整變量混合冪為3，5的非線性型的整數(shù)部分

蔣顏如

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南 鄭州 450046)

1 基礎(chǔ)知識

1.1 記號

p表素?cái)?shù)，xi表自然數(shù)，δ>0且很小，ε>0且絕對小。隱含在符號?,?與O中的常數(shù)僅與λ1,λ2,…,λ6有關(guān)。記e(x)=exp(2πix),[x]表示x的整數(shù)部分，常數(shù)C不是相同的值。X是一個(gè)較大正整數(shù)，至少得有一個(gè)λi/λj(1≤i

|λ1/λ2-a/q|≤q-2,(a,q)=1,q>0,a≠0，

根據(jù)λ1,λ2,…,λ6的取值，相應(yīng)地取很大的q，定義如下，

令v是大于0的實(shí)數(shù)，

(1)

計(jì)算(1)得

Kv(α)?min(v,v-1|α|-2)，

(2)

(3)

1.2 其他冪次的一些結(jié)果

1.3 結(jié)論和證明思路

筆者在前面結(jié)果的基礎(chǔ)上考慮了混合冪次為3和5的情況，具體結(jié)論如下。

為了證明定理1，將問題轉(zhuǎn)化成下面的積分，由(1)～(3)式易得

(4)

2 計(jì)算積分J

2.1 M上的積分

先整理出計(jì)算積分時(shí)要用到的相關(guān)引理及其證明。

假如|α|∈M，由引理1，取a=0,q=1,|α|=|β|≤τ=N-1+δ,

F(α)=f(α)+O(X3δ),G(α)=g(α)+O(X3δ),H(α)=h(α)+O(X3δ)。

引理2[6]設(shè)ρ=β+iγ是ζ(s)函數(shù)的零點(diǎn)，定義

則

S(α)=I(α)-A(α)+B(α)，

(5)

(6)

(7)

證明參考文獻(xiàn)[7]中的(5.14)式計(jì)算

將每一項(xiàng)依次帶入式(5)～(7)和引理3中，能得到積分

證明將左邊積分帶入式(3)得

帶入積分中計(jì)算

2.2 m上的積分

引理7

(8)

(9)

(10)

證明將(2)式帶入，并使用華羅庚不等式,計(jì)算得

i=1,2，同理可證式(9)和式(10)。

引理8[5]假設(shè)有(a,q)=1,|α-a/q|≤q-2,φ(x)=αxk+α1xk-1+…+αk-1x+αk,即有

證明選取合適的aj和qj,j=1,2,使?jié)M足

|λ1α-aj/qj|≤qj-1Q-1,(aj,qj)=1,1≤qj≤Q。

(11)

首先，從α∈m容易知a1a2≠0。其次，可以假設(shè)q1>P或q2>P。若有q1,q2≤P,

證明將E(α)的上界帶入左邊的積分式子中，同時(shí)利用H?lder不等式計(jì)算得

2.3 t上的積分

引理11[8-9]設(shè)G(α)=∑e(αf(x1,x2,…,xm)),其中f表示實(shí)函數(shù)，對x1,x2,…,xm進(jìn)行求和，其中xi取自有限集。?D>4,

(12)

引理12[9]

證明將(8)～(12)式帶入左邊的積分進(jìn)行計(jì)算，

(13)