探析等差數(shù)列求和問(wèn)題

◇ 甘肅 李曉燕

學(xué)習(xí)貴在思考，知識(shí)重在應(yīng)用.當(dāng)學(xué)完了等差數(shù)列的前n 項(xiàng)求和公式后，你是否思考過(guò)這個(gè)公式應(yīng)如何應(yīng)用? 本文就帶你一起來(lái)探究!

引例設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和，已知S7＝7，S15＝75，Tn為數(shù)列的前n 項(xiàng)和，求Tn.

分析先求出數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)的和Sn，而數(shù)列是等差數(shù)列，故可利用等差數(shù)列求和公式求Tn.

解法1設(shè){an}首項(xiàng)為a1，公差為d，則

解法2因?yàn)閧an}為等差數(shù)列，故可設(shè)Sn＝An2＋Bn，則

解法1利用基本量法，即在a1，d，an，n，Sn這些量中已知三個(gè)就可以求另外兩個(gè).而解法2利用了等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)，即Sn是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)，再采用待定系數(shù)法來(lái)求解，也是解此類(lèi)問(wèn)題的一種通法，解法2比解法1更簡(jiǎn)捷.

變式1(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n 項(xiàng)和Sn＝m，前m 項(xiàng)和Sm＝n(m≠n)，則它的前m＋n 項(xiàng)的和Sm＋n＝.

(2)在等差數(shù)列{an}中，前n 項(xiàng)和為Sn，a1＝1，設(shè)Tn是數(shù)列{bn}的前n 項(xiàng)和，則T99的值是.

分析(1)依據(jù)等差數(shù)列的前n 項(xiàng)和公式列出方程組，并把方程中的某一部分看成一個(gè)整體；(2)先求出Sn，再求an，bn，最后求Tn.

解(1)設(shè)Sn＝An2＋Bn (n ∈N*)，則整理得

即Sm＋n＝－(m＋n).

(2)因?yàn)閿?shù)列{an}為等差數(shù)列，所以也為等差數(shù)列，由題意知它的首項(xiàng)為1，公差為，故即所以an＝n，從而

利用等差數(shù)列前n 項(xiàng)求和公式的有關(guān)特征解等差數(shù)列求和問(wèn)題，不僅可以幫助我們打開(kāi)解題思路，而且可以?xún)?yōu)化解題過(guò)程.

變式2等差數(shù)列{an}前m 項(xiàng)和為30，前2m 項(xiàng)和為100，求它的前3m 項(xiàng)之和.

分析Sm，S2m，S3m雖然不成等差數(shù)列，但卻成等差數(shù)列.

解由等差數(shù)列求和公式的性質(zhì)知成等差數(shù)列，所以解得S3m＝210.

本題也可以利用等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的另一個(gè)性質(zhì)求解，即Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列.

變式3(1)設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n 項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對(duì)任意正整數(shù)n 都有則的值為.

(2)設(shè)Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和，若則＝.

分析(1)利用等差數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)將化簡(jiǎn)，進(jìn)而運(yùn)用等差數(shù)列前n 項(xiàng)和的性質(zhì)求解；

(2)依據(jù)等差數(shù)列前n 項(xiàng)和特征，巧設(shè)Sn與Tn，進(jìn)而求出a5與b6.

解(1)因?yàn)閧an}，{bn}為等差數(shù)列，所以

又當(dāng)n≥2時(shí)，

故a5＝9k，b6＝23k，所以

(1)利用了等差數(shù)列求和中的中間項(xiàng)的性質(zhì)求解，而(2)則依據(jù)兩個(gè)等差數(shù)列前n 項(xiàng)的比例式及等差數(shù)列前n 項(xiàng)和公式的特征，將Sn與Tn“還原”，繼而求出兩個(gè)數(shù)列中有關(guān)的項(xiàng)，最終求出比值，這是解決這類(lèi)問(wèn)題的通法.

從以上探究可以看出，對(duì)于等差數(shù)列求和公式的應(yīng)用，我們應(yīng)該抓住三個(gè)特征：一是公式具有二次函數(shù)特征，且常數(shù)項(xiàng)為0；二是數(shù)列是等差數(shù)列；三是等差數(shù)列的中間項(xiàng)就是前n 項(xiàng)的平均值.