線性紅利下帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型

侯致武，喬克林

(1.延安大學(xué)西安創(chuàng)新學(xué)院 數(shù)據(jù)科學(xué)與工程學(xué)院，陜西 西安 710100;2.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安 716000)

0 引言

近年來，很多國內(nèi)外學(xué)者基于經(jīng)典的復(fù)合Poisson風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)行改進(jìn)和完善。文獻(xiàn)[1-5]在經(jīng)典模型中引入利率因素、干擾因素、紅利邊界、隨機(jī)保費(fèi)等。但在保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的實(shí)際經(jīng)營過程中，索賠次數(shù)并不完全服從Poisson分布，其方差往往會(huì)大于均值。文獻(xiàn)[6-8]將經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型進(jìn)一步推廣為更貼近實(shí)際的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型，但保費(fèi)收入是線性的?？紤]到保費(fèi)的隨機(jī)性，文獻(xiàn)[9-10]將復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型中的保費(fèi)收入由線性函數(shù)推廣為復(fù)合Poisson過程，但未考慮隨機(jī)干擾因素。喬克林等[11]討論了保費(fèi)收入服從復(fù)合Poisson過程，理賠量服從復(fù)合Poisson-Geometric過程且?guī)Ц蓴_的風(fēng)險(xiǎn)模型，但未考慮線性紅利。侯致武等[12]建立了同時(shí)考慮利率因素、隨機(jī)干擾因素、且保費(fèi)收入為復(fù)合Poisson過程，索賠為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險(xiǎn)模型，并給出了該模型的期望折現(xiàn)罰金函數(shù)所滿足的積分微分方程。

考慮到保險(xiǎn)公司實(shí)際經(jīng)營的收益具有分紅策略，本文建立了同時(shí)考慮利率因素、干擾因素、線性分紅且保費(fèi)收入為復(fù)合Poisson過程、索賠為復(fù)合Poisson-Geometric過程的風(fēng)險(xiǎn)模型，從而推廣了文獻(xiàn)[12]中的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型，并且運(yùn)用盈余過程的強(qiáng)馬氏性和It公式，得到了保險(xiǎn)公司的生存概率和紅利付款的期望現(xiàn)值分別滿足的積分微分方程。

1 預(yù)備知識(shí)

定義1 設(shè)文中所有隨機(jī)變量都定義在完備概率空間(Ω,F,p)上，則常利力下帶干擾的復(fù)合Poisson-Geometric風(fēng)險(xiǎn)模型為

(1)

定義2 設(shè)線性紅利界限為b+at(其中b為初值且u≤b，a為增長速率且0

(2)

定義3 記T=inf(t>0;U*(t)<0)(若集合為空集，則T=∞)為破產(chǎn)時(shí)刻，保險(xiǎn)公司的最終破產(chǎn)概率φ(u,b)=P(T<∞|U*(0))=u)，對應(yīng)的生存概率為ψ(u,b)=1-φ(u,b)。

引理1[6]設(shè)N(t)是參數(shù)為(λ,ρ)的Poisson-Geometric過程，記α=λ(1-ρ)/ρ(若ρ=0，則α=λ)，則當(dāng)t足夠小時(shí)，有

P{N(t)=0}=e-λt=1-λt+o(t)，

P{N(t)=k}=αρkt+Ak(t)ο(t),k=1,2,…，

2 主要結(jié)果及證明

記G*k(y)和g*k(y)分別為索賠分布G(y)和概率密度g(y)的k重卷積，并記

定理1 風(fēng)險(xiǎn)模型(2)的生存概率ψ(u,b)滿足如下積分微分方程：

且滿足邊界條件：

1)事件B1：在(t,t+Δt)內(nèi)，M(t)=0，N(t)=0，其發(fā)生的概率為

P(B1)=(1-λ1Δt+o(Δt))(1-λ2Δt+o(Δt))=1-(λ1+λ2)Δt+o(Δt)。

2)事件B2：在(t,t+Δt)內(nèi)，M(t)=0，N(t)=k，其發(fā)生的概率為

P(B2)=(1-λ1Δt+o(Δt))[αρkΔt+Ak(Δt)o(Δt)]=αρkΔt+Ak(Δt)o(Δt)。

3)事件B3：在(t,t+Δt)內(nèi)，M(t)=1，N(t)=0，其發(fā)生的概率為

P(B3)=λ1Δt(1-λ2Δt+o(Δt))=λ1Δt+o(Δt)。

4)事件B4：其他情況，其發(fā)生的概率為

P(B4)=o(Δt)。

當(dāng)y>u+h(t)時(shí)，ψ(u+h(t)-y,b)=0，即破產(chǎn)必然發(fā)生。由盈余過程的強(qiáng)馬氏性和全期望公式得

整理得

(λ1+λ2)ΔtE[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]=E[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]-ψ(u,b)+

(3)

(λ1+λ2)ΔtE[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]=E[ψ(u+h(Δt),b+aΔt)]-ψ(u,b)+

(4)

(5)

將(5)式代入(4)式后，兩端同時(shí)除以Δt，令Δt→0，化簡得

定理2 風(fēng)險(xiǎn)模型(2)下紅利付款的期望現(xiàn)值V(u,b)滿足積分微分方程：

并滿足的邊界條件:

證明當(dāng)0≤u≤b時(shí)，類似于定理1的證明方法，由盈余過程的強(qiáng)馬氏性和全期望公式得

V(u,b)=e-δΔtE[V(u+h(Δt),b+aΔt)]× [1-(λ1+λ2)Δt+o(Δt)]+

由(5)式、引理1及單調(diào)收斂定理得

將eδΔt的Taylor展開式代入上式，等式兩端同時(shí)除以Δt，令Δt→0，化簡得