例談數(shù)學(xué)思想與方法在高中數(shù)學(xué)問題中的具體體現(xiàn)

◇ 浙江 吳賢盛

數(shù)學(xué)思想與方法是指引我們分析問題與解決問題的法寶，是數(shù)學(xué)的靈魂，我們常常在學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)知識(shí)的同時(shí)獲得數(shù)學(xué)思想與方法.作為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)不可或缺的一部分，數(shù)學(xué)思想與方法能夠促進(jìn)學(xué)生知識(shí)體系的形成.高中數(shù)學(xué)思想與方法主要包括函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等，本文結(jié)合具體問題談一下這些思想方法的具體體現(xiàn).

1 函數(shù)與方程思想

例1在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝13，3a2＝11a6，則數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和Sn的最大值為.

由3a2＝11a6，得3×(13＋d)＝11×(13＋5d)，解 得d ＝－2，所 以an＝13 ＋(n－1)×(－2)＝ － 2n ＋ 15. 故 Sn＝所以當(dāng)n＝7時(shí)，數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和Sn最大，最大值為S7＝49.

數(shù)列的通項(xiàng)與前n 項(xiàng)和可以看成自變量為正整數(shù)的函數(shù)，用函數(shù)的性質(zhì)去處理數(shù)列問題十分重要，本題就是通過寫出Sn的關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)去求解最值的，充分體現(xiàn)了函數(shù)與方程思想在高中數(shù)學(xué)的應(yīng)用之廣泛.除此之外，解析幾何、立體幾何中也存在著大量的函數(shù)與方程思想.

2 數(shù)形結(jié)合思想

例2已知?jiǎng)tf(3－x2)＞f(2x)的解集為( ).

A.(－∞，－3)∪(1，＋∞) B.(－3，1)

C.(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.(－1，3)

因此可得f(x)單調(diào)遞增，f(x)圖象如圖1 所示，f(3－x2)＞f(2x)可轉(zhuǎn)化為3－x2＞2x，解得－3＜x＜1，故選B.

數(shù)形結(jié)合思想可以起到以形助數(shù)、以數(shù)定形的作用.利用數(shù)形結(jié)合思想可以構(gòu)建函數(shù)模型并結(jié)合其圖象求參數(shù)的取值范圍、方程根的范圍、量與量之間的關(guān)系等，還可以利用幾何意義研究函數(shù)的最值問題和證明不等式等.本題根據(jù)導(dǎo)函數(shù)對(duì)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷，再畫出函數(shù)圖象，易知函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與圖象即可求得不等式的解.

圖1

3 分類討論思想

例3已知函數(shù)f(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)，g(x)＝ax2－x＋5，其中a∈R.

(1)若函數(shù)f(x)，g(x)存在相同的零點(diǎn)，求a的值；

(2)若存在兩個(gè)正整數(shù)m，n，當(dāng)x0∈(m，n)時(shí)，有f(x0)＜0與g(x0)＜0同時(shí)成立，求n 的最大值及n 取最大值時(shí)a 的取值范圍.

(1)f(x)＝x2－(a＋1)x－4(a＋5)＝(x＋4)[x－(a＋5)]，所以x1＝－4，x2＝a＋5.由g(－4)＝16a＋9＝0，得由g(a＋5)＝a[(a＋5)2－1]＝0得a＝0，－4或－6.

(2)令f(x)＜0，則－4＜x＜a＋5，因?yàn)閙，n 為正整數(shù)，所以a＋5＞0，即a＞－5，記N ＝(0，a＋5)，令g(x)＜0，即ax2－x＋5＜0的解集為M，則由題意得區(qū)間(m，n)?M ∩N.

當(dāng)a＜0 時(shí)，因?yàn)間(0)＝5＞0，故g(a＋5)＝a[(a＋5)2－1]＜0，即a＞－4或a＜－6，又因?yàn)閍＞－5，故－4＜a＜0，此時(shí)n≤a＋5＜5.又m，n∈Z，所以m＜n≤4.

當(dāng)a＝0時(shí)，M ∩N＝?，不合題意.

當(dāng)a＞0 時(shí)，因?yàn)間(0)＝5＞0，g(a ＋5)＝a[(a＋5)2－1]＞0，故無解.

綜上，n 的最大整數(shù)為4，此時(shí)a 的取值范圍為

分類討論思想是高中數(shù)學(xué)應(yīng)用最為廣泛的數(shù)學(xué)思想，它能夠?qū)?shù)學(xué)難題進(jìn)行分解，逐個(gè)擊破.應(yīng)用分類討論思想時(shí)，最為關(guān)鍵的問題在于要能夠判斷分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，這樣方能做到思路清晰.在本題的求解中，a 作為一個(gè)參數(shù)，首先要根據(jù)a是否為0，判斷g(x)是否為二次函數(shù)，若是二次函數(shù)，還需判斷開口方向，這就導(dǎo)致在求解第(2)問時(shí)要進(jìn)行分類討論.

4 轉(zhuǎn)化與化歸思想

例4若函數(shù)f(x)＝e2x－ax2＋1在[1，2]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是( ).

因?yàn)閒(x)＝e2x－ax2＋1，所以f′(x)＝2e2x－2ax，因?yàn)閒(x)在[1，2]上是減函數(shù)，則e2x－ax≤0在[1，2]上恒成立，即在[1，2]上恒成立，令所以h′(x)＝所以h(x)在[1，2]上單調(diào)遞增，即所以實(shí)數(shù)a 的取值范圍是故選C.

轉(zhuǎn)化與化歸思想是指將問題進(jìn)行較好地轉(zhuǎn)化，在解題時(shí)，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想可以運(yùn)用“換元”把式子轉(zhuǎn)化為有理式或使整式降冪等，可以把較復(fù)雜的函數(shù)、方程、不等式等問題轉(zhuǎn)化為易于解決的問題，也可以把原問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)易于解決的等價(jià)問題，達(dá)到化歸的目的.在本題的求解中，通過靈活轉(zhuǎn)化使問題獲解，其實(shí)質(zhì)就是求解的最大值.