分析向量問(wèn)題審題環(huán)節(jié)的易錯(cuò)點(diǎn)

◇ 山東 關(guān) 瑩 王培先

向量知識(shí)不僅內(nèi)容抽象，而且表征形式多樣、解題技巧靈活，然而，審題作為成功解決向量問(wèn)題的關(guān)鍵和基礎(chǔ)，卻并沒(méi)有引起學(xué)生的足夠重視.“成也審題，敗也審題.”學(xué)生常常忽略審題對(duì)解決向量問(wèn)題的關(guān)鍵作用，從而導(dǎo)致不能充分、系統(tǒng)地理解題意，遇到一些難度較大的問(wèn)題時(shí)就會(huì)感到無(wú)從下手.

1 概念模糊、曲解題意

例1已知正△ABC 的邊長(zhǎng)為1，求

錯(cuò)解根據(jù)公式a·b＝|a||b|cosθ，可得

剖析從向量夾角的定義分析，兩向量之間的夾角并不是向量所在直線(xiàn)的夾角，其夾角計(jì)算的前提是兩向量的起點(diǎn)要重合，也就是與的夾角不是60°，而是120°.

易錯(cuò)防范注意辨別相關(guān)概念之間的區(qū)別，深入理解向量與實(shí)數(shù)、向量與平面幾何、點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)、向量夾角等知識(shí)，在審題時(shí)，切勿生搬硬套公式進(jìn)行盲目求解.

跟蹤訓(xùn)練已知A(3，7)，B(5，2)，將按照向量a＝(1，2)平移后，所得向量的坐標(biāo)為( ).

A.(3，－3) B.(2，－5)

C.(0，4) D.(1，－7)

正解B.

易錯(cuò)點(diǎn)要注意點(diǎn)的平移與向量平移之間的區(qū)別，一個(gè)向量無(wú)論怎樣平移，均表示同一個(gè)向量.

2 忽略隱含條件

例2已知a＝(1，2)，b＝(1，1)，且a 與a＋λb的夾角為銳角，試求實(shí)數(shù)λ 的取值范圍.

錯(cuò)解令a 與a＋λb 的夾角為，由于a·(a＋λb)＝|a|·|a＋λb|cosθ＞0，代入相關(guān)數(shù)值后可得

剖析向量a 與a＋λb 的夾角為銳角的充要條件是a·(a＋λb)＞0，且a 與a＋λb 不共線(xiàn)，在上述審題過(guò)程中忽略了題目中必須成立、含而未說(shuō)的條件，即a 與a＋λb 不共線(xiàn)，λ≠0，故而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

易錯(cuò)防范在審題環(huán)節(jié)中應(yīng)充分挖掘隱藏在向量定義和性質(zhì)中的條件.

跟蹤訓(xùn)練已知四邊形ABCD 中，，若a·b＝b·c＝c·d＝d·a，判斷四邊形ABCD 的形狀.

正解因?yàn)閍＋b＋c＋d＝0，所以

易錯(cuò)點(diǎn)易忽略四邊形ABCD 中a＋b＋c＋d＝0這個(gè)隱含條件.

3 遺漏條件

例3已 知△ABC 中K)，若△ABC 中有一個(gè)角是直角，求實(shí)數(shù)K 的值.

錯(cuò)解因?yàn)椤鰽BC 是直角三角形，故0，求得K＝－2.

剖析無(wú)形中增加了∠A 是直角這個(gè)條件.

易錯(cuò)防范審題時(shí)應(yīng)深入理解題目中的各類(lèi)信息，不要擅自增加已知條件中沒(méi)有的或不能由已知條件推出的條件，每一步都要做到有理有據(jù)，同時(shí)要避免考慮問(wèn)題不夠全面，遺漏題目中的細(xì)節(jié).

跟蹤訓(xùn)練已知平面向量a，b，c 兩兩之間所成角相等，并且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，則|a＋b＋c|的值為.

正解當(dāng)a，b，c 共線(xiàn)且同向時(shí)，|a＋b＋c|＝|a|＋|b|＋|c|＝6.

當(dāng)a，b，c 皆為非共線(xiàn)向量時(shí)，|a＋b＋c|2＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝3.

易錯(cuò)點(diǎn)受思維定勢(shì)造成的影響，容易忽略a，b，c 共線(xiàn)且同向的情況.