利用“垂徑定理”重觀圓錐曲線中一類對(duì)稱問題

◇ 廣東 朱清波

在圓錐曲線性質(zhì)中，探究曲線上是否存在兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱是一類常見的問題，也形成了較為固定的解題模式，在探尋其是否具有其他解法的過程中，筆者發(fā)現(xiàn)這類問題與圓錐曲線的一個(gè)性質(zhì)密切相關(guān).因此，筆者在思考其本原的同時(shí)根據(jù)該性質(zhì)也設(shè)計(jì)了幾個(gè)問題，以期讀者對(duì)這類對(duì)稱問題的本質(zhì)有著更為清晰的理解.

例1設(shè)橢圓直線l：y＝4x＋m，則當(dāng)m 為何值時(shí)，橢圓C 上有兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱?

解法1設(shè)橢圓上A，B 兩點(diǎn)關(guān)于直線l 對(duì)稱，不妨設(shè)直線代入橢圓方程整理得

由Δ＝4t2－13(4t2－12)＞0，解得

設(shè)AB 的中點(diǎn)M(x0，y0)，則

又點(diǎn)M 在對(duì)稱軸l上，則y0＝4x0＋m，即，則故

解法1是一種通法，其主要思路是利用對(duì)稱軸這一條件結(jié)合垂直和中點(diǎn)，最后利用判別式求得參數(shù)范圍.該解法思路清晰，但給人一種意猶未盡之感.下面我們換一種思路，先探求中點(diǎn)規(guī)律，再利用垂直條件.為此先引入橢圓的一個(gè)小性質(zhì)，因?yàn)樵撔再|(zhì)與圓的相關(guān)性質(zhì)類似，故也被稱為橢圓的垂徑定理.

證明如圖1，不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由

將兩式作差后整理可得

圖1

記直線AB 和直線OM 斜率分別為k1，k2，則

解法2利用上述垂徑定理，本題中橢圓的兩相關(guān)斜率之積為，若斜率為的平行線束與橢圓相交，則所有弦中點(diǎn)的軌跡必為去掉兩端點(diǎn)的線段，如圖2所示，則直線l：y＝4x＋m 只需與該線段有交點(diǎn)即可(這時(shí)l 是過交 點(diǎn) 且 斜 率 為的弦的對(duì)稱軸)，故

圖2

上述思考方式是先確定對(duì)稱點(diǎn)的所在弦中點(diǎn)需具備的條件再考慮垂直，利用數(shù)形結(jié)合來解題，這種思維方式有利于學(xué)生直觀感悟這類對(duì)稱問題的本質(zhì)，也有利于學(xué)生形成直觀想象的核心素養(yǎng).通過研究發(fā)現(xiàn)，在其他圓錐曲線問題中，也有類似的性質(zhì)和對(duì)應(yīng)的解題方法.

例2已知拋物線y＝x2上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝2x＋m 對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是.

我們先證明拋物線與之對(duì)應(yīng)的性質(zhì)：

[拋物線的垂徑定理]如圖3，拋物線x2＝2py (p＞0)中，AB 是拋物線的弦，M 是AB 的中點(diǎn)，則

圖3

證明不妨設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，則＝2py1，＝2py2，作 差 得＝2p(y1－y2)，整理后為故

圖4

如圖4，則只需直線y＝2x＋m 與該射線有交點(diǎn)即可(這時(shí)直線y＝2x＋m 是過交點(diǎn)且斜率為的弦的對(duì)稱軸)即

例3已知雙曲線和直線l：y＝kx＋m，當(dāng)m∈R時(shí)，曲線C 上總存在唯一兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，則斜率k 的取值范圍是.

我們先給出雙曲線的垂徑定理.

圖5

圖6

圖7

上述三個(gè)例題均是在對(duì)稱軸所在直線斜率確定(或假設(shè)確定)的情況下進(jìn)行研究，若對(duì)稱軸所在直線過定點(diǎn)，則可利用先求臨界直線方程的方式處理相關(guān)問題.

例4已知拋物線y＝x2上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y＝m(x－3)對(duì)稱，則m 的取值范圍是.

圖8

圖9

例5已知橢圓和直線l：y＝kx＋m，若對(duì)于任意k∈R，曲線C 上不存在兩點(diǎn)關(guān)于直線l 對(duì)稱，則實(shí)數(shù)m 的取值范圍是.

先考慮一種臨界情況，如圖10，作橢圓切線與直線l 垂直，設(shè)切點(diǎn)為P，且P 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P′剛好落在直線l上(這樣PP′可視為定斜率弦的中點(diǎn)軌跡，與直線l 的交點(diǎn)剛好在邊界上).令P(x0，y0)(x0≠0)，利用切線知識(shí)得其斜率為而直線l 斜率為由因?yàn)閤0≠0，則y0∈(－b，b)，由題意可知該等式不成立，則需有

圖10

圓錐曲線的許多性質(zhì)均具有統(tǒng)一性，本文中的對(duì)稱問題就反映了這個(gè)觀點(diǎn).對(duì)一個(gè)問題進(jìn)行反復(fù)思考和多角度研究，才能有機(jī)會(huì)讓我們真正理解其本質(zhì)特征，才能逐步培養(yǎng)自身做一道題會(huì)一類題的能力，同時(shí)這個(gè)探究過程也讓我們深刻感受到了數(shù)學(xué)獨(dú)特的規(guī)律之美.