求解高維復(fù)雜函數(shù)的混合蛙跳–灰狼優(yōu)化算法

黃晨晨,魏 霞,黃德啟,葉家豪

(新疆大學(xué)電氣工程學(xué)院,新疆烏魯木齊 830047)

1 引言

在實(shí)際的工程問題中高維復(fù)雜函數(shù)問題的優(yōu)化一直以來都是十分重要的問題,諸如大型電子系統(tǒng)設(shè)計(jì)、大量資源的調(diào)度、大規(guī)模路由器網(wǎng)絡(luò)、化學(xué)動力學(xué)、大規(guī)模車間調(diào)度問題[1]、熱連軋[2]和冷連軋厚度負(fù)荷分配等科學(xué)和工程問題都可以用高維復(fù)雜函數(shù)表示,有效地求解高維復(fù)雜函數(shù)具有很重要的研究價值.高維復(fù)雜函數(shù)多數(shù)情況下指的是函數(shù)維度超過100維,具有非線性、高復(fù)雜度的特點(diǎn),隨著維數(shù)的增加,函數(shù)的復(fù)雜度會呈指數(shù)級的速度增長,因此求解具有很大的困難性.目前針對于求解高維復(fù)雜函數(shù)的優(yōu)化問題,徐東方等人[3]提出一種關(guān)于多種群子空間學(xué)習(xí)粒子群算法(particle swarm optimization,PSO),通過多種群的進(jìn)化來提高PSO算法收斂的速度.Omidvar等人[4]提出了一種自動分解的策略對大規(guī)模優(yōu)化問題進(jìn)行求解,有效地對分解了問題降低求解的復(fù)雜性.胡成玉等人[5]提出了一種基于非靜態(tài)的維度交叉改進(jìn)PSO算法的策略解決在求解高維復(fù)雜函數(shù)時易陷入早熟的問題.田瑾[6]通過對量子粒子群優(yōu)化(quantum particle swarm optimization,QPSO)算法的進(jìn)一步改進(jìn),大大提高了PSO收斂精度以及收斂的速度.于萬霞等人[7]利用遺傳算法(genetic algorithm,GA)和PSO算法相結(jié)合,提出了關(guān)于主從結(jié)構(gòu)的算法,很好地提高了在求解過程中的全局探索能力以及局部優(yōu)化的能力.以上改進(jìn)算法在全局收斂性和求解精度方面有了進(jìn)一步地提高但是由于算法本身搜索機(jī)制的局限,對于一些高維復(fù)雜函數(shù)的求解精度還是有一定的局限性.

灰狼優(yōu)化算法(grey wolf optimizer,GWO)是一種在2014年被Mirjalili等人[8]提出的模擬灰狼群體中的捕食行為、社會等級機(jī)制的元啟發(fā)式群體智能優(yōu)化算法,GWO算法有簡單地模型結(jié)構(gòu)、控制參數(shù)少,算法收斂速度快、尋優(yōu)性能良好的特點(diǎn),但是也有著易陷入收斂早熟、迭代后期收斂慢和求解精度低的缺點(diǎn).GWO算法被提出以來有很多的研究人員對其進(jìn)行改進(jìn),利用佳點(diǎn)集策略[9]、混沌序列策略[10]生成初始種群,控制參數(shù)的非線性調(diào)整[11]等.顧清華等人[12]提出了一種混合了遺傳算法和灰狼優(yōu)化算法的策略,提高了算法的收斂精度.龍文等人[13]提出一種利用光學(xué)透鏡成像原理的反向?qū)W習(xí)策略來解決GWO算法在迭代是易陷入局部最優(yōu)的問題.滕志軍等人[14]提出一種基于Tent映射的混合灰狼優(yōu)化算法,引入PSO算法中將個體自身經(jīng)歷過最優(yōu)值與種群最優(yōu)值相結(jié)合的思想來更新灰狼個體的位置信息,解決算法在求解過程中魯棒性差的問題,提高了算法的收斂速度.姜天華[15]通過引入改進(jìn)收斂因子非線性調(diào)整策略以及帶權(quán)重系數(shù)的個體位置更新方法,加入局部搜索算法,用于加強(qiáng)局部搜索能力.龍文、蔡紹洪等人[16]提出一種基于混沌和精英反向?qū)W習(xí)的混合灰狼優(yōu)化算法以解決高維優(yōu)化問題提高算法在求解過程中收斂速度慢和收斂精度低的問題.MING Z F等人[17]通過引入變異算子和淘汰重組機(jī)制來改進(jìn)GWO算法提高了算法的搜索速度以及收斂精度.雖然GWO算法雖然有了許多的改進(jìn),但是在求解高維復(fù)雜函數(shù)的問題上,灰狼算法的應(yīng)用還是不多.隨著函數(shù)的維度增加,高維問題的復(fù)雜性和求解的困難也會增加很大,高維函數(shù)的求解精度也會有所下降.為了解決在求解高維復(fù)雜函數(shù)中遇到的問題,本文采用Logistic映射[18]產(chǎn)生初始化灰狼種群保持種群的多樣性;通過調(diào)整距離控制參數(shù)a為非線性遞減來改變GWO算法的探索和開發(fā)能力;引入隨機(jī)蛙跳算法[19]的最差位置改變式控制灰狼算法跳出局部最優(yōu).

2 基本灰狼算法

在灰狼種群中,α狼的位置代表了最優(yōu)位置對應(yīng)著求解問題的最優(yōu)解,β狼的位置代表了第2優(yōu)位置對應(yīng)著求解問題的次優(yōu)解,δ狼的位置表示第3優(yōu)位置對應(yīng)著第3優(yōu)解,ω狼的位置則對應(yīng)著解空間中的剩余候選解.在圍捕獵物的過程中,ω狼通過跟隨α,β,δ狼的位置逐步更新自己的位置,這也是求解最優(yōu)解的過程.假設(shè)當(dāng)灰狼種群規(guī)模為N,解集空間為D維,那么有的更新式如下:

其中:獵物的位置表示為Xp,為第i只灰狼當(dāng)前的位置,t為到目前為止的迭代次數(shù),A表示收斂因子控制灰狼個體趨向或者遠(yuǎn)離當(dāng)前獵物,C表示模擬灰狼在圍捕獵物的過程中所受到的自然界的阻礙作用.

同時A,C的計(jì)算式如下:

其中:A的值是區(qū)間[?2a,2a]之間的值,A隨著a的變化而變化,而C的值則為區(qū)間[0,2]間的隨機(jī)值,r1與r2是[0,1]間的隨機(jī)數(shù),a從2開始線性遞減到0.值得注意的,當(dāng)|A|>1表示灰狼離開當(dāng)前獵物去尋找更有希望的獵物,即更有希望的最優(yōu)解;當(dāng)|A|<1表示灰狼個體開始攻擊當(dāng)前的獵物,即開始移動到當(dāng)前解.C >1或C <1表示隨機(jī)加強(qiáng)或減弱獵物距離的作用.其中,灰狼種群中的其他灰狼個體Xi通過α,β,δ狼的當(dāng)前位置Xα,Xβ,Xδ來改變自身的位置,改變式(6)和式(7):

3 混合蛙跳–灰狼優(yōu)化算法

3.1 混沌系統(tǒng)初始化種群方法

為了使初始種群中的個體更好地遍及整個的解空間以及提高混合蛙跳–灰狼優(yōu)化算法(shuffled frog leaping–grey wolf optimizer,SFL–GWO)的求解高維復(fù)雜函數(shù)問題時的搜索效率.本文采用改進(jìn)的Logistic混沌映射來進(jìn)行種群的初始化,改進(jìn)的Logistic混沌映射可以擴(kuò)大控制參數(shù)選擇區(qū)域;使映射區(qū)域近似于滿映射狀態(tài);產(chǎn)生的混沌系統(tǒng)有良好的均勻分布的特點(diǎn),克服了Logistic映射[20]的存在無窮不動點(diǎn)、穩(wěn)定窗與空白區(qū)問題、不易實(shí)現(xiàn)滿映射的狀態(tài)的局限性,改進(jìn)后的Logistic混沌映射保留了標(biāo)準(zhǔn)Logistic映射的復(fù)雜的動力學(xué)特性,改進(jìn)后的Logistic混沌映射具有較好的隨機(jī)性、規(guī)律性和遍歷性.其數(shù)學(xué)模型為

μ為系統(tǒng)的參數(shù),0<μ<1.通過驗(yàn)證本文設(shè)置初始值x00.001,μ∈[0,4].

3.2 距離控制參數(shù)的改進(jìn)

由式(3)可以看出,|A|>1,|A|<1直接影響了算法的探索與開發(fā)能力,而系數(shù)|A|的變化受距離控制參數(shù)a的影響.但是由式(5)可知a是從2線性遞減到0的.在迭代前期,較大的距離控制參數(shù)a值可以使得算法具有較大搜索步長,提高探索能力較強(qiáng),避免算法出現(xiàn)早熟收斂的情況;在迭代后期,較小的距離控制參數(shù)a值使得群體集中在某個區(qū)域內(nèi)展開搜索,提高算法的開發(fā)能力,加快算法的收斂速度.然而,在高維復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化問題中,由于算法搜索過程極為復(fù)雜,控制參數(shù)a線性遞減策略很難滿足搜索的實(shí)際情況.因此,本文提出的SFL–GWO算法改進(jìn)了原來的線性遞減的距離控制參數(shù)為非線性遞減,改進(jìn)的距離控制參數(shù)式(9):

其中:距離控制參數(shù)的初始值ainitial2,最終的距離控制參數(shù)為afinal0,a是從2到0非線性遞減的.

為了驗(yàn)證本文提出的距離控制參數(shù)的有效性,將提出的距離控制參數(shù)以及文獻(xiàn)[21,22]中的改進(jìn)策略進(jìn)行非線性的對比.其中a1,a2,a3,a4,a5分別表示有

為了更加直觀的看出改進(jìn)后的效果,本文對5種距離控制參數(shù)進(jìn)行對比仿真實(shí)驗(yàn)如圖1.可以看出,本文提出的新的非線性距離控制參數(shù),在算法搜索前期具有較大的值來增強(qiáng)算法探索的能力,在算法搜索后期具有較小的距離控制參數(shù)來實(shí)現(xiàn)對某個區(qū)域的開發(fā).綜上,新提出的非線性距離控制參數(shù)可以更加高效地來平衡局部搜索以及全局搜索的能力.

圖1 距離控制參數(shù)對比曲線Fig.1 Comparison curves of distance control parameter

3.3 改進(jìn)SFLA最差位置改變策略

GWO算法在位置的迭代更新的過程中只考慮了每個灰狼個體位置信息和最優(yōu)、次優(yōu)以及第3優(yōu)的位置信息,以及實(shí)現(xiàn)灰狼個體和種群間的信息交流,但是沒有考慮如果陷入局部最優(yōu)后如何跳出局部最優(yōu)的策略,因此,引入混合蛙跳最差位置改變的策略來改進(jìn)灰狼種群的位置更新信息.

隨機(jī)蛙跳算法(shuffled frog leaping algorithm,SFLA)在2003年被Eusuff等人[19]提出的,經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)SFLA算法具有結(jié)構(gòu)簡單、設(shè)置參數(shù)少、魯棒性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)從而被廣泛的應(yīng)用在水資源網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化問題、成品油管網(wǎng)優(yōu)化問題等工程領(lǐng)域.

引入一種改進(jìn)的SFLA算法[23]中的最差蛙的位置改變策略可以有效地防止GWO算法陷入早熟收斂的問題.首先,計(jì)算灰狼個體位置對應(yīng)的適應(yīng)度值,將最差適應(yīng)度值所對應(yīng)的灰狼的位置按照式(15)調(diào)整獲得新的灰狼位置,表達(dá)式如下:

其中:rand(·)為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù),Xα為α的位置,Xγ為最差適應(yīng)度對應(yīng)的γ的位置.

通過加入改變概率Pm0.05,在每次迭代的過程中對比迭代時設(shè)置的隨機(jī)數(shù)r3rand()和的值來判斷是否需要根據(jù)改進(jìn)隨機(jī)蛙跳算法(improved shuffled frog leaping algorithm,ISFLA)算法的最差位置改變式(15)來讓SFL–GWO算法中的最差灰狼個體改變自身的位置跳出當(dāng)前的解去尋找更合Pm適的解.當(dāng)r3

4 算法流程

綜上所述,本文提出的SFL–GWO算法的基本流程如下:

步驟1設(shè)置算法參數(shù):種群數(shù)量規(guī)模N50,最大迭代次數(shù)Titeration1000,距離控制參數(shù)初值ainitial2、終值afinal0,最差位置改變概率Pm0.05.

步驟2利用Logistic混沌映射初始化產(chǎn)生灰狼種群{f(Xi),i1,2,···,N},并記錄當(dāng)前的最優(yōu)個體α、第2優(yōu)個體β和第3優(yōu)個體δ,并新定義一個灰狼個體記錄當(dāng)前迭代次數(shù)中的最差個體γ,其對應(yīng)位置Xα,Xβ,Xδ和Xγ.

步驟3算法迭代,根據(jù)式(3)–(4)(9)計(jì)算距離控制參數(shù)a以及參數(shù)A,C;同時按照概率Pm隨機(jī)選擇個體按照式(15)跳出局部最優(yōu)位置;計(jì)算灰狼種群的適應(yīng)度值{f(Xi),i1,2,···,N},更新最優(yōu)個體α狼、第2優(yōu)個體β狼和第3優(yōu)個體δ狼以及最差個體γ狼,其對應(yīng)位置Xα,Xβ,Xδ和Xγ.

步驟4當(dāng)灰狼種群找到最優(yōu)值或迭代達(dá)到迭代最大次數(shù)后算法結(jié)束,并記錄當(dāng)前搜索到的最優(yōu)值.

5 仿真實(shí)驗(yàn)及數(shù)據(jù)分析

5.1 測試函數(shù)

為了驗(yàn)證SFL–GWO 算法的尋優(yōu)性能效果,選取了GWO算法[8]中提到的13個測試函數(shù)(30維)對比測試GWO、混合遺傳灰狼算法(hybrid genetic grey wolf algorithm,HGGWO)以及SFL–GWO的尋優(yōu)性能,以驗(yàn)證改進(jìn)后的算法的有效性.此外,為了更好地驗(yàn)證改進(jìn)后的算法對求解高維復(fù)雜函數(shù)的能力,選取10個高維測試函數(shù)對PSO、鯨魚優(yōu)化算法(whales optimization algorithm,WOA)、GWO和SFL–GWO進(jìn)行尋優(yōu)測試;同時為了更加全面的證明SFL–GWO算法的收斂精度高,將SFL–GWO算法與8種改進(jìn)算法進(jìn)行尋優(yōu)性能的比較分析.其中,選擇的標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)見表1.

表1 10個測試函數(shù)Table 1 10 test functions

5.2 仿真結(jié)果及分析

5.2.1 混沌系統(tǒng)初始化種群仿真分析

采用改進(jìn)的Logistic混沌映射對GWO算法的種群進(jìn)行初始化可以有效地提高GWO算法的種群多樣性、搜索效率以及避免算法陷入局部最優(yōu).如圖2表示了在測試函數(shù)為30 維時,分別對單峰函數(shù)f4,f6,多峰函數(shù)f7,f10尋優(yōu)的結(jié)果.

圖2 加入改進(jìn)的Logistic混沌映射的尋優(yōu)結(jié)果Fig.2 Optimization results of an improved Logistic chaotic map are added

通過圖2可以看出,在單獨(dú)加入改進(jìn)的Logistic混沌映射可以提高GWO算法的尋優(yōu)效果,通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證單獨(dú)加入改進(jìn)的Logistic混沌映射可以找到Zakharov函數(shù)的最優(yōu)值0,對于Quartic函數(shù)所找到的最優(yōu)值為7.31E?06,在Rastrigin函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果上也可以找到最優(yōu)值0,在對于函數(shù)Penalized 1的尋優(yōu)結(jié)果也是可以達(dá)到函數(shù)的收斂精度.再通過對其他的測試函數(shù)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證,可以發(fā)現(xiàn)對于部分測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果并不是很理想.最后可以得出結(jié)論,單獨(dú)地加入改進(jìn)的Logistic混沌映射可以找到部分測試函數(shù)的最優(yōu)值,但對于部分多峰函數(shù)不能夠完全的使算法跳出局部最優(yōu).

5.2.2 距離控制參數(shù)a的仿真分析

為了驗(yàn)證改進(jìn)的距離控制參數(shù)a的有效性,分別用a1,a2,a3,a4,a5來代替原來的距離控制參數(shù),改變了距離參數(shù)后的算法分別為SFL–GWO,GWO,GWOe,cosGWO 和squareGWO,為了更加直觀的驗(yàn)證改進(jìn)的距離參數(shù)的有效性,如圖3給出了在測試函數(shù)為30維的情況下,分別對單峰函數(shù)f4,f6,多峰函數(shù)f7,f10尋優(yōu)曲線圖.

通過圖3分析可知,改進(jìn)的距離控制參數(shù)對于測試函數(shù)可以在一定程度上提高算法的探索與開發(fā)的能力,但是依舊存在著無法跳出局部最優(yōu)的情況,對于單峰函數(shù)Zakharov和Quartic來說,算法可以提高搜索速度以及搜索精度但是效果并不明顯;對于多峰函數(shù)Rastrigin和Penalized 1來說,改進(jìn)的距離控制參數(shù)可以適當(dāng)提高搜索速度但是還是很容易陷入局部最優(yōu)的問題.

圖3 不同的距離參數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果Fig.3 Optimization results of different distance parameters

5.2.3 加入混合蛙跳算法的仿真分析

通過加入改進(jìn)的Logistic混沌映射初始化算法種群、改變控制參數(shù)a可以找到表1中的部分測試函數(shù)的最優(yōu)值,對于剩余的測試函數(shù)還是無法找到最優(yōu)值.通過分析可以知道,對于無法找到最優(yōu)值的測試函數(shù),算法在迭代過程中較容易陷入局部最優(yōu)并且無法跳出局部最優(yōu),所以通過加入混合蛙跳算法的最差位置改變公式可以使算法在陷入局部最優(yōu)值時跳出局部最優(yōu),從而避免了算法因陷入局部最優(yōu)無法跳出的問題.圖4給出了在測試函數(shù)為30維的情況下,分別對單峰函數(shù)f4,f6,多峰函數(shù)f7,f10尋優(yōu)的結(jié)果.

由圖4可知,加入混合蛙跳的最差位置改變公式,可以使算法跳出局部最優(yōu),圖4中Zakharov函數(shù)的適應(yīng)度曲線表示的尋優(yōu)結(jié)果為3.68E?28,Quartic函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果為2.20E?06,Rastrigin函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果為0,Penalized 1函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果為1.97E?02.尤其是多峰函數(shù)Penalized 1在陷入局部最優(yōu)值后對比GWO算法的尋優(yōu)結(jié)果,SFL–GWO算法可以有效地跳出局部最優(yōu),然后可以去找更加合適的最優(yōu)值,仿真結(jié)果表示了加入混合蛙跳的最差位置改變公式,可克服算法在迭代過程中陷入局部最優(yōu)的問題.

圖4 加入混合蛙跳算法的尋優(yōu)結(jié)果Fig.4 Optimization results of shuffled frog leaping algorithm added

綜上,通過對3個部分的單獨(dú)改進(jìn)可以看出每部分的改進(jìn)對算法都有一定的提高,但是單獨(dú)改進(jìn)對于部分測試函數(shù)無法找到最優(yōu)值,但是對于多數(shù)測試函數(shù)基本可以滿足收斂精度的要求,最后將對算法的3個部分的改進(jìn)同時加入到算法中,可以有效地提高算法的尋優(yōu)性能以及收斂速度.

5.3 不同的算法實(shí)驗(yàn)分析

5.3.1 GWO,HGGWO和SFL–GWO算法仿真實(shí)驗(yàn)分析

表2中所示,算法GWO,HGGWO和HFL–GWO在13個30維的函數(shù)上進(jìn)行測試后的結(jié)果對比.HGGWO算法的尋優(yōu)結(jié)果由文獻(xiàn)[12]中得到.通過分析可知,在1000次的迭代過程中,改進(jìn)的算法在全部13個測試函數(shù)上都取得了比GWO、HGGWO更好的尋優(yōu)結(jié)果,對于總共13個測試函數(shù)的收斂精度都大大提高了,尤其是對于f1,f3,f5,f8,f10,f11,SFL–GWO算法的搜索結(jié)果更是可以都收斂到最優(yōu)值0上.仿真實(shí)驗(yàn)可以證明SFL–GWO在求解復(fù)雜問題上具有較好的性能指標(biāo).

5.3.2 PSO,WOA,GWO和SFL–GWO算法仿真實(shí)驗(yàn)分析

在表3中記錄了PSO,WOA,GWO和SFL–GWO這4種尋優(yōu)算法在測試高維復(fù)雜函數(shù)后的平均值、標(biāo)準(zhǔn)差.選取PSO,WOA和GWO主要是因?yàn)镻SO算法是優(yōu)化領(lǐng)域的一種比較有效地求解方法;WOA算法[25]在求解高維復(fù)雜函數(shù)的過程中有一定的優(yōu)勢;選用標(biāo)準(zhǔn)GWO算法對比SFL–GWO算法改進(jìn)前的尋優(yōu)性能,在100維、500維、1000維的情況下,通過對表1的10個函數(shù)進(jìn)行30次獨(dú)立的運(yùn)行,并計(jì)算PSO,WOA,GWO及SFL–GWO在30次運(yùn)行測試后平均值、標(biāo)準(zhǔn)差.

通過分析可知,對于10個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)的運(yùn)行結(jié)果分析,改進(jìn)的算法的收斂精度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于PSO,WOA和GWO這3種算法.其中:在表3中函數(shù)的維度為100時獨(dú)立尋優(yōu)運(yùn)行的測試中,SFL–GWO對于函數(shù)f1,f4,f5,f7,f9可以收斂到最優(yōu)值0;在表1中的函數(shù)維度為500維時,SFL–GWO算法對函數(shù)f1,f2,f4,f5,f7,f9的測試結(jié)果都收斂到最優(yōu)值0,f3收斂到最優(yōu)值?418.9892;當(dāng)表3中的函數(shù)維度達(dá)到500維時,SFL–GWO算法依舊對函數(shù)f1,f4,f5,f7,f9的測試結(jié)果還是都可以收斂到最優(yōu)值0,f3收斂到最優(yōu)值?418.9892.最后,當(dāng)表3中的函數(shù)維數(shù)不斷增加到1000維,SFL–GWO算法尋優(yōu)結(jié)果發(fā)生微小的改變,但是收斂精度不但依舊可以滿足表1中的要求,并且對于其中的函數(shù)f1,f4,f5,f7,f9依舊可以收斂到最優(yōu)值0,f3收斂到最優(yōu)值?418.9892.由表3分析可知,SFL–GWO算法在尋優(yōu)過程中的優(yōu)勢是遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于算法PSO,WOA和GWO的尋優(yōu)優(yōu)勢的.

表2 GWO算法、HGGWO算法以及SFL–GWO算法對13個標(biāo)準(zhǔn)函數(shù)的結(jié)果對比Table 2 Comparison of results of 13 standard functions by algorithms GWO,HGGWO and SFL–GWO

表3 PSO,WOA,GWO和SFL–GWO算法對10個測試函數(shù)在不同維度的尋優(yōu)結(jié)果比較Table 3 Comparison of optimization results of 10 test functions in different dimensions by PSO,WOA,GWO and SFL–GWO algorithms

總體來說,表3的函數(shù)在100維、500維和1000維時,SFL–GWO 算法表現(xiàn)出了比PSO,WOA,GWO更好的尋優(yōu)能力,進(jìn)一步地證明了SFL–GWO對求解困難問題的高效性.

為了更加直觀地觀察到4種算法收斂的能力,選取單峰函數(shù)f1,f2,f6,f7以及多峰函數(shù)f8,f9,f10在1000維的情況下尋優(yōu)過程中的適應(yīng)度變化曲線進(jìn)行對比.適應(yīng)度變化曲線如圖5所示.

圖5 PSO,WOA,SFL–GWO及GWO這4種算法的尋優(yōu)曲線對比Fig.5 Optimization curve comparison of PSO,WOA,SFL–GWO and GWO

通過對圖5中的7個函數(shù)的尋優(yōu)曲線圖可以很直觀的看出在SFL–GWO在求解高維復(fù)雜函數(shù)時,可以在提高收斂速度的同時找到最優(yōu)值或者求解精度可以滿足表1中對函數(shù)的收斂精度的要求,對比于PSO,WOA,GWO算法可以明顯看出SFL–GWO算法的有效性.

5.4 算法改進(jìn)策略的分析

SFL–GWO算法采用了3種的改進(jìn)策略來提高算法的收斂精度和收斂速度,為了驗(yàn)證改進(jìn)策略的有效性,分別對單獨(dú)加入某一個策略的算法與GWO算進(jìn)行對比分析;當(dāng)單獨(dú)加入改進(jìn)Logistic映射的策略在測試函數(shù)上可以找到部分函數(shù)的最優(yōu)值,但是還是有一些函數(shù)無法找到最優(yōu)值;當(dāng)單獨(dú)加入改變距離控制參數(shù)的策略對所有的測試函數(shù)的尋優(yōu)性能都有提升但是提升效果不是很大;最后,單獨(dú)加入混合蛙跳最差位置改變公式策略也可以有效的提升了尋優(yōu)性能.所以3種改進(jìn)策略都可以提升算法的尋優(yōu)性能,但是還是存在部分的不足.

最終,將3種改進(jìn)的策略同時加入到GWO算法中,通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證分析可以得到結(jié)論,SFL–GWO算法在選取的測試函數(shù)的尋優(yōu)結(jié)果上都有很大的優(yōu)勢,隨著維度的增大,尋優(yōu)性能并不會有很大的變化.最終可以證明,SFL–GWO算法在求解高維復(fù)雜函數(shù)上有一定的可靠性.

5.5 算法時間復(fù)雜度分析

通過表4分析可得,在對1000維的10個測試函數(shù)分別進(jìn)行30次獨(dú)立運(yùn)行并記錄平均運(yùn)行時間的結(jié)果分析可以知道,SFL–GWO算法在運(yùn)行時間上得到了很大地提升,對于多數(shù)的單峰以及多峰測試函數(shù),SFL–GWO算法都能很短的時間內(nèi)找到最優(yōu)值.綜上可知,SFL–GWO算法在提高算法尋優(yōu)精度的同時也提高了算法收斂的時間.但是在對測試函數(shù)低維的情況下的運(yùn)行時間分析,GWO算法的運(yùn)行時間要少于SFL–GWO算法運(yùn)行時間.所以,SFL–GWO算法只適合求解高維復(fù)雜函數(shù)問題但不太適用于低維函數(shù)問題的求解.

5.6 與其他算法仿真對比分析

為了進(jìn)一步地驗(yàn)證SFL–GWO算法的有效性,選取文獻(xiàn)[26]中的8種改進(jìn)算法進(jìn)行尋優(yōu)結(jié)果的對比及分析.8種算法分別是:綜合學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化算法(comprehensive learning particle swarm optimizer,CLPSO)、正交學(xué)習(xí)粒子群優(yōu)化算法(orthogonal learning particle swarm optimization,OLPSO)、分級粒子群優(yōu)化算法(hierarchical particle swarm optimizer,HPSO)、具有全局?jǐn)?shù)值優(yōu)化策略自適應(yīng)的差分進(jìn)化算法(differential evolution algorithm with strategy adaptation for global numerical optimization,Sa-DE)、自適應(yīng)差分進(jìn)化算法(adaptive differential evolution,JADE)、自適應(yīng)控制參數(shù)的差分進(jìn)化算法(selfadapting control parameters in differential evolution,jDE)、受全局最優(yōu)解指導(dǎo)的人工蜂群算法(gbest-guided artificial bee colony algorithm,GABC)和改進(jìn)的人工蜂群算法(improved artificial bee colony algorithm,CABC).從表1的函數(shù)中選取單峰函數(shù)f1,f2,f4,f6,f7以及多峰函數(shù)f8,f9,f10,在30維的情況下對算法尋優(yōu)結(jié)果進(jìn)行分析,8種改進(jìn)算法的尋優(yōu)結(jié)果均來自于文獻(xiàn)[26].

由表5中可以看出,SFL–GWO算法的尋優(yōu)性能不僅只是比一些標(biāo)準(zhǔn)的優(yōu)化算法更好.在對比其他的改進(jìn)算法也能體現(xiàn)出很好的尋優(yōu)性能.對于測試函數(shù)f1,f4,f7,f9都可以達(dá)到最優(yōu)值0;對于尋優(yōu)不能達(dá)到最優(yōu)值的函數(shù)也能得到比其他算法要更好的結(jié)果.綜上,可以證明SFL–GWO算法在求解高維復(fù)雜函數(shù)的有效性.

表4 時間復(fù)雜度Table 4 Time complexity

表5 8種改進(jìn)算法與改進(jìn)的算法的尋優(yōu)結(jié)果對比Table 5 Comparison of optimization results of 8 improved algorithms and improved algorithms

6 結(jié)論

本文研究了求解高維復(fù)雜函數(shù)的問題.通過使用Logistic映射初始化灰狼種群,改變線性減小的距離控制參數(shù)為非線性來提高算法的探索與開發(fā)能力,最后按照設(shè)置的改變概率選擇ISFLA算法的最差位置改變機(jī)制使算法跳出局部最優(yōu)值.通過10個高維復(fù)雜函數(shù)的仿真測試,與PSO,WOA和GWO 3種基本算法的結(jié)果比較,改進(jìn)的算法在收斂精度、收斂速度方面得到了很大的提升,驗(yàn)證了在求解高維函數(shù)時上算法SFL–GWO尋優(yōu)的高效性.最后,通過與10種改進(jìn)算法尋優(yōu)結(jié)果的對比,結(jié)果證明SFL–GWO算法不論是在求解單峰函數(shù)還是多峰函數(shù)上,都表現(xiàn)出比8種改進(jìn)算法更大的求解優(yōu)勢,具有更好的全局收斂性.