演繹典型例題 提高解題技能

薛鶯

二元一次方程組是數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，更是中考乃至奧數(shù)的重要考點(diǎn).下面我們一起通過研究幾道奧數(shù)題目來了解二元一次方程組的應(yīng)用.

例1如圖1，13個(gè)邊長(zhǎng)為正整數(shù)的正方形恰好拼成一個(gè)大矩形（其中3個(gè)較小正方形的邊長(zhǎng)分別為x，y，z）.試求滿足上述條件的大矩形的面積的最小值.

解析：已知3個(gè)較小正方形的邊長(zhǎng)分別為x，y，z，則其余正方形的邊長(zhǎng)依次可表示為x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x +y，2x +y+z，4x+4y-z，4x+4y-2z及5x-2y+z.

因?yàn)榇缶匦螌?duì)邊相等，所以1 lx+3y=7x+16y-z，8x+8y-3z=6x+5y+z.化簡(jiǎn)得z=13y-4x，4z=2x+3y.所以18x=49y.

因?yàn)?8與49互質(zhì)，所以x，y的最小自然數(shù)解是x=49，y=18，此時(shí)z=38.所以大矩形的長(zhǎng)、寬分別為593和422.

此時(shí)得大矩形的最小面積是250 246.

點(diǎn)評(píng)：此題要根據(jù)圖形特點(diǎn)結(jié)合矩形和正方形的性質(zhì)解題.

例2進(jìn)入汛期，七（1）班的同學(xué)們到水庫去調(diào)查了解汛情.水庫一共有10個(gè)泄洪閘，現(xiàn)在水庫水位超過安全線，上游的河水仍以不變的速度流入水庫.同學(xué)們經(jīng)過一天的觀察和測(cè)量，做了如下的記錄：上午打開1個(gè)泄洪閘后.2小時(shí)水位上漲了0.52米.下午再打開2個(gè)泄洪閘后.4小時(shí)水位下降了0.08米，水位仍超過安全線1.8米，

如果一共打開5個(gè)泄洪閘，還需幾小時(shí)水位下降到安全線？

設(shè)如果一共打開5個(gè)泄洪閘，還需t小時(shí)水位下降到安全線，由題意得0.4t-5×0. 14t=-1.8.解得t=6.

所以還需6小時(shí)水位下降到安全線.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一定要記住水位下降用負(fù)數(shù)表示，水位上升用正數(shù)表示.

練一練

1.當(dāng)m取-5，-4，-3，-l，O，3，23，124，1 000時(shí)，由等式（2m+1）x+（2-3m）y+1-5m=O可以得到9個(gè)關(guān)于x與y的二元一次方程.這9個(gè)方程有沒有公共解？如果有，求出公共解.

2.如圖2.在3x3的正方形網(wǎng)格中，填寫了一些數(shù)和代數(shù)式（其中每個(gè)代數(shù)式都表示一個(gè)數(shù)），使得每行的3個(gè)數(shù)、每列的3個(gè)數(shù)、斜對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和均相等.求x，y的值，并把此圖補(bǔ)充完整，

參考答案：

1.有公共解x=1，y=-1.

2.略，