復(fù)雜曲面五軸加工全局干涉檢測

孫勝博，杜 娟，陳 峙，智紅英

（太原科技大學(xué)機械工程學(xué)院，山西 太原 030024）

1 引言

隨著以互聯(lián)網(wǎng)為核心的第四次工業(yè)革命的蓬勃發(fā)展，人們對工業(yè)產(chǎn)品的性能和外觀提出了越來越高的要求。由于五軸聯(lián)動數(shù)控機床能夠加工復(fù)雜曲面零件，特別是在加工航空發(fā)動機的渦輪葉片、汽車變速箱殼體、船用螺旋槳葉片和手機外殼等方面擁有巨大的優(yōu)勢，因此使用五軸數(shù)控機床進行復(fù)雜曲面加工得到了廣泛應(yīng)用。五軸數(shù)控加工相對于三軸數(shù)控加工擁有更好的靈活性，但是由于被加工復(fù)雜曲面凹凸變化不規(guī)律在曲率變化較大的區(qū)域，在加工過程中很容易出現(xiàn)全局干涉。全局干涉具有巨大的危害性，它可能導(dǎo)致刀具、夾具甚至機床床身的損壞[1-6]，所以對于五軸數(shù)控加工進行全局干涉檢測及刀位修正研究是非常必要的。

文獻[7-8]提出基于層次包圍盒（OBB）的碰撞檢測算法，將刀具用包圍盒進行包裹，工件表面近似為一個八叉樹基于三維投影的分離軸理論進行干涉檢測，該算法較為繁瑣計算量大且選取包圍盒時需要在簡便性和精確性之間進行取舍增加了選擇難度。文獻[9]提出基于自適應(yīng)模擬退火遺傳算法進行全局干涉檢測，尋找自由曲面離散點到刀軸線段的最短距離并判斷是否干涉，同時對干涉點進行相應(yīng)的刀位修正。

針對環(huán)形銑刀五軸數(shù)控加工復(fù)雜曲面的全局干涉檢測問題，首先將被加工參數(shù)曲面沿參數(shù)方向進行網(wǎng)格劃分得到若干離散網(wǎng)格點，然后用六個平面包圍環(huán)形銑刀的圓柱面形成包圍盒，通過平面上指定點與加工曲面離散網(wǎng)格點連線的量與平面法向量的數(shù)量積的正負判斷加工曲面離散網(wǎng)格點是否落在刀具包圍盒內(nèi)。若存在離散點落入刀具包圍盒則進行精確檢測并確定其是否在環(huán)形銑刀的圓柱體內(nèi)，如果離散網(wǎng)格點落入環(huán)形銑刀的圓柱體內(nèi)則存在全局干涉，否則不存在全局干涉；若沒有離散網(wǎng)格點落入包圍盒內(nèi)則不存在全局干涉，則進行下一個刀位點的檢測。

2 五軸數(shù)控加工模型及坐標變換

2.1 五軸數(shù)控加工復(fù)雜曲面建模

基于環(huán)形銑刀五軸數(shù)控加工復(fù)雜曲面的模型，如圖1 所示。Σ為被加工的復(fù)雜曲面且Σ：r=r（u，v），分別以X、Y、Z 為坐標軸建立工件坐標系O-XYZ，CC 點為環(huán)形銑刀與加工曲面Σ的切觸點。采用等參數(shù)法進行五軸加工且環(huán)形銑刀的刀具軌跡沿參數(shù)u方向，其中f 為切觸點處沿參數(shù)u 方向的單位切向量，n 為切觸點CC 處參數(shù)曲面Σ的單位法向量，根據(jù)右手法則得到v=n×f，以切觸點 CC 為坐標原點，以向量 f，v 和 n 所在方向分別為 x，y 和z 軸，建立加工工件的局部坐標系CC-xyz。在圖1 中，取環(huán)形銑刀底圓的中心點CL 作為環(huán)形銑刀的刀位點，并以刀位點CL 為坐標原點建立刀具坐標系CL-xtytzt。其中zt軸沿環(huán)形銑刀的刀軸方向，xt軸的初始方向與x 軸平行，yt軸用右手定則確定。環(huán)形銑刀的位置由刀位點CL 及刀軸的方向向量與工件局部坐標系中和坐標軸相關(guān)的兩個夾角來確定，如圖1 所示。環(huán)形銑刀首先以刀位點CL 為支點繞y 軸旋轉(zhuǎn)得到前傾角λ（0≤λ≤π/2），然后再以切觸點CC 為支點繞z 軸旋轉(zhuǎn)形成擺轉(zhuǎn)角ω（-π/2≤ω≤π/2）。五軸加工中當(dāng)已知環(huán)形銑刀的刀位點、前傾角和擺轉(zhuǎn)角后刀具的位置就可以確定下來。

圖1 環(huán)形銑刀五軸加工曲面模型Fig.1 Surface Model of Five Axis Machined Ring Milling Cutter

2.2 刀具坐標系與工件坐標系的坐標變換

根據(jù)圖1 的環(huán)形銑刀與加工曲面Σ的相對位置關(guān)系可知，由刀具坐標系CL-xtytzt到工件坐標系O-XYZ 的轉(zhuǎn)換過程需要兩步，首先將刀具坐標系CL-xtytzt轉(zhuǎn)換到加工工件局部坐標系CC-xyz，然后再將加工工件局部坐標系CC-xyz 轉(zhuǎn)換為工件坐標系O-XYZ。刀具繞z 軸旋轉(zhuǎn)ω 角后其轉(zhuǎn)換矩陣Rz的表達式為：

刀具繞y 軸旋轉(zhuǎn)λ 角后其轉(zhuǎn)換矩陣Ry的表達式為：

將刀具坐標系CL-xtytzt中的原點CL 平移到與加工工件局部坐標系CC-xyz 中的原點CC 重合，其中，轉(zhuǎn)換矩陣T 的表達式為：

因此，環(huán)形銑刀的刀具坐標系CL-xtytzt中的任意點在加工工件局部坐標系CC-xyz 下的坐標表示為：

加工工件局部坐標系CC-xyz 隨切觸點CC 的位置及環(huán)形銑刀的走刀方向不同，其坐標軸方向不斷變化，其中x 軸方向與f方向重合，f 為切觸點處沿參數(shù)u 方向的單位切向量；z 軸方向與n 方向重合，n 為切觸點CC 處參數(shù)曲面Σ的單位法向量；y 軸方向與v 方向重合，根據(jù)右手法則得到v=n×f，得到v 方向。加工工件局部坐標系CC-xyz 到工件坐標系O-XYZ 的轉(zhuǎn)化矩陣為：

式中：x0，y0，z0—加工工件局部坐標系CC-xyz 下坐標原點CC 在工件坐標系O-XYZ 下的坐標，即加工工件局部坐標系下任一點PL在工件坐標系下的坐標表示PG為：

綜上所述刀具坐標系中的任意點坐標變換到工件坐標系中對應(yīng)點PG坐標表示為：

3 構(gòu)造環(huán)形銑刀的刀具包圍盒

環(huán)形銑刀模型，如圖2 所示。在環(huán)形銑刀的上表面依次取四個點 P1、P2、P3、P4，其中點 P1、P3在刀具坐標系下的投影點在 yt軸上，點P2、P4在刀具坐標系下的投影點在xt軸上，環(huán)形銑刀圓柱上表面中心點為P5，環(huán)形銑刀圓柱面下表面的中心點為P6。此外向量i1、i2、i3、i4分別為點 P1、P2、P3、P4指向環(huán)形銑刀圓柱上表面中心點 P5的方向向量，i5為環(huán)形銑刀圓柱面下表面的中心點P6指向環(huán)形銑刀上表面中心點P5的方向向量，i6為環(huán)形銑刀上表面中心點P5指向環(huán)形銑刀圓柱面下表面的中心點P6的方向向量，將刀具坐標系中的六個點及六個方向向量經(jīng)坐標變換從刀具坐標系CL-xtytzt下變換到工件坐標系O-XYZ，在工件坐標系中對應(yīng)的六個點分別為 P1G、P2G、P3G、P4G、P5G、P6G，六個方向向量分別為 i1G、i2G、i3G、i4G、i5G、i6G。

環(huán)形銑刀的刀具包圍盒，如圖3 所示。其分別以構(gòu)造的六個方向向量i1G、i2G、i3G、i4G、i5G、i6G為平面法向量且分別經(jīng)過點 P1G、P2G、P3G、P4G、P5G、P6G構(gòu)造六個平面分別為π1、π2、π3、π4、π5、π6，這六個平面形成一個封閉的長方體，將環(huán)形銑刀的圓柱面包圍形成環(huán)形銑刀的刀具包圍盒。

圖2 環(huán)形銑刀模型Fig.2 Ring Milling Cutter Model

圖3 環(huán)形銑刀刀具包圍盒Fig.3 Ring Milling Cutte Bounding Box

4 參數(shù)曲面的網(wǎng)格離散

被加工曲面Σ的參數(shù)方程為：r=（u，v），自變量 u，v 為加工參數(shù)曲面Σ的參數(shù)，（u，v）∈D 并且有參數(shù) u∈［0，1］，v∈［0，1］。在被加工參數(shù)曲面Σ上，u曲線和v 曲線構(gòu)成了參數(shù)曲面Σ上的參數(shù)曲線網(wǎng)，其中u 曲線和v 曲線的交點構(gòu)成被加工曲面Σ的離散網(wǎng)格點。將參數(shù)曲面Σ的參數(shù)域D 沿u，v 方向都進行N 等分，則沿著參數(shù)u 和參數(shù)v 方向的步長為Δt=1/N，如圖4 所示。給定參數(shù)域D 中的任一點（ui，vj），都有曲面Σ上的一點r（ui，vj）與之對應(yīng)，如圖4（b）所示。其中（ui，vj）=（u0+iΔt，v0+jΔt），且（u0=0，v0=0），（i=0，1，2，…N；j=0，1，2，…N），對應(yīng)參數(shù)曲面Σ上的點r（ui，vj）=r（u0+iΔt，v0+jΔt）。

圖4 參數(shù)曲面的網(wǎng)格離散Fig.4 Mesh Discretization of Parametric Surfaces

5 全局干涉檢測算法

環(huán)形銑刀的刀具包圍盒的上表面π5與下表面π6截取加工參數(shù)曲面Σ上的曲面區(qū)域為Σ1，如圖5（a）所示。設(shè)Q 為加工曲面Σ的參數(shù)域D 中的任意一網(wǎng)格離散點對應(yīng)加工曲面Σ上的點，且連接P5G與Q 構(gòu)成P5GQ 向量，再連接P6G與Q 構(gòu)成P6GQ向量，則加工曲面Σ上的網(wǎng)格離散點Q 在參數(shù)曲面Σ1上需滿足的條件為：

根據(jù)式（5）確定參數(shù)曲面Σ1對應(yīng)的參數(shù)域為 D1，如圖5（b）所示。設(shè)Q1為參數(shù)域D1中的任意參數(shù)點對應(yīng)參數(shù)曲面Σ1上的曲面點，則Q1在刀具包圍盒中需滿足的條件為：

刀具包圍盒與加工曲面Σ相交截取加工曲面Σ的區(qū)域為Σ2，滿足式（6）的加工曲面Σ上的網(wǎng)格離散點在Σ2中，其對應(yīng)的參數(shù)域為D2，設(shè)Q2為曲面Σ2上的任一點，經(jīng)坐標變換在刀具坐標系下Q2點坐標變?yōu)镼2t（x0，y0，z0），刀具全局干涉發(fā)生條件：

通過式（7）確定刀具與加工曲面Σ發(fā)生全局干涉的區(qū)域Σ3，其對應(yīng)的參數(shù)域為D3。設(shè)Q3為曲面Σ3上的任一網(wǎng)格離散點，且到刀軸線段P5GP6G的距離為d，根據(jù)文獻[9]計算空間點到線段的距離d，則環(huán)形銑刀的最大干涉量Dmax滿足下式：

圖5 刀具包圍盒與參數(shù)曲面Fig.5 Tool Encircling Box and Parametric Surface

6 實例計算及其分析

自建三次NURBS 加工曲面模型，如圖6（a）所示。采用環(huán)形銑刀對工件進行端銑精加工，給定環(huán)形銑刀的刀底圓半徑R1=4mm、切削刃圓角半徑R2=2mm 及刀桿長度h=75mm，給定參數(shù)曲面∑網(wǎng)格劃分的分割段數(shù)N=100，考慮加工效率及局部干涉影響[10]，給定環(huán)形銑刀的初始前傾角λ=15°，擺轉(zhuǎn)角ω=0°，環(huán)形銑刀的刀觸點在參數(shù)曲線r（u，0.1）上，將參數(shù)曲線r（u，0.1）等參數(shù)離散為1000個刀觸點。應(yīng)用VC++6.0 對這里的算法編程求解，進行環(huán)形銑刀全局干涉離線檢測，得到環(huán)形銑刀的最大干涉量曲線圖，如圖6（b）所示。進一步通過仿真軟件Vericut 進行仿真加工，如圖6（c）所示。給定前傾角λ=15°，擺轉(zhuǎn)角ω=0°，進行仿真加工在切觸點Qcc（0.390，0.10）處第一次出現(xiàn)全局干涉且最大干涉量為0.437mm，由圖6（b）可知在u=0.390 處對應(yīng)最大干涉量為0.443mm，誤差在精度要求內(nèi)滿足，證明算法可以精確檢測干涉。

圖6 NURBS 曲面五軸加工干涉檢測Fig.6 Interference Detection of Five Axis Machining of NURBS Surface

7 結(jié)論

針對環(huán)形銑刀五軸數(shù)控加工復(fù)雜曲面的全局干涉檢測問題，首先將加工曲面沿參數(shù)方向進行網(wǎng)格劃分得到若干離散網(wǎng)格點，然后用六個平面包圍環(huán)形銑刀的圓柱面形成包圍盒。對于加工參數(shù)曲面網(wǎng)格離散點通過計算數(shù)量積判斷是否在環(huán)形銑刀的包圍盒內(nèi)，對落入刀具包圍盒的離散點進一步通過網(wǎng)格離散點到刀軸線段的最短距離是否小于刀具半徑判斷是否存在全局干涉。與傳統(tǒng)方法相比這里的算法減少了曲面離散點到刀軸線段距離的計算次數(shù)提高了檢測效率，該方法解決了基于距離的干涉算法效率低的問題，研究成果有廣泛的實際應(yīng)用前景。