小波基最優(yōu)化在齒輪箱振動信號中的應用分析

張 奧，姜 宏，章翔峰

（新疆大學機械工程學院，新疆 烏魯木齊 830047）

1 引言

旋轉機械是工業(yè)上應用較為廣泛的一些機械設備，其中齒輪傳動是機械設備中最常見的傳動方式之一。隨著科學技術的發(fā)展，針對齒輪的診斷方法已經(jīng)取得了豐碩的研究成果，其中具有豐富小波基的小波變換（Wavelet Transform，WT）是一種非常經(jīng)典的時頻局部化分析方法，它不僅非常適用于非平穩(wěn)的齒輪信號，而且能有效提高齒輪振動信號的信噪比及頻率特征的識別，所以小波變換從發(fā)展至今在故障診斷領域中一直受到廣大研究學者的青睞[1-2]。

傳統(tǒng)小波變換方案對普通信號進行除噪可以較完整的保存有用信號中的頻率分量，且能夠實現(xiàn)對象信號的多尺度細化分析[3]，將信號聚焦到所需要的特征信號上，對該信號中的細節(jié)信息進行檢測，并實現(xiàn)故障齒輪的準確判定。但因用于小波變換的小波基種類多樣，且各小波基表現(xiàn)的特性有所不同，對于振動信號復雜的齒輪箱，其運行狀態(tài)信息基本蘊含在低頻信號[4]（即去噪后的齒輪箱信號）中，而表征齒輪箱故障狀態(tài)的細節(jié)信息則蘊含于高頻信號。因此，針對復雜的齒輪系統(tǒng)選擇最優(yōu)小波基更好的獲取振動特征信號[5]就顯得尤為重要。

在研究過程中通過選取適用處理齒輪振動信號的小波基，采用對復雜齒輪箱振動信號有良好降噪效果的Stein 無偏似然估計閾值[6]，利用小波變換將分解后的信號重構出高頻和低頻部分，采用均方根差作為除噪效果的評價標準對小波基進行優(yōu)化，并利用該小波基進行低頻信號的降噪和高頻信號細節(jié)特征分析，經(jīng)實驗驗證，最優(yōu)小波基不僅提高了齒輪箱低頻信號的信噪比及表征其運行狀態(tài)頻率的準確率，同時也對高頻信號細節(jié)特征提取效果的提高具有明顯的優(yōu)勢，有效提高了對齒輪箱故障的診斷能力。

2 小波理論及降噪原理

2.1 小波理論[2]

小波變換繼承STFT 對信號進行局部特征分析的特性，并采用隨時間變化可縮放的小波基函數(shù)（Haar 小波、db 系列小波、Morlet 小波、Coiflet 系列小波、Mexican Hat 小波等）窗口，經(jīng)過高頻或低頻濾波對低頻信號進行多層分解，如圖1、圖2 所示（其中A 表示低頻，D 表示高頻）。獲取故障信號的變化趨勢及其變化特征，彌補了STFT 局部信號分辨率低，窗函數(shù)局限性大的問題。

圖1 小波分解原理Fig.1 The Principle of Wavelet Decomposition

圖2 小波分解流程圖Fig.2 Flow Chart of Wavelet Decomposition

對于小波變換，給定一個基本函數(shù)，令：

其中 a，b 均為常數(shù)且 a>0。從式（1）可知，ψa，b（t）是基本函數(shù)ψ（t）先進行平行移動而后伸縮得到的。若a 和b 的值持續(xù)發(fā)生變化，便能得到一族函數(shù) ψa，b（t）。此處將 x（t）定為平方可積的信號，即x（t）∈L2（R），那么x（t）的小波變換定義為：

根據(jù)需求合理調整小波基函數(shù)a，b 參數(shù)值，不僅能有效改善小波變換窗口的自適應性，同時也極大提高了低頻局部頻域和高頻局部時域特征的分辨率。正是這一特性，為齒輪箱振動特征信號的準確識別提供了保障。

2.2 小波降噪原理

若對象信號f（t）經(jīng)過噪聲污染后成為信號S（t），根據(jù)這一變化過程，則該信號的噪聲污染基本模型便能建立成[7]：

式中：σ—噪聲強度；

r（t）—噪聲。

通常情況下，對信號進行除噪過程中，應確保除噪前后的信號的光滑性應該基本保持不變，抑制σr（t）將S（t）恢復到盡可能近似f（t）的狀態(tài)，這也就是我們想要通過小波變換來達到的最佳理想效果。然而由于小波基的選擇不當，往往會嚴重影響除噪后信號的光滑性，最終導致故障特征湮沒于噪聲中無法診斷。為了衡量降噪前后信號的相似程度，評價小波基的選擇是否得當，我們采用了兩個標準：

（1）信號S（i）除噪前后均方根誤差的表達式為：

（2）采用常規(guī)衡量標準，即信號S（i）除噪后的信噪比，其表達式為：

式中：S（i）—原信號；

S′（i）—除噪后的信號。

3 小波基優(yōu)化理論

由于小波基的多樣性在于不同小波基表現(xiàn)出來的特性有所不同，因此，對于不同的分析對象，只有根據(jù)其特性選擇合適的小波基才能獲得所需特征信息。對齒輪振動信號進行小波變換時，需要提高信號的信噪比以及高頻細節(jié)，則具有正交性、對稱性、緊支性和平滑性的小波基就成為首選對象。通過對Haar 小波、db系列小波、sym 小波、Coiflet 小波等常用小波的特性進行對比分析，并考慮了連續(xù)小波變換在信號去噪過程中的冗余變換會增加其結果分析的難度。因此，筆者選用了三種常見的離散小波系列，即：db 小波系列，Sym 小波系列和Coiflet 小波系列。

4 小波基除噪效果的對比分析

通過小波變換對加入σ 強度高斯白噪聲的齒輪箱仿真信號進行處理，并將重構的低頻信號與原信號的均方根誤差以及除噪后信號的信噪比進行對比分析，選取最優(yōu)小波基，其結果，如表1所示。

齒輪箱實際振動信號仿真模型為[8]：

由于信號的信噪比越高，原始信號與去噪后信號的均方根誤差越小，則消噪后的信號越接近原始信號，去噪效果就越好。通過分析圖3 去噪效果曲線，可以觀察出，在采用Stein 無偏似然估計閾值的條件下，coif 5 小波基在小波變換中具有明顯的去噪優(yōu)勢。通過采用coif5 小波基對齒輪箱仿真信號進行小波變換，很大程度上降低了噪聲干擾。

表1 不同小波基的去噪效果對比Tab.1 Comparison of De-Noising Effects of Different Wavelet Bases

表2 變頻器顯示轉速為600r/min 時各轉軸的相關參數(shù)Tab.2 The Relevant Parameters of the Rotating Shaft when the Frequency Converter Shows the Speed in 600r/min

圖3 不同小波基的去噪效果曲線Fig.3 The Denoising Effect Curve of Different Small Wave Bases

5 實驗驗證

采用了北京工業(yè)大學齒輪箱實驗數(shù)據(jù)，其齒輪箱位置，如圖4 所示。其中齒輪箱內由兩對齒輪嚙合構成由低速至高速的二級加速裝置，其中低速軸上的Z1齒數(shù)為80，中間軸上的Z2、的齒數(shù)分別為19、80，高速軸上的Z3齒數(shù)為17，在高速軸上的齒輪設有斷齒故障，傳感器所采集的數(shù)據(jù)為高速軸徑向方向的加速度。采樣頻率為10000Hz，變頻器顯示轉速600r/min，齒輪的故障特征頻率為4.95Hz，其各轉軸相關參數(shù)，如表2 所示。

圖4 試驗臺系統(tǒng)圖Fig.4 System Diagram of Test Platform

采用最優(yōu)小波基coif5 對斷齒齒輪箱振動信號進行小波變換，重構出低頻信號和高頻信號，其中，重構的低頻信號有效降低了齒輪箱噪聲信號，如圖5 所示。未經(jīng)小波去噪處理的齒輪箱振動信號，如圖6（a）所示。頻譜圖中齒輪的故障頻率為6.612Hz，嚙頻一倍頻、二倍頻、三倍頻分別為112.8Hz、225.6Hz、338.4Hz，與實際的轉頻、嚙頻值不相符；而經(jīng)過以coif5 為小波基的小波除噪后的低頻信號的頻譜圖，如圖6（b）中的高速軸的故障頻率為4.985Hz，嚙頻一倍頻、二倍頻、三倍頻分別為 84.59Hz、169.2Hz、253.8 Hz，與實際的轉頻、嚙頻以及嚙頻的倍頻基本符合，不僅使齒輪箱振動信號的信噪比得到顯著提高，也表明低頻信號中蘊含豐富的齒輪振動信號，在小波基coif5 下進行小波變換，能精確表征齒輪箱的運行狀態(tài)信息。

圖5 去噪前后斷齒齒輪箱振動信號時域波形Fig.5 The Waveform of Gear Broken Gearbox Before and After Denoising

圖6 去噪前后齒輪箱振動信號幅值譜Fig.6 The Amplitude Spectrum of Gearbox Before and After Denoising

圖7 齒輪箱高頻振動信號包絡譜Fig.7 High Frequency Envelope Spectruml of Gearbox

齒輪箱在運行過程中，各零部件的特征運動頻率對齒輪振動頻率產(chǎn)生的調制現(xiàn)象，會在齒輪嚙頻和各階固有頻率及其諧波周圍產(chǎn)生邊頻帶，這些邊頻帶中包含著豐富的齒輪狀態(tài)信息[9-10]，可以為齒輪箱故障源的尋找提供依據(jù)。為了更好的獲取這些細節(jié)信息，采用Hilbert 變化對高頻振動信號進行調制處理，對圖7（a）中正常齒輪箱高頻信號包絡譜分析可知，經(jīng)Hilbert 調制后的正常齒輪箱振動信號，其轉頻和嚙頻的倍頻特征清晰明了，且轉頻周邊存在少許4.993Hz 為間隔的邊頻帶，嚙頻倍頻周邊則沒有任何邊頻帶，該頻帶正符合正常的齒輪振動信號特征。而圖7（b）中斷齒高頻振動信號包絡譜，轉頻和嚙頻倍頻不僅幅值有明顯增高，而且在這些特征周邊分布著4.985Hz 間隔的邊頻帶，邊頻帶寬且高，該故障信號細節(jié)特征剛好符合斷齒頻譜邊頻帶特征。

6 結論

通過以上分析結果可知，選取最優(yōu)小波基coif5 進行小波變換，其重構的低頻信號有效提高了齒輪箱振動信號的信噪比及表征運行狀態(tài)的頻率特征的準確率。而重構的高頻信號經(jīng)過Hilbert 調制，能夠清楚地看出齒輪斷齒前后的轉頻及嚙頻的倍頻周邊的邊頻帶的變化，為齒輪箱故障的診斷提供了技術保障。經(jīng)驗證，小波基最優(yōu)化的應用不僅提高了小波變換處理信號的性能，也為其廣泛的工程應用提供了理論依據(jù)。