拋棄有形的計(jì)算規(guī)律，留下無形的數(shù)學(xué)思想

趙曉

[摘要]下等教法教知識(shí)，中等教法教方法，上等教法教思想，為了學(xué)生的終身發(fā)展，汲取思想方法用來應(yīng)付一切未知的困難，才是智育的根本，教師不但要幫助學(xué)生建立規(guī)律，還要帶學(xué)生破除條框的限制，保留思想方法的精髓。

[關(guān)鍵詞]小學(xué)數(shù)學(xué);規(guī)律;模型;思想;方法

[中圖分類號(hào)]G623.5

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1007-9068（2020）23-0032-02

人教版數(shù)學(xué)教材第十二冊(cè)“數(shù)學(xué)思考”的例1，學(xué)生理解起來難度較大，究其原因，其一是方法隱藏較深，其二是做練習(xí)時(shí)，如果不假思索地照搬本題的規(guī)律，會(huì)導(dǎo)致解答錯(cuò)誤。反思之前的教學(xué)，都是例題總結(jié)規(guī)律，練習(xí)馬上投產(chǎn)應(yīng)用，導(dǎo)致了學(xué)生思維定式。如何沖破思維定式的藩籬，從解題方法向數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)型，汲取有用的思想方法？

一、建立模型，入門從簡(jiǎn)

[片段一]

師：小芳的微信朋友圈里有6名彼此互關(guān)的好友（包括小芳），每?jī)扇嘶ベ澮淮?，一共要贊幾次？如果?名好友呢？點(diǎn)贊是現(xiàn)代非常常見的社交方式，要迅速解決這兩個(gè)問題，可以借助數(shù)學(xué)思想方法。這節(jié)課我們就來專門研究這個(gè)數(shù)學(xué)思想方法一找規(guī)律。

師：如果將一個(gè)微信用戶視為一個(gè)點(diǎn)，那么互贊就是連接兩個(gè)點(diǎn)的一條線段。6名好友互贊幾次，就轉(zhuǎn)化為6個(gè)點(diǎn)兩兩之間可以連接幾條線段。如此一來，生活問題就轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。大家能解決這個(gè)問題嗎？6個(gè)點(diǎn)有點(diǎn)多，減少一些更簡(jiǎn)單。幾個(gè)點(diǎn)最容易？（2個(gè)點(diǎn)）為什么不是1個(gè)點(diǎn)？（一條線段有兩個(gè)端點(diǎn)）3個(gè)點(diǎn)能做出來嗎？（能）4個(gè)點(diǎn)呢？（能）顯然，線段數(shù)會(huì)隨著點(diǎn)數(shù)增加而增加。既然如此，不妨從2個(gè)點(diǎn)開始連線，逐步增多點(diǎn)數(shù)，仔細(xì)研究點(diǎn)數(shù)與連成的線段數(shù)存在什么數(shù)量關(guān)系。

設(shè)計(jì)意圖：通過創(chuàng)設(shè)情境，把微信朋友圈中的互贊問題抽象成數(shù)學(xué)問題，緊扣時(shí)尚元素，有效提升學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！?個(gè)點(diǎn)兩兩連線一共有幾條”的思維難度較大，教學(xué)中教師要降低準(zhǔn)入門檻，從初級(jí)低階開始，逐步提升難度，引領(lǐng)學(xué)生探索其中隱含的規(guī)律。這個(gè)過程還體現(xiàn)了化難為易的數(shù)學(xué)思想。

二、由少到多，由簡(jiǎn)入繁

[片段二]

1.由簡(jiǎn)到繁，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程。

（1）課件演示，做好鋪墊。

師：為了便于探究，不妨使用表格。

師：2個(gè)點(diǎn)連成幾條線段？（學(xué)生回答，教師板書）

師：3個(gè)點(diǎn)呢？

師：點(diǎn)數(shù)增加到4時(shí)，線段增加幾條？是否需要回溯到2個(gè)點(diǎn)的狀態(tài)？請(qǐng)你合理推測(cè)，闡明想法。

師：探明了3個(gè)點(diǎn)的情形，就可以直接在3個(gè)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，深人探究4個(gè)點(diǎn)的狀態(tài)。

師：點(diǎn)數(shù)增至5時(shí)，線段增加多少條？請(qǐng)你繼續(xù)推想，并表明你的觀點(diǎn)。

設(shè)計(jì)意圖：在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時(shí)，教師有意引導(dǎo)學(xué)生利用已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)深入研究，節(jié)省時(shí)間成本，保存精力做后續(xù)攻關(guān)研究。正是從這番經(jīng)歷中，學(xué)生獲得了豐富的活動(dòng)積累。

（2）動(dòng)手操作，合作交流。

師：下一步，自己動(dòng)手嘗試畫出4個(gè)點(diǎn)、5個(gè)點(diǎn)、6個(gè)點(diǎn)的情形。要聽清條件和操作要求，先畫出草圖，然后填表。錄人數(shù)據(jù)時(shí)如有疑惑，可以組內(nèi)交流，也可以參考教材第100頁輔助理解。完成這項(xiàng)任務(wù)后，先獨(dú)立思考下述問題，再組內(nèi)交流看法。

①2個(gè)點(diǎn)起步，增加1個(gè)點(diǎn)，就增加（）條線段;繼續(xù)增加1個(gè)點(diǎn)，則增加（）條線段……

②你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（學(xué)生獨(dú)立研究，教師巡視）

（3）展示匯報(bào)、動(dòng)態(tài)演示，體驗(yàn)連線過程和細(xì)節(jié)。

（4）觀察對(duì)比，歸納增加的線段數(shù)與增加的點(diǎn)數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系。

教師引導(dǎo)學(xué)生觀察表格，啟發(fā)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：2點(diǎn)連成1條線，如果增至3個(gè)點(diǎn)，線段就增加2條;增至4個(gè)點(diǎn)，線段就增加3條;增至5個(gè)點(diǎn)，線段就增加4條;增至6個(gè)點(diǎn)，線段就增加5條。每次增加的線段數(shù)都比當(dāng)時(shí)的點(diǎn)數(shù)少1。

2.進(jìn)一步探究，總結(jié)規(guī)律。

（1）步步為營(yíng)，一一列出計(jì)算線段數(shù)的算式。

師：現(xiàn)在已知6個(gè)點(diǎn)能夠作出15條線段，如何推算出8個(gè)點(diǎn)能夠連出的線段數(shù)？

（學(xué)生用7個(gè)點(diǎn)來過渡，穩(wěn)步推出8個(gè)點(diǎn)的連線數(shù)）

師：還有別的方法嗎？倘若點(diǎn)數(shù)多至一定程度，這樣處理問題是不是很繁復(fù)？如果能找到一個(gè)直接表示點(diǎn)數(shù)和線段數(shù)關(guān)系的萬能公式該多好呀！

（2）觀察算式，總結(jié)規(guī)律。

師：請(qǐng)認(rèn)真觀察上述算式，發(fā)現(xiàn)名堂沒有？

生，：3個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段數(shù)就是從1加到2;4個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段數(shù)就是從1加到3;5個(gè)點(diǎn)時(shí)，線段數(shù)就是從1加到……照這樣推測(cè)，一定點(diǎn)數(shù)時(shí)，線段數(shù)就是從1開始，連續(xù)加到點(diǎn)數(shù)的前一個(gè)數(shù)。

師：你所說的“點(diǎn)數(shù)的前一個(gè)數(shù)”，它的本質(zhì)是什么？

生：從2個(gè)點(diǎn)增至當(dāng)前點(diǎn)數(shù)時(shí)，所增加的線段數(shù)。

（3）概括總結(jié)，運(yùn)用規(guī)律。

師：現(xiàn)在確定，總線段數(shù)實(shí)際，上就是從1連續(xù)加到點(diǎn)數(shù)的前一個(gè)數(shù)，是一個(gè)自然數(shù)列求和。因此，只要確定點(diǎn)數(shù)，從1開始一直加到點(diǎn)數(shù)的前一個(gè)數(shù)，就能求出總線段數(shù)。你們明白了嗎？

師：接下來，我們運(yùn)用這個(gè)方法嘗試計(jì)算8個(gè)點(diǎn)和10個(gè)點(diǎn)時(shí)連成的線段數(shù)，要求列出算式。

師：如果點(diǎn)數(shù)繼續(xù)變多，你還會(huì)算嗎？如果有20個(gè)點(diǎn)呢？如果有100個(gè)點(diǎn)呢？假如用字母n（n是自然數(shù)，且n》2）表示點(diǎn)數(shù)，總線段數(shù)可以用什么代數(shù)式表示？

師：我們把互贊問題轉(zhuǎn)化為二維平面上“若千個(gè)點(diǎn)能夠連接成幾條線段”的數(shù)學(xué)問題來研究，成功建立了數(shù)學(xué)模型，并總結(jié)出計(jì)算方法。大家真棒！在研究中，從初級(jí)入手，逐步探求規(guī)律，這種思想方法稱之為“化難為易”。

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生探索規(guī)律時(shí)攀越了兩個(gè)“高坡”，第一個(gè)是，每增加1個(gè)點(diǎn)，線段數(shù)的增加是有規(guī)律的;第二個(gè)是，總線段數(shù)與點(diǎn)數(shù)之間的關(guān)系。第一個(gè)高坡是第二個(gè)高坡的臺(tái)階，學(xué)生跨越了第一個(gè)高坡.后有所領(lǐng)悟，遇到第二個(gè)高坡時(shí)就能輕松闖關(guān)。同時(shí)，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律后舉一反三，深化了學(xué)生對(duì)規(guī)律的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性。

三、破除束縛，保留思想

[片段三]

師：只要把復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化處理，總結(jié)出普遍規(guī)律就能馬上應(yīng)用?？磥恚y為易的數(shù)學(xué)思想方法用處很大。你認(rèn)為什么最管用？如果忘了片段二總結(jié)出的規(guī)律，可以怎么辦？

設(shè)計(jì)意圖：應(yīng)用化難為易的數(shù)學(xué)思想方法，成功解決了微信朋友圈互贊和幾個(gè)點(diǎn)相互連成線的問題。為了讓學(xué)生更加珍視這一思想方法的巨大價(jià)值，就要破除硬性規(guī)律這個(gè)硬殼。

[片段四]

師：同學(xué)們，有很多問題表面唬人，其實(shí)試著將其簡(jiǎn)單化，問題就可以迎刃而解?？纯凑n本上的練習(xí)題，試一試這種數(shù)學(xué)思想方法能否派上用場(chǎng)。

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生正是由于果斷舍棄了前面現(xiàn)成的規(guī)律，才打破了思維枷鎖，因此能從頭再來，重新出發(fā)來探索新的規(guī)律。這個(gè)練習(xí)不可或缺，有助于學(xué)生從不同的角度反復(fù)感受化難為易的思想?！笆谌艘贼~，不如授人以漁?！蓖ㄟ^不同的題型，一層層揭開數(shù)學(xué)思想方法的神秘面紗，雖然規(guī)律常出常新、變幻莫測(cè)，但是發(fā)現(xiàn)規(guī)律用到的思想是統(tǒng)一的、恒定的。這樣讓學(xué)生更加篤信思想方法的穩(wěn)定性和普適性。在反復(fù)體驗(yàn)中，讓數(shù)學(xué)思想方法入腦入心、落地生根。

教師的責(zé)任是要善于提供滲透數(shù)學(xué)思想方法的問題情境，帶領(lǐng)學(xué)生自主探究，逐步豐富學(xué)生的認(rèn)知體驗(yàn)，然后破除成規(guī)，汲取思想方法，并從不同角度去驗(yàn)證這一思想方法的真理性，思想方法的價(jià)值才得以盡顯，學(xué)生才會(huì)信服，學(xué)生的能力和效率才會(huì)直線上升。

[參考文獻(xiàn)]

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[3]羅小平.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的小學(xué)數(shù)學(xué)案例教學(xué)研究[J].小學(xué)教學(xué)研究，2019（02）.

（責(zé)編 吳美玲）