高中數(shù)學(xué)概率教學(xué)試題探究
———以2019年文科和理科全國卷為例

◇ 山東 李衍利

隨著科技的不斷發(fā)展，教育也得到了豐富和發(fā)展，同時(shí)也被賦予了不一樣的內(nèi)涵，各個(gè)學(xué)校開始注重建設(shè)新的課程體系，越來越多的高中注重和大學(xué)知識(shí)的銜接.數(shù)學(xué)是很多學(xué)科的基礎(chǔ)，高中數(shù)學(xué)會(huì)涉及概率知識(shí)，可以認(rèn)為高中數(shù)學(xué)的概率知識(shí)是大學(xué)數(shù)學(xué)概率和統(tǒng)計(jì)知識(shí)的基礎(chǔ).筆者認(rèn)為概率知識(shí)可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)意識(shí)，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)能動(dòng)性，同時(shí)可以充分體現(xiàn)當(dāng)代數(shù)學(xué)的有效性以及應(yīng)用性.

1 注重概念教學(xué)，豐富課堂的教學(xué)內(nèi)容

概率統(tǒng)計(jì)相關(guān)的知識(shí)與實(shí)際生活息息相關(guān)，能夠讓學(xué)生進(jìn)行全方位的思考，教師在教學(xué)的過程中要鼓勵(lì)學(xué)生積極參與到課堂教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的意識(shí)，提高學(xué)生的思維能力.概率教學(xué)并不僅僅是為了讓學(xué)生不斷學(xué)習(xí)、不斷總結(jié)，進(jìn)行題海戰(zhàn)術(shù)，而是要讓學(xué)生掌握統(tǒng)計(jì)思想以及統(tǒng)計(jì)的解題方式，并且讓學(xué)生能夠把課堂上學(xué)到的概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)用于日常生活中，真正地學(xué)以致用.也就是說，教師要優(yōu)化課堂的教學(xué)步驟，提升學(xué)生的理解能力，有效地分析教材上的題型，加強(qiáng)學(xué)生的記憶以及理解，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.另外教師還要把教材里抽象的概率概念具體化、形象化，提高學(xué)生對概率知識(shí)的理解程度，讓學(xué)生能夠運(yùn)用自己的思維去思考.

例1(2019 年全國卷Ⅰ)我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6 個(gè)爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“— —”，圖1就是一重卦.在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽爻的概率是( ).

圖1

分析本題主要考查利用計(jì)數(shù)原理與排列組合計(jì)算古典概型問題，既滲透了傳統(tǒng)文化又體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算這一核心素養(yǎng).“重卦”中每一個(gè)爻有2種情況，該重卦恰有3個(gè)陽爻是相同元素的排列問題，利用直接法即可求解.

詳解由題知，每一個(gè)爻有2種情況，一重卦的6個(gè)爻有26種情況，其中6爻中恰有3個(gè)陽爻情況有，所以該重卦恰有3 個(gè)陽爻的概率為故選A.

本題是利用排列組合知識(shí)計(jì)算古典概型，求解時(shí)首先要分析元素是否可重復(fù)，其次要分析是排列問題還是組合問題.

2 認(rèn)真設(shè)計(jì)教學(xué)方案，提升課堂的教學(xué)效果

概率統(tǒng)計(jì)知識(shí)的教學(xué)內(nèi)容以及研究的對象不確定性很強(qiáng)，容易讓學(xué)生出現(xiàn)思維混亂以及解題錯(cuò)誤的情況，所以教師在教學(xué)的過程中要把教材上傳統(tǒng)的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行充分研究和分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)靈活地思考和分析問題，以應(yīng)對復(fù)雜多變的概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容.對于概率的定義，教師要利用實(shí)際事例給學(xué)生分析，讓學(xué)生掌握其中的規(guī)律.概率指的是可以進(jìn)行重復(fù)性實(shí)驗(yàn)的狀況下，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率大小.在教學(xué)的過程中，學(xué)生如果沒有認(rèn)真研究，那么這個(gè)知識(shí)點(diǎn)并不容易被理解，所以教師要把教材上的概念轉(zhuǎn)變成自己的語言，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考，并結(jié)合例題給學(xué)生進(jìn)行詳細(xì)的分析.

例2(2019年全國卷Ⅰ)甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行籃球決賽，采取七場四勝制(當(dāng)某隊(duì)贏得四場勝利時(shí)，該隊(duì)獲勝，決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績，甲隊(duì)的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊(duì)主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨(dú)立，則甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是.

分析本題應(yīng)注意分情況討論，即前5場甲隊(duì)獲勝的2種情況，需用獨(dú)立事件概率的計(jì)算公式求解.題目有一定的難度，注重對基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力及分類討論思想的考查.

詳解前4場中有1場客場輸，第5場贏時(shí)，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是

前4場中有1場主場輸，第5場贏時(shí)，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是

綜上所述，甲隊(duì)以4∶1獲勝的概率是0.108＋0.072＝0.18.

本題題干較長，解題的關(guān)鍵點(diǎn)主要包括3個(gè)，其一是能否靜心讀題，正確理解題意；其二是思維的全面性，要考慮甲隊(duì)以4∶1獲勝的2種情況；其三是能否準(zhǔn)確計(jì)算.

3 結(jié)合具體案例教學(xué)，提升解決問題的能力

概率知識(shí)對于學(xué)生來說有些難懂，部分知識(shí)點(diǎn)容易存在盲區(qū)，所以教師在教學(xué)的過程中要給學(xué)生正確講解其中的定義，不要讓學(xué)生出現(xiàn)思維上的偏差.在教學(xué)的過程中，教師要根據(jù)學(xué)生的具體情況設(shè)定合理的教學(xué)目標(biāo).教材中并沒有對概率進(jìn)行詳細(xì)的描述，所以教師要根據(jù)概率統(tǒng)計(jì)的特點(diǎn)，結(jié)合自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的能動(dòng)性，讓學(xué)生了解概率的定義以及相應(yīng)的公式，這樣才能夠給學(xué)生打好基礎(chǔ)，提高學(xué)生解題的效率.在教學(xué)的過程中，教師不能盲目選擇教學(xué)的素材，要有理有據(jù)，素材的選擇不在多而在精，要能夠幫助學(xué)生有效思考，提升學(xué)生的想象能力.

例如，有一個(gè)自來水公司為了能夠讓居民養(yǎng)成節(jié)約用水的好習(xí)慣，試運(yùn)行了用水的定額管理辦法，居民每個(gè)月用水的標(biāo)準(zhǔn)都沒有超出一定的標(biāo)準(zhǔn)，就按平價(jià)收費(fèi)，超出的部分就按議價(jià)收費(fèi).在保證居民日常生活的情況之下，應(yīng)怎樣來制定這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)?

在這個(gè)問題中，教師可以讓學(xué)生進(jìn)行討論.學(xué)生需要知道居民的用水情況，表現(xiàn)在數(shù)學(xué)里面就是要知道頻率分布，進(jìn)而就要知道怎樣去畫概率分布直方圖，以及直方圖的特點(diǎn)是什么.

經(jīng)過討論，學(xué)生認(rèn)為要利用抽樣調(diào)查這種方式收集樣本數(shù)據(jù)，來對居民的用水量分布情況進(jìn)行估計(jì)，根據(jù)這一情況來制定收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)比較合理.通常學(xué)生會(huì)用直方圖來反映頻率的分布，繪制直方圖的步驟包括求這組數(shù)據(jù)的極差，然后確定組數(shù)和組距，把數(shù)據(jù)分別列出，畫出頻率的分布表，最后畫出直方圖.頻率分布直方圖有自己的特征，在直方圖上能夠一目了然地得到數(shù)據(jù)的總體趨勢，但是在直方圖上看不到原始的數(shù)據(jù).另外，設(shè)定數(shù)據(jù)的不同，單位不一樣，得到的形狀以及圖象也會(huì)有所區(qū)別，這樣會(huì)影響判斷，所以要認(rèn)真觀察.

例3(2019年全國卷Ⅰ)某商場為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對該商場服務(wù)給出滿意或不滿意的評價(jià)，得到列聯(lián)表，如表1.

表1

(1)分別估計(jì)男、女顧客對該商場服務(wù)滿意的概率；

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異?

附

表2

分析本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，第(1)問比較簡單，就是一個(gè)常規(guī)的概率問題.但是第(2)問涉及獨(dú)立性檢驗(yàn)，學(xué)生要確定兩個(gè)分類變量之間的關(guān)系，按照所學(xué)的知識(shí)去一步一步推理，這個(gè)問題對學(xué)生來說不難.

詳解(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，男顧客中對該商場服務(wù)滿意的比率為因此男顧客對該商場服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8.

由于4.762＞3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對該商場服務(wù)的評價(jià)有差異.

這道題題目內(nèi)容比較少，題目中已經(jīng)給出公式，我們只需要代入數(shù)據(jù)就可以算出K2，再結(jié)合給出的臨界值表作出判斷，這道題就很容易地解決了.

總而言之，在概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)的過程中，教師要站在學(xué)生的角度思考問題，根據(jù)學(xué)生的具體情況去設(shè)置合理的教學(xué)目標(biāo)，利用實(shí)際生活和生產(chǎn)中的案例引導(dǎo)學(xué)生理解相關(guān)概念，不斷豐富課堂的內(nèi)容，提升課堂教學(xué)的質(zhì)量，激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).