“實數(shù)”常見錯解剖析

諸廣平

同學們，“實數(shù)”是相當基礎而又重要的內(nèi)容.這一章有很多概念需要同學們?nèi)プ屑毚?，同學們千萬不要怕麻煩，一旦弄清了，你就會發(fā)現(xiàn)“實數(shù)”其實很簡單.什么是無理數(shù)？實數(shù)是什么？怎么分類？平方根、算術(shù)平方根及立方根怎么理解？近似數(shù)精確到哪一位？這些問題都沒有你想象的那么難.下面請諸老師對一些典型錯誤進行剖析，希望幫同學們更好地掌握知識，為將來的學習打下堅實的基礎.

一、概念模糊不清

例1下列各式計算正確的是（ ）.

A.3⁰=0

B.- |-3| =-3

C.3^-1=-3

D.√9=±3

錯解：選D.

剖析：本題考查了零指數(shù)冪、絕對值、負指數(shù)冪、算術(shù)平方根的概念.任何非零數(shù)的零次冪都等于1.負指數(shù)冪呢？同學們只要記住，它等于正指數(shù)冪的倒數(shù).求數(shù)的絕對值也好，求式的絕對值也好，必須根據(jù)“正數(shù)的絕對值是它本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值是零”來求.平方根的概念必須要這樣去理解：正數(shù)有兩個平方根，它們是一對相反數(shù)，其中正的平方根稱為這個數(shù)的算術(shù)平方根;零的平方根和算術(shù)平方根都是零：負數(shù)沒有平方根.D選項的意思是求9的算術(shù)平方根，因此答案是3.那么D選項應該怎么改呢？

±√9=±3，即9的平方根是+3，或者把3前面的“±”去掉，即9的算術(shù)平方根是3，就對了.

正解：選B.

剖析：把求絕對值、去括號兩步并成一步來進行計算，不犯錯才怪呢，本題第一步要做兩件事：求一個立方根，去一個絕對值符號.至于加減運算，還沒有輪到呢！因此第一步的正確算法應該寫成：原式=-1 -4 √3 -（√3—1）.接下來第二步是去括號，第三步才是加減運算，同學們，這類計算題出現(xiàn)錯誤，絕大部分是運算時跳步驟造成的，我們在計算時，一定要按部就班，一步一個腳印進行.這樣不僅不容易出錯，而且即使出錯了.我們也便于檢查究竟是哪一步出錯了.

四、對數(shù)形關系理解不透

例4在如圖1所示的數(shù)軸上，點C與點B關于點A對稱，C，A兩點表示的實數(shù)分別是√5和1，則點B表示的實數(shù)為___，錯解：1一√5.

剖析：實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應的，也就是說每一個實數(shù)都可以在數(shù)軸上找到一個點和它相對應.要確定這個點表示的實數(shù)，其實和學習有理數(shù)時的方法是一樣的：在原點左側(cè)為負，在原點右側(cè)為正;然后再看這個點與原點的距離（也就是這個數(shù)的絕對值），就能確定這個數(shù)啦.

正解：因為點C與點B關于點A對稱，所以AB=AC=√5一1.即點B在點A左側(cè)（√5—1）個單位長度處，所以點B在原點左側(cè)（√5 -2）個單位長度處，所以點B表示的實數(shù)為2-、/了.

五、對近似數(shù)的精確度以及按精克確度取近似數(shù)認識不到位

例5下列由四舍五入得到的近似數(shù)，各精確到哪一位？

（1） 2.40萬;（2）5.2x10⁴.

錯解：（1）百分位;（2）十分位.

剖析：帶有單位的近似數(shù)或者用科學記數(shù)法表示的近似數(shù)和一般的近似數(shù)不一樣，它究竟精確到哪一位，需要結(jié)合其單位或數(shù)量級來考慮，第1個近似數(shù)，它是精確到“0”這一位，但這個數(shù)位不表示0.01，而是0.01萬，即百位;第2個近似數(shù)，它是精確到“2”這一位，但這個數(shù)位不是表示0.1，而是表示O.lx104.即千位.

正解：（1）百位;（2）千位.

例6用四舍五入法對26 802取近似數(shù)，要求精確到千位.

錯解：27 000.

剖析：千位是“6”所在數(shù)位，對“6”后面的數(shù)進行四舍五人，寫成27顯然是不合理的，但是寫成27 000也不合理，因為這樣一來，就變成精確到個位啦，是不是？為了解決這個問題，我們往往采用科學記數(shù)法來達到目的，

正解：2.7x10⁴.

練一練

1.（-2）²的算術(shù)平方根是（ ）.

A.2

B. 土2

C.-2

D.√2

2.設a=- |-2|，b一（一1），c=3√-27，則a，b，c中最大實數(shù)與最小實數(shù)的差是 .

3.已知某正數(shù)的兩個平方根分別是a+3和2a-15，b的立方根是-2.求-b -a的算術(shù)平方根.

參考答案：

1.A 2.4 3.2.