齒面微觀幾何形貌對齒輪嚙合振動影響的研究

申傳鵬，阿達(dá)依·謝爾亞孜旦，王曉崗

（新疆大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，新疆 烏魯木齊 830047）

1 引言

良好的振動特性是評價齒輪傳動性能的重要指標(biāo)，因此，國內(nèi)外相關(guān)學(xué)者結(jié)合機(jī)械振動學(xué)、非線性振動與隨機(jī)振動理論、小波振動建模與識別以及振動主動控制等領(lǐng)域取得的研究成果[1-4]，改善了齒輪傳動的振動性能[5-6]。但值得關(guān)注的是，這些研究并未涉及到加工方法對齒輪嚙合振動性能的影響。相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，與剃齒齒面相比，經(jīng)電化學(xué)光整加工處理后的齒輪的嚙合噪音平均降低了7.8 分貝[7]。這表明，加工方法影響齒輪傳動的嚙合噪音。由于嚙合噪音的降低實(shí)際上反映了齒輪嚙合振動特性的改善，因此，加工方法影響齒輪嚙合的振動特性。

實(shí)際上，受材料物理特性以及加工工藝系統(tǒng)等的影響，輪齒齒面的表面微觀幾何形貌呈不平狀，且加工方法不同，齒面微觀幾何形貌也存在顯著差異。由于齒面微觀幾何形貌受嚙合過程中外載荷的作用而產(chǎn)生彈、塑性變形，并以應(yīng)變能的形式存儲和耗散外部激勵能，具有明顯的阻尼特性，因此，齒面微觀幾何形貌的差異，從一側(cè)面反映了齒輪接觸阻尼特性的差異，也就是說，齒面微觀幾何形貌影響齒面接觸的阻尼特性。

雖然許多學(xué)者從齒輪嚙合剛度及其嚙合阻尼等方面對齒輪傳動的振動特性進(jìn)行了相關(guān)研究[8-10]，但是這些研究基本上建立在齒面絕對光滑的假設(shè)基礎(chǔ)上，且以剛度的周期時變性及齒輪傳動時產(chǎn)生的潤滑油膜阻尼為主要研究內(nèi)容，并未涉及到齒面微觀幾何形貌產(chǎn)生的阻尼特性對齒輪嚙合振動性能的影響。因此，就齒面微觀幾何形貌對齒輪嚙合振動性能的影響展開研究。

盡管齒面微觀幾何形貌的形狀、大小及分布具有隨機(jī)性，但基于分形幾何的分析表明，齒面微觀幾何形貌具有統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性和自仿射性[11]，因此，借助分形幾何理論建立齒面微觀幾何形貌與阻尼特性之間的相互關(guān)系，探討齒面微觀幾何形貌對齒輪振動特性的影響，以便揭示表面微觀幾何形貌對齒輪嚙合振動特性的影響，為減振齒面主動控制加工方法的選擇提供理論與技術(shù)參考。

2 基于齒面微觀幾何形貌的法向接觸阻尼近似數(shù)學(xué)模型

較之于理想光滑齒面，真實(shí)齒面的嚙合接觸面積小于理想光滑齒面的嚙合接觸面積，如圖1（a）所示。為研究方便，將真實(shí)齒面間的接觸體等效為曲率半徑為R 的微凸體之間的接觸。受法向外載荷作用，忽略潤滑及切向力的影響，各微凸體之間的接觸符合Herz 接觸假設(shè)。等效后的微凸體Herz 接觸模型，如圖1（b）所示。

圖1 粗糙齒面及微凸體接觸模型Fig.1 Contact Model of the Rough Surface and Asperity

考慮到齒面接觸微凸體產(chǎn)生彈塑性應(yīng)變時的儲能、耗能機(jī)理，根據(jù)文獻(xiàn)[12]，法向接觸阻尼Cn與法向接觸剛度Kn滿足如下函數(shù)關(guān)系：

式中：η—阻尼耗能因子；

M—基體質(zhì)量。

依據(jù)Herz 積分公式，可推導(dǎo)出作用在任一接觸微凸體的法向剛度ki與微凸體接觸面積ai的函數(shù)關(guān)系：

式中：E—彈性模量；μ—材料泊松比；αi—任一微凸體接觸面與嚙合平面夾角；ai—任一微凸體接觸面積。

基于分形幾何理論，真實(shí)表面上的微凸體的接觸面積分布與分形維數(shù)存在函數(shù)關(guān)系[13]：

式中：n（a）—微凸體接觸面積分布函數(shù)；amax—最大微凸體接觸面積；a—任一微凸體接觸面積；D—分形維數(shù)。

根據(jù)圖1（a）分析可知，作用在實(shí)際接觸面上的法向總載荷Fn由同時參與接觸的各微凸體共同承擔(dān)，依據(jù)各微凸體在垂直于嚙合平面上的變形協(xié)調(diào)條件，各微凸體在垂直于嚙合平面方向上的接觸剛度成并聯(lián)關(guān)系，故沿Fn方向的法向接觸總剛度為各接觸微凸體沿Fn方向上的接觸剛度總和。

為便于計(jì)算與分析，假設(shè)各微凸體的接觸法線方向皆垂直于嚙合平面，即αi=90°，則基于真實(shí)接觸面的齒輪法向嚙合總剛度Kn可表示為：

式中：ac—臨界接觸面積。

式（4）中的臨界接觸面積ac可由下式計(jì)算[14]：

式中：λ=H/ey，h=ey/E；H—較軟材料的硬度；ey—屈服強(qiáng)度；E—彈性模量。

由此可推得法向接觸總剛度Kn為：

結(jié)合式（1），并無量鋼化后得到基于表面微觀幾何形貌的法向嚙合阻尼的近似數(shù)學(xué)模型，即：

由式（7）可知，法向接觸阻尼與分形維數(shù)和特征尺度有著密切的關(guān)系。

3 實(shí)測表面分形參數(shù)的計(jì)算

表面微觀幾何形貌因選擇的加工方法不同而存在顯著差異。以磨削加工和電化學(xué)光整加工為例，其加工后的表面微觀形貌明顯不同，如圖2 所示。兩表面微觀幾何輪廓也因此具有明顯不同的幾何特征，如圖3 所示。其中，輪廓測量點(diǎn)間隔為0.125μm，取樣長度為4mm。

圖2 實(shí)測表面三維形貌Fig.2 Three-Dimensional Topography of the Measured Surface

圖3 實(shí)測表面微觀幾何輪廓Fig.3 Microscopic Geometric Profile of the Measured Surface

基于對圖3 所示表面微觀幾何輪廓的相關(guān)數(shù)據(jù)及其方差計(jì)算，結(jié)合FFT 變換后的功率譜獲得了表征兩種加工方法的表面微觀幾何輪廓的分形參數(shù)，如表1 所示。

表1 表面微觀幾何輪廓的分形參數(shù)Tab.1 Fractal Parameters of Microscopic Geometric Profile of the Measured Surface

由表1 中所示數(shù)據(jù)可知：與磨削加工相比，電化學(xué)光整加工的表面微觀幾何輪廓的特征尺度和分形維數(shù)低。這表明，相對于磨削加工表面，電化學(xué)光整加工的表面微觀幾何輪廓幅值低，且表面微觀幾何形貌的復(fù)雜程度降低，也就是說，表面微凸體的幾何形狀趨同性得到了提高。

根據(jù)圖3 所示兩輪廓的離散點(diǎn)數(shù)據(jù)計(jì)算獲得兩表面微觀幾何輪廓的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如表2 所示。

表2 表面微觀幾何輪廓統(tǒng)計(jì)計(jì)算結(jié)果Tab.2 Statistical Results of Microscopic Geometric Profile of the Measured Surface

對表2 中數(shù)據(jù)的分析表明，相對于磨削加工的表面，在齒輪嚙合時，電化學(xué)光整加工的表面會有更多的微凸體參與齒面接觸，使實(shí)際接觸面積增加。

利用表1 中所示的分形參數(shù)，結(jié)合式（7），并設(shè)定 η＝3×10-4，另取λ＝0.1，h＝2，μ＝0.3。則可得到由兩種加工方法獲得的表面的無量綱法向接觸阻尼隨接觸面積的變化規(guī)律，如圖4 所示。由圖4 可知，無論是磨削加工還是電化學(xué)光整加工，隨著實(shí)際接觸面積的增加，接觸法向阻尼均得到提高；相對于磨削加工的表面，在接觸面積相同時，電化學(xué)光整加工的表面獲得的法向接觸阻尼更高。這是因?yàn)殡娀瘜W(xué)光整加工使得更多的齒面微凸體參與輪齒嚙合，儲能、耗能顯著，阻尼特征更加明顯。這表明：表面微觀幾何形貌影響齒輪齒面的嚙合阻尼特性，不同加工方法獲得的齒面，其嚙合阻尼特性有差異，并影響齒輪的嚙合振動特性。

圖4 兩種表面的法向接觸阻尼隨接觸面積的變化規(guī)律Fig.4 The Variation of the Normal Contact Damping Coefficient of the Two Surfaces with the Contact Area

4 基于阻尼特性的齒輪傳動響應(yīng)的分析

4.1 齒輪傳動響應(yīng)幅值的數(shù)值計(jì)算

以單扭轉(zhuǎn)自由度的單級直齒圓柱齒輪傳動為例。假設(shè)其處于理想嚙合狀態(tài)下，不考慮嚙合誤差及嚙合間隙等因素的影響，則其滿足動力學(xué)方程：

式中：m—齒輪基體質(zhì)量；c—法向嚙合阻尼；k—法向嚙合剛度；F—法向嚙合力；F0—嚙合力均值；ω0—輪齒嚙合頻率；Fn—n次法向載荷諧波幅值；Ψn—n 次法向載荷諧波相角。

結(jié)合式（8），系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)可表示為：

式中：X0—響應(yīng)諧波均值；

Xn—n 次響應(yīng)諧波幅值；

φn—n 次響應(yīng)諧波相角。

輪齒所受慣性力mω2Xn，阻尼力cωXn及彈性恢復(fù)力kXn滿足的向量關(guān)系，如圖5 所示。

圖5 任一微凸體受力閉環(huán)矢量圖Fig.5 Closed Loop Vector Diagram of the Force on the Asperity

結(jié)合圖5，計(jì)算后可得系統(tǒng)的受迫振動響應(yīng)：

圖6 響應(yīng)幅值隨阻尼系數(shù)的變化規(guī)律Fig.6 The Variation of the Response Amplitude with the Damping Coefficient

4.2 齒輪傳動響應(yīng)幅值的仿真分析

在UG 環(huán)境下建立單級圓柱直齒輪副嚙合的三維參數(shù)化模型，模型基本參數(shù)，如表3 所示。將模型及與之配合的Ansys 環(huán)境下生成的柔性箱體導(dǎo)入Adams 環(huán)境中建立其剛?cè)狁詈咸摂M樣機(jī)模型，如圖7 所示。在正對從動齒質(zhì)心的箱體上表面布置測點(diǎn)，給定主動齒和從動齒的約束及運(yùn)動條件，采用基于Impact 碰撞函數(shù)的接觸算法定義齒輪嚙合的運(yùn)算條件，碰撞接觸參數(shù)，如表4 所示。主動齒輪施加轉(zhuǎn)速1200r/min，從動齒輪施加轉(zhuǎn)矩5000N·mm，仿真時間設(shè)定為0.5s，仿真步數(shù)為5000，獲得測點(diǎn)處最大響應(yīng)幅值的仿真結(jié)果，如圖8 所示。

表3 模型參數(shù)Tab.3 Parameters of the Model

圖7 齒輪減速箱剛?cè)狁詈咸摂M樣機(jī)模型Fig.7 Rigid-Flexible Coupling Virtual Prototype Model for Gear Reducer

表4 Impact 接觸算法參數(shù)Tab.4 Parameters of the Impact Contact Algorithm

圖8 不同法向接觸阻尼值下響應(yīng)幅值的變化Fig.8 The Variation of the Response Amplitude with Different Normal Contact Damping

對圖8 的分析表明，增大齒面法向接觸阻尼，有助于減小齒輪嚙合振動，使振動趨于平穩(wěn)。仿真結(jié)果與根據(jù)式（10）所得數(shù)值計(jì)算結(jié)果所呈現(xiàn)出的振動響應(yīng)幅值隨法向接觸阻尼的變化規(guī)律一致。綜上所述，對磨削加工的齒面進(jìn)行電化學(xué)光整加工后處理不失為一種減小齒輪嚙合振動的行之有效的方法。齒面經(jīng)電化學(xué)光整加工后可有效提高輪齒法向嚙合阻尼，減小齒輪嚙合振動。這與文獻(xiàn)[6]的相關(guān)實(shí)驗(yàn)結(jié)果一致。

5 結(jié)論

（1）齒面微觀幾何形貌影響齒輪嚙合的振動特性，選擇合理的加工方法有助于減小齒輪的嚙合振動。（2）齒面法向接觸阻尼影響齒輪傳動振動特性，增大齒面法向接觸阻尼有助于減小齒輪嚙合振動，改善其振動性能。（3）不同加工方法得到的表面微觀幾何形貌在微觀結(jié)構(gòu)上存在較大差異，表現(xiàn)在其具有明顯不同的分形維數(shù)和特征尺度。（4）與磨削加工相比，電化學(xué)光整加工可降低表面微觀幾何形貌的分形維數(shù)，提高表面微觀幾何形貌的趨同性。