圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題探析

◇ 江蘇 黃衛(wèi)華

臨界狀態(tài)是一個(gè)不易理解的物理概念.為了方便，我們常常用“恰好”“恰好不”來描述臨界狀態(tài).如果物理問題中出現(xiàn)和臨界狀態(tài)有關(guān)的條件，則稱為臨界條件.臨界問題是圓周運(yùn)動(dòng)中的重要問題，是高考中的熱點(diǎn)，本文分三種情況加以討論.

1 物理量臨界

挖掘物理量的臨界關(guān)系是解決問題的難點(diǎn)，一般分為彈力臨界和摩擦力臨界.對(duì)于彈力，彈力為0是臨界條件，對(duì)于摩擦力，最大靜摩擦力是臨界條件，此時(shí)又分為兩個(gè)不同方向的臨界.

例1物塊A 的質(zhì)量M 為0.6kg，現(xiàn)在將物塊A 靜止放置到一個(gè)水平圓盤上.將一根細(xì)繩拴在物塊A上，并通過圓盤中心的小孔O 掛上一個(gè)小球B，小球B 的質(zhì)量m 為0.3kg.已知物塊A 到圓孔O 的距離是0.2 m.現(xiàn)在讓圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)起來，假設(shè)圓盤對(duì)物塊A 的最大靜摩擦力Ff為2N.如果保持小球B 相對(duì)圓盤靜止，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度范圍為多少? (g 取10m·s－2)

圖1

根據(jù)題目中的已知條件，物塊A 必須相對(duì)于圓盤保持靜止.物塊A 受到繩子的拉力和靜摩擦力，這兩個(gè)力提供了向心力.我們?nèi)∥飰KA 將要向外滑動(dòng)時(shí)為臨界狀態(tài)，即拉力和最大靜摩擦力的合力提供向心力，這兩個(gè)力都指向O 點(diǎn)，此時(shí)的角速度最大.對(duì)B 有FT＝mg，對(duì)A 有FT＋Ff＝物塊A 將要向里滑動(dòng)時(shí)有FT－Ff＝，解得ω1≈6.5 rad·s－1，ω2≈2.9rad·s－1，所以2.9rad·s－1≤ω≤6.5rad·s－1.

靜摩擦力取最大值時(shí)，存在臨界問題，對(duì)應(yīng)兩個(gè)最大靜摩擦力方向，存在兩個(gè)臨界問題.

2 模型臨界

此類問題是不同的臨界條件，對(duì)應(yīng)兩個(gè)不同的模型.一般來說，看似雷同的問題，連續(xù)兩次求解時(shí)，一般都存在模型臨界，該臨界條件一般都對(duì)應(yīng)某一個(gè)物理量為0或者最大(如繩子剛好繃斷等)，求解時(shí)，以該物理量為0或者最大為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，分不同的模型求解.

例2如圖2所示，在水平面上固定一個(gè)光滑圓錐體，已知圓錐體的頂角為60°.將一根長(zhǎng)度為L(zhǎng) 的細(xì)繩拴在圓錐體的頂點(diǎn)O 上，再將一個(gè)小球拴在細(xì)繩上，已知小球的質(zhì)量為m.現(xiàn)在使小球繞著圓錐體豎直向上的軸線在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng).求：

圖2

當(dāng)小球?qū)A錐體剛好沒有壓力時(shí)，

在水平方向有

解得F＝1.033mg.

圖3

本題要先判斷物體是否屬于圓錐擺模型.判斷時(shí)，先根據(jù)臨界條件，當(dāng)小球?qū)A錐體剛好沒有壓力時(shí)，求得小球的線速度為v0.當(dāng)v＞v0時(shí)，小球做圓錐擺運(yùn)動(dòng)，當(dāng)v＜v0時(shí)，小球不做圓錐擺運(yùn)動(dòng).

3 情境臨界

物理情境不同，臨界條件不同，一個(gè)物理量的最大值和最小值對(duì)應(yīng)不同的情境，解題時(shí)，要抓住該物理量對(duì)應(yīng)的兩個(gè)情境，抓住物理量的兩個(gè)邊界求解.

例3如圖4 所示，用一根長(zhǎng)度為L(zhǎng) 的細(xì)繩拴住一個(gè)小球，細(xì)繩另一端固定在A 點(diǎn)，已知小球的質(zhì)量是m.在過A 點(diǎn)的豎直虛線AB上釘上一根鐵釘D.現(xiàn)在用手拿著小球?qū)⒓?xì)繩拉至水平狀態(tài)，開始由靜止釋放.已知細(xì)繩能夠承受的最大張力為9mg.如果小球能夠繞著鐵釘做圓周運(yùn)動(dòng)，不考慮能量損失，求鐵釘?shù)紸 距離的范圍.

圖4

設(shè)鐵釘距A 點(diǎn)的距離為x，當(dāng)繩子拉力最大T＝9mg 時(shí)，小球從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)機(jī)械能守恒，則有，對(duì)小球在最低點(diǎn)時(shí)，由牛頓第二定律有，又因r1＝L－x，聯(lián)立以上各式解得.由于小球在最低點(diǎn)速度一定，繩能承受的最大拉力一定，因此在最低點(diǎn)r 有最小值，從這個(gè)角度講，要使小球做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小球從初位置到剛好到最高點(diǎn)有，又因解得r2＝在最高點(diǎn)，小球速度越大，則做圓周運(yùn)動(dòng)越穩(wěn)定，因此，小球能繞釘子在豎直平面內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，釘子位置到A 點(diǎn)距離的取值范圍為

本題要抓住兩個(gè)臨界點(diǎn)，在最低點(diǎn)時(shí)，繩的拉力有最大值，即小球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑不能太小，圓心位置不能太低.在圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)，小球有一個(gè)最小速度，即圓心位置不能太高.

從上面的討論可以看出，對(duì)于各類臨界問題，挖掘臨界條件是解決問題的關(guān)鍵.挖掘臨界條件時(shí)，往往應(yīng)用極限法，即某個(gè)物理量特別大或者特別小時(shí)會(huì)發(fā)生的物理情境，從而得到臨界條件.最后，建立不同的物理模型，應(yīng)用有關(guān)規(guī)律求解.