的氣液相平衡圖，在圖中右鍵點(diǎn)擊氣相線，選擇“設(shè)置趨勢線格式”圖（c）所示，擬合出圖4所示的乙醇-水非理想體系氣液相平衡函數(shù)關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上，在散點(diǎn)圖中點(diǎn)擊右鍵選擇“選擇數(shù)據(jù)”出現(xiàn)“選擇數(shù)據(jù)源”對(duì)話框，如圖d所示，按此操作即可在圖4上做出對(duì)角線。

將圖2中數(shù)據(jù)作圖得x-y曲線。在Excel中點(diǎn)擊該曲線選擇添加趨勢線，選擇多項(xiàng)式，當(dāng)多項(xiàng)式次數(shù)選擇為6次時(shí)，擬合效果最好。該曲線擬合成下式表達(dá)：

y = -68.592x6+208.22x5-248.12x4+147.6x3

-45.865x2+7.448 9x+0.026 7

c）在完成圖5的各項(xiàng)計(jì)算基礎(chǔ)上，可以進(jìn)行圖6的逐板計(jì)算。根據(jù)逐板計(jì)算的方法，首先若塔頂為全凝器，則xD=y1，代入擬合的氣液平衡方程中，用Excel單變量求解功能，進(jìn)行非線性方程求解液相平衡組成x1。這里初值的選擇非常重要，否則會(huì)不收斂。

具體做法是選擇目標(biāo)單元格和可變單元格，輸入擬合的6次多項(xiàng)式的函數(shù)式，在Excel工作表中菜單選擇“數(shù)據(jù)”中的“模擬分析”如圖所示，選擇單變量求解，輸入相關(guān)單元格和目標(biāo)值，本例中目標(biāo)單元格的目標(biāo)值為xD=y1=0.859 7，確定后即可算出x1。代入精餾段操作線方程即可算出y2，再以下一組單元格作為目標(biāo)單元格和可變單元格，輸入擬合的6次多項(xiàng)式的函數(shù)式：

=-68.42 A631+207.74 A531-247.64 A431+147.38 A3311-45.822 A231+7.446 7 A31+0.026 7

式中：A31 —A31單元格的變量輸入值。

目標(biāo)值輸入y2的值，確定后即可算出x2，以此交替使用相平衡線和精餾段操作線，至入口進(jìn)料濃度后轉(zhuǎn)向提餾段操作線和相平衡線進(jìn)行計(jì)算。繼續(xù)重復(fù)計(jì)算，直到xN≤xW為止。計(jì)算過程如圖8（a、b、c）所示。

d）每個(gè)梯級(jí)包括一個(gè)水平線段和一個(gè)垂直線段。水平線段氣相線值相同，垂直線段是液相線的值相等。根據(jù)這個(gè)特點(diǎn)在完成圖6的逐板計(jì)算后，將每塊塔板的氣液相組成進(jìn)行如圖7所示的排列，為進(jìn)行畫梯級(jí)做準(zhǔn)備。

e）在圖4上繼續(xù)點(diǎn)擊右鍵，選擇“選擇數(shù)據(jù)”出現(xiàn)“選擇數(shù)據(jù)源”對(duì)話框，按此操作選擇“添加”按鈕，完成精提餾段數(shù)據(jù)選定，即可在散點(diǎn)圖上畫出此兩條直線。至此已繪制完成了相平衡線、對(duì)角線、求最小回流比的切線、精餾段和提餾段的操作線。在圖7基礎(chǔ)上進(jìn)行梯級(jí)的繪制過程。同樣重復(fù)在圖上點(diǎn)擊右鍵，選擇“選擇數(shù)據(jù)”出現(xiàn)“選擇數(shù)據(jù)源”對(duì)話框，按此操作選擇“添加”按鈕，如圖9所示，完成圖7所示的27組坐標(biāo)點(diǎn)-線段選擇添加，即可完成整個(gè)圖解過程。結(jié)果如圖10所示。

通過逐板和圖解相結(jié)合，利用Excel的計(jì)算和圖表功能，最大的特點(diǎn)是不需要復(fù)雜的編程完成復(fù)雜和繁瑣的逐板迭代計(jì)算完成了非理想體系的理論板計(jì)算和圖解問題。該法具有一定的通用性。在本例中的具體計(jì)算結(jié)果如表3所示。

2 ?說明及結(jié)果討論

（1）對(duì)于理想的二元物系，有固定的相對(duì)揮發(fā)度，即有固定形式的相平衡方程對(duì)于非理想的二元物系，相對(duì)揮發(fā)度不再是定值，即沒有固定形式的相平衡方程，需要用若干個(gè)氣液平衡數(shù)據(jù)擬合平衡關(guān)系式。其實(shí)，二元理想物系的情況可以看成是二元非理想物系里的一種特殊情況。

對(duì)于非理想物系的情況在擬合氣液平衡數(shù)據(jù)關(guān)系時(shí)如果用多項(xiàng)式擬合，多項(xiàng)式的次數(shù)選擇很重要。從圖11可以看出，6次多項(xiàng)式擬合的效果最好。3次和4次誤差較大，時(shí)景榮等[2]給出用Excel圖解法求精餾塔理論塔板數(shù)的通用程序，用VBA編程的方法完成理論塔板數(shù)的計(jì)算。曾討論認(rèn)為用5階多項(xiàng)式擬合將在x值低時(shí)震蕩而失敗，用4階多項(xiàng)式擬合也產(chǎn)生很大的偏差，梯級(jí)線與氣液平衡線產(chǎn)生一定的偏離，認(rèn)為選擇一元三點(diǎn)插值多項(xiàng)式擬合編程效果較好。而本法不采用編程方式完成多項(xiàng)式方程的求根問題，采用圖5-6的計(jì)算數(shù)據(jù)可以縮小估計(jì)初值的區(qū)間，從而使求根區(qū)間在很小的范圍內(nèi)搜索，不會(huì)造成發(fā)散情況的發(fā)生。

回流比是精餾的核心，因此，確定最小回流比Rmin有重要的意義。這在很多文獻(xiàn)中涉及到[6，21]。本例乙醇-水非理想體系平衡線的特點(diǎn)，采用切線方式解決Rmin的確定。用試差方法獲得切點(diǎn)（挾點(diǎn)）位置。因切點(diǎn)同時(shí)滿足切線方程和擬合多項(xiàng)式方程，試差的準(zhǔn)切點(diǎn)（x1，y1）與（xD，xD）做直線方程，若y1值與x1代入擬合多項(xiàng)式（相平衡方程）計(jì)算值相等，即可確認(rèn)挾點(diǎn)位置，所求直線則為切線。若不等，則另試取x2（根據(jù)x1的值確定搜索方向和步長）則根據(jù)多項(xiàng)式計(jì)算的值y2與直線方程計(jì)算的值比較后判定是否滿足條件。很容易確定此切線。

在進(jìn)行理論板圖解過程中，非理想體系的相平衡線和對(duì)角線非常接近的情況下，繪制梯級(jí)非常困難，而通過Excel提供的放大功能，很容易對(duì)局部進(jìn)行放大從而使繪制梯級(jí)變得簡單，提高了圖解的精度。

3 ?結(jié)論

利用Excel的計(jì)算功能，圖表功能，將逐板計(jì)算法和圖解法相結(jié)合，利用逐板計(jì)算法時(shí)充分利用Excel的計(jì)算擬合功能，避免繁瑣的編程問題，省事省力，方便快捷，計(jì)算精度高。同時(shí)在逐板計(jì)算的基礎(chǔ)上，獲得詳細(xì)的精餾塔板的氣液兩相的詳細(xì)信息，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行理論板圖解，方便直觀地將逐板計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行形象地表達(dá)，同時(shí)又提高了圖解法的精度。該方法具有一般性，能用于解決理想和非理想物系的二元組分的精餾理論塔板數(shù)的計(jì)算。Excel軟件的普遍應(yīng)用，為課堂教學(xué)和工程計(jì)算提供了計(jì)算和制圖工具。

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