一類極值點(diǎn)偏移問題的不等式

◇ 江蘇 孫 磊 成 鈺

極值點(diǎn)偏移問題的本質(zhì)是由于函數(shù)在極值點(diǎn)左、右兩側(cè)的增減速度不一致，導(dǎo)致函數(shù)的圖象不具有對稱性，極值點(diǎn)并不是在定義域的中間位置.雖然需要證明的不等式各不相同，但不少題目都有極其相似的解題思路，現(xiàn)整理如下.

首先介紹一個(gè)重要不等式：

證明令所以

因?yàn)?＜λ＜1，所以f′(λ)＞0，即函數(shù)y＝f(λ)在(0，1)上單調(diào)遞增，所以f(λ)＜f(1)＝0，即lnλ＜

許多極值點(diǎn)偏移問題都可以化歸成不等式①來解決.

例1已知函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)記為f′(x)，若存在實(shí)數(shù)使得f(x1)＝f(x2)，求證：

分析因 為所以要證只要證x1＋x2＞2即可.

我們可以不妨假設(shè)x1＜x2，因?yàn)閒(x1)＝f(x2)，所以x1和x2必然存在內(nèi)在聯(lián)系，因此可以令x1＝λx2，于是0＜λ＜1，下面只需要考慮如何將x1＋x2＞2轉(zhuǎn)化為λ 的一元不等關(guān)系.

證明因?yàn)閒(x1)＝f(x2)，所以兩邊取對數(shù)可得lnx1－x1＝lnx2－x2，整理可得所以

不妨假設(shè)x1＜x2，令x1＝λx2，于是0＜λ＜1，所以

總結(jié)一下解題步驟：1)減元；2)構(gòu)造不等式；3)得結(jié)論.

例2已知函數(shù)g(x)＝x(2lnx－mx－1)，區(qū)間D＝(0，＋∞)，設(shè)函數(shù)g(x)在區(qū)間D 上的兩個(gè)極值分別為g(x1)和g(x2)，求證：x1·x2＞e.

分析本題對g(x)求導(dǎo)后的題型與例1相似，但多了參數(shù)m，如何消去參數(shù)m 是求解本題的關(guān)鍵.同時(shí)考慮到求導(dǎo)以后式子的特征，可以將本題要證的結(jié)論轉(zhuǎn)化為證明lnx1＋lnx2＞1.

證明因?yàn)間′(x)＝2(1＋lnx)－2mx－1＝1＋2lnx－2mx，且函數(shù)g(x)在區(qū)間D 上的兩個(gè)極值分別為g(x1)和g(x2)，所以

不妨假設(shè)x1＜x2，令x1＝λx2，于是0＜λ＜1，所以

由不等式①可得要證的結(jié)論.

至此，再完善一下解題步驟：1)消參數(shù)；2)減元；3)構(gòu)造不等式；4)得結(jié)論.

通過以上兩個(gè)例題的證明過程，我們不難發(fā)現(xiàn)將所要證明的結(jié)論經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃握?，最后都轉(zhuǎn)化為不等式①.因此構(gòu)造不等式的方法可以作為這類問題的解決途徑進(jìn)行嘗試.

極值點(diǎn)偏移問題是能夠考查學(xué)生思維能力、運(yùn)算能力、綜合分析能力的一種題型，具有很高的研究價(jià)值.構(gòu)造不等式的方法是解決這類問題的一個(gè)新的視角，但是否適合所有題目，這種方法有沒有局限性，還需要在以后的教學(xué)中進(jìn)一步研究.