加強(qiáng)四個(gè)理解,促進(jìn)深度學(xué)習(xí)*
——從四個(gè)理解的角度看“隨機(jī)事件的概率”(第一課時(shí))的教學(xué)

四川大學(xué)附屬中學(xué)(610061) 周祝光 羅文力

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)要求教師從學(xué)科角度理清教科書內(nèi)容的脈絡(luò)及深淺,如內(nèi)容的主旨、結(jié)構(gòu),內(nèi)容的地位作用、產(chǎn)生背景,內(nèi)容的課程標(biāo)準(zhǔn)、深廣度等;從教育角度發(fā)掘教材中的教育因素,如發(fā)掘知識(shí)背后所隱含的思想方法、情感態(tài)度價(jià)值觀等,要做到這一點(diǎn),沒有理解到學(xué)科的意義、價(jià)值是辦不到的.“理解學(xué)生,教在心靈”要求教師從學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)、學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)責(zé)任感、學(xué)習(xí)態(tài)度等方面,對(duì)學(xué)生進(jìn)行學(xué)習(xí)心理分析;從顯性知識(shí)基礎(chǔ)、緘默知識(shí)基礎(chǔ)、學(xué)科能力基礎(chǔ)、歷屆學(xué)生問題等方面,進(jìn)行綜合分析;從課堂時(shí)間、空間、物質(zhì)條件并結(jié)合上述分析,初步擬定探究問題中的學(xué)生活動(dòng)方式,包括學(xué)生的身體活動(dòng)、思維活動(dòng)及其交往活動(dòng)方式.理解教學(xué)要求教師對(duì)探究問題教學(xué)形態(tài)和實(shí)質(zhì)有深刻的理解,對(duì)促進(jìn)學(xué)生深度體驗(yàn)的教學(xué)策略應(yīng)用嫻熟.理解技術(shù)要求教師對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)和傳統(tǒng)的教學(xué)技術(shù)選用意圖清晰.

1 理解數(shù)學(xué)是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的前提

理解數(shù)學(xué)就是要“了解數(shù)學(xué)知識(shí)的背景,準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念、定理、法則、公式等的邏輯意義,深刻領(lǐng)悟內(nèi)容所反映的思想方法,把握知識(shí)之間的多元聯(lián)系,能挖掘數(shù)學(xué)知識(shí)所蘊(yùn)含的科學(xué)方法、理性精神和價(jià)值觀資源和技術(shù),善于區(qū)分核心知識(shí)和非核心知識(shí).”“我們要準(zhǔn)確把握每塊知識(shí)產(chǎn)生的背景,在教材中的地位、前后的聯(lián)系、后續(xù)學(xué)習(xí)的必要性,其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法有哪些,這些數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)其他知識(shí)時(shí)是否可以利用、類比推廣等”.教師很好的理解數(shù)學(xué)是我們教好數(shù)學(xué)的前提,只有理解數(shù)學(xué)才有可能制定準(zhǔn)確的教學(xué)目標(biāo),否則,就有可能制定出不切實(shí)際的教學(xué)目標(biāo),增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān),打擊學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性,當(dāng)然效果也只能事倍功半.教師理解了數(shù)學(xué),才能有效的促進(jìn)學(xué)生體驗(yàn)學(xué)科中和學(xué)科間的知識(shí)與知識(shí)、知識(shí)與思想方法、知識(shí)與現(xiàn)象和問題的關(guān)聯(lián),才能有效的促進(jìn)學(xué)生個(gè)人與社會(huì)、個(gè)人與自然、個(gè)人與自身的關(guān)聯(lián).才能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)往深度發(fā)展.

在自然界與人類的社會(huì)活動(dòng)中會(huì)出現(xiàn)各種各樣的現(xiàn)象,既有確定性現(xiàn)象,又有隨機(jī)現(xiàn)象.隨機(jī)現(xiàn)象在日常生活中隨處可見,概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律的學(xué)科,它為人們認(rèn)識(shí)客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法.

教科書把概率放在統(tǒng)計(jì)之后,體現(xiàn)了先統(tǒng)計(jì)后概率的思想.現(xiàn)代社會(huì)是信息化的社會(huì),人們常常需要收集數(shù)據(jù),根據(jù)所獲得的數(shù)據(jù)提取有價(jià)值的信息,做出合理的決策.統(tǒng)計(jì)是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學(xué)科,它可以為人們制定決策提供依據(jù).近年來,統(tǒng)計(jì)在實(shí)際中得到廣泛的應(yīng)用,用數(shù)據(jù)、圖表等說明問題更有說服力、更直觀、更容易理解.概率為統(tǒng)計(jì)學(xué)的發(fā)展提供了理論基礎(chǔ).

由于概率統(tǒng)計(jì)的應(yīng)用性強(qiáng),有利于培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)和動(dòng)手能力,在數(shù)學(xué)課程中,加強(qiáng)概率統(tǒng)計(jì)的份量成為必然.“課標(biāo)”設(shè)置了“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容,目的就在于發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí),使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)在實(shí)際中的應(yīng)用價(jià)值,同時(shí)更全面地培養(yǎng)學(xué)生解決問題的能力.

2 理解學(xué)生是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

學(xué)生是課堂中的主體,問題的設(shè)計(jì)一定要從學(xué)生的認(rèn)知水平出發(fā),以學(xué)定“問”,充分考慮學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、思維特點(diǎn),立足于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”,用學(xué)生的眼光看數(shù)學(xué),學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上,由淺入深,由感性到理性地設(shè)計(jì)問題,才能真正引導(dǎo)和幫助學(xué)生思考問題、分析問題和解決問題,為此,教師可以從不同角度了解、研究、理解學(xué)生,關(guān)注他們的差異,可通過觀察、訪談、作業(yè)批改等方法來獲取信息,找準(zhǔn)問題設(shè)計(jì)的起點(diǎn)和突破口.教學(xué)必須與學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)相適應(yīng),“學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)”的含義到底是什么?從認(rèn)知心理學(xué)的觀點(diǎn)看,“認(rèn)知基礎(chǔ)”主要是指已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和反映知識(shí)經(jīng)驗(yàn)組織質(zhì)量的認(rèn)知結(jié)構(gòu).也就是說,除“知識(shí)點(diǎn)”外,還包括“知識(shí)點(diǎn)”的組織質(zhì)量,如理解的準(zhǔn)確性、相關(guān)知識(shí)之間聯(lián)系的豐富性和聯(lián)系通道的順暢性等.

在統(tǒng)計(jì)一章中,學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到要研究一些生活中實(shí)際問題,我們經(jīng)常采用收集數(shù)據(jù)的方法,根據(jù)對(duì)這個(gè)樣本的研究去估計(jì)總體的情況,而樣本中所有數(shù)據(jù)的頻數(shù)和樣本容量的比值,就是該組數(shù)據(jù)的頻率.從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律考慮,統(tǒng)計(jì)在概率的前面,教材中增加了大量的統(tǒng)計(jì)案例,學(xué)生學(xué)習(xí)中的實(shí)踐動(dòng)手機(jī)會(huì)大量增加,學(xué)生經(jīng)歷了提出問題、收集數(shù)據(jù)、整理分析數(shù)據(jù),做出推斷與決策的全過程.學(xué)生具有這種思維模式和解決問題的方法.學(xué)生盡管知道一些簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的概率,但對(duì)于大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)時(shí)頻率可作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值這一規(guī)律是模糊的、不清晰的,需要用手實(shí)踐,用眼觀察,用腦思考逐漸明晰.

3 理解教學(xué)是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的關(guān)鍵

理解教學(xué)就是要理解“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過程.有效的數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一,學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主體,教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣,調(diào)動(dòng)學(xué)生積極性,引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考,鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)造性思維;要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣,掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.”學(xué)生獲得知識(shí),可以通過接受學(xué)習(xí),也可以通過自主探索等方式,但必須建立在自己思考的基礎(chǔ)上;學(xué)生應(yīng)用知識(shí)并逐步形成技能,離不開自己的實(shí)踐;學(xué)生在獲得知識(shí)技能的過程中,只有親身參與教師精心設(shè)計(jì)的教學(xué)活動(dòng),才能在知識(shí)與技能、過程與方法和情感態(tài)度價(jià)值觀方面得到發(fā)展.教師的“引導(dǎo)”作用主要體現(xiàn)在:通過恰當(dāng)?shù)膯栴},或者準(zhǔn)確、清晰、富有啟發(fā)性的講授,引導(dǎo)學(xué)生積極思考、求知求真,激發(fā)學(xué)生的好奇心,教師基于學(xué)情的評(píng)價(jià)營(yíng)造激勵(lì)氛圍,提升學(xué)習(xí)動(dòng)力和認(rèn)知?jiǎng)恿?通過恰當(dāng)?shù)臍w納和示范,使學(xué)生理解知識(shí)、掌握技能、積累經(jīng)驗(yàn),教師基于對(duì)學(xué)生解決問題環(huán)節(jié)中活動(dòng)結(jié)果的評(píng)價(jià)生成新知識(shí),活動(dòng)過程的評(píng)價(jià)生成解決問題的新方法,基于對(duì)方法內(nèi)存聯(lián)系的分析評(píng)價(jià)生成學(xué)科思想方法;能關(guān)注學(xué)生的差異,用不同層次的問題或教學(xué)手段,引導(dǎo)每一個(gè)學(xué)生都能積極參與學(xué)習(xí)活動(dòng),都能全身心的 澤在學(xué)習(xí)活動(dòng)中.在數(shù)學(xué)課中,教師的評(píng)價(jià)引導(dǎo)主要體現(xiàn)在認(rèn)知操作任務(wù)進(jìn)行前的方向性評(píng)價(jià)引導(dǎo)、認(rèn)知操作任務(wù)中遇到困難時(shí)的啟發(fā)性評(píng)價(jià)引導(dǎo)和認(rèn)知操作任務(wù)完成后的概括性評(píng)價(jià)引導(dǎo).下面結(jié)合教學(xué)過程的實(shí)施談?wù)劷處煂?duì)教學(xué)理解的深度決定了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、公式、方法、思想體驗(yàn)的深度:

3.1 創(chuàng)設(shè)情境,提出問題

3.1.1 創(chuàng)設(shè)情境,體會(huì)隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性

展示生活實(shí)例(1):“麥蒂的35 秒奇跡”.展示生活實(shí)例(2):杜麗北京奧運(yùn)再奪金.展示生活實(shí)例(3):“石頭、剪刀、布”.從學(xué)生感興趣的生活實(shí)例引入,一方面是為了激發(fā)學(xué)生的聽課熱情,另一方面也是讓學(xué)生體會(huì)學(xué)習(xí)隨機(jī)事件及概率的原因和必要性.抓住生活實(shí)例中包含數(shù)學(xué)思維的部分進(jìn)行提問,引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察、認(rèn)識(shí)我們生活的世界,對(duì)生活中的現(xiàn)象和感性認(rèn)識(shí)進(jìn)行理性思考.(1)為什么在那個(gè)時(shí)刻,所有人都緊張的注視著麥蒂和他投出的籃球?你能確定神奇的麥蒂在即將開始的NBA 比賽中的下一個(gè)三分球投進(jìn)了嗎?(2)為什么射擊比賽中每一槍都如此扣人心弦呢?(3)“石頭、剪刀、布”的游戲方式,能夠預(yù)先確定甲和乙誰(shuí)獲勝嗎?讓學(xué)生從生活體驗(yàn)中歸納共性,其中包含了綜合、概括、比較等分析過程,這是形成概念的有效途徑.因此在這一階段通過創(chuàng)設(shè)情境喚起學(xué)生的興趣,使他們身處現(xiàn)實(shí)情境中,為后續(xù)的思維活動(dòng)建立起感性認(rèn)識(shí)基礎(chǔ).

3.1.2 歸納共性,形成隨機(jī)事件的概念

有了前面的基礎(chǔ),此時(shí)學(xué)生能夠有效的概括、抽取上述生活體驗(yàn)的共性.在數(shù)學(xué)上研究事件時(shí),主要關(guān)注在相應(yīng)的條件下,事件是否發(fā)生,因此提出問題:從結(jié)果能夠預(yù)知的角度看,以上事件的共同點(diǎn)是什么?提問時(shí)明確思考的角度,讓學(xué)生的思維直指概念的本質(zhì),避免不必要的發(fā)散.以上這些事件都是可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.那么在自己的身邊,還能找到此類的事件嗎?有沒有不屬于此類的事件呢?學(xué)生通過以上思考,發(fā)現(xiàn)事件可以分為以下三類:必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件.這樣在形成概念之前,學(xué)生通過主動(dòng)的思考,在自己身邊舉例,這樣鞏固了學(xué)生對(duì)隨機(jī)事件的思維基礎(chǔ);通過對(duì)比,學(xué)生明確事件分類的標(biāo)準(zhǔn)和概念之間的差異.

3.1.3 深入情境,體驗(yàn)隨機(jī)事件的規(guī)律性

教師引導(dǎo)性評(píng)價(jià):我們看到,隨機(jī)事件在生活中是廣泛存在的,時(shí)刻影響著我們的生活.正因?yàn)轶w育比賽中充滿了隨機(jī)事件,而讓比賽更加刺激、精彩,讓觀眾更加緊張投入;因?yàn)槊刻斓男@生活充滿了隨機(jī)事件,而讓我們走入校門的時(shí)候內(nèi)心涌動(dòng)著好奇與興奮;因?yàn)槿松缆飞铣錆M了隨機(jī)事件,而讓我們每個(gè)人的人生各有各的不同,各有各的精彩.我們生活在一個(gè)充滿了隨機(jī)事件的世界當(dāng)中.同時(shí),我們身邊也有一些意外是隨機(jī)事件,那我們是不是因此而時(shí)刻都充滿著恐慌呢?實(shí)現(xiàn)自己的目標(biāo)這也是個(gè)隨機(jī)事件,我們是不是就因此而放棄了今天的努力了呢?

這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)首先要表現(xiàn)隨機(jī)事件帶給人們豐富多彩的生活,體現(xiàn)教師對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)概率的喜愛和熱情,傳遞給學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極態(tài)度.其次,這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)既是對(duì)前面內(nèi)容的總結(jié),也引出了下面研究思考的方向,起到承上啟下的作用,同時(shí)也就揭示了人們認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件的過程,以及隨機(jī)事件隨機(jī)性和規(guī)律性之間的聯(lián)系.第三,要通過反問,使學(xué)生意識(shí)到,生活的不斷體驗(yàn)已經(jīng)使我們積累了一些對(duì)隨機(jī)事件規(guī)律性的感性認(rèn)識(shí),那么接下來就是要挖掘出這些感性認(rèn)識(shí)下面的理性依據(jù),以這種方式激發(fā)學(xué)生對(duì)生活經(jīng)驗(yàn)的反思和探究,同時(shí)幫助學(xué)生形成正確的世界觀.

(1)提出問題,引發(fā)思考:①既然三分球的命中都有隨機(jī)性,為什么不是姚明來投最后這個(gè)三分球?②既然每個(gè)人參加奧運(yùn)會(huì)獲得金牌都是隨機(jī)事件,為什么派杜麗來參加奧運(yùn)會(huì)射擊比賽?③為什么石頭剪刀布對(duì)雙方是公平的?

(2)再次抽取共性,形成抽象概念:

師生從同學(xué)們的回答中,可以體驗(yàn)到,事件發(fā)生的可能性有大小之分,是可以比較的,從而抽象出可以用數(shù)量表示事件發(fā)生的可能性的大小,這就是概率的意義.

(3)用概率的語(yǔ)言回答前面的問題.

3.1.4 從生活經(jīng)驗(yàn)中體驗(yàn)可以用(大量重復(fù))試驗(yàn)的方法來估計(jì)概率

基于初中的學(xué)習(xí),有些學(xué)生具備了用試驗(yàn)頻率來估計(jì)概率的經(jīng)驗(yàn).但對(duì)于“為什么可以這樣做”,缺乏思考,導(dǎo)致在分析問題、分析數(shù)據(jù)時(shí)會(huì)出現(xiàn)偏差.因此從學(xué)生熟悉的命中率入手,首先說明這種方法來源于生活經(jīng)驗(yàn),為接下來的探討做準(zhǔn)備.

“麥蒂投出三分球命中”和“姚明投出三分球命中”都是隨機(jī)事件,并且都難以用理論推導(dǎo)得出準(zhǔn)確的概率,那么生活中“麥蒂投三分球命中的概率高于姚明”的經(jīng)驗(yàn)是如何得到的呢?其實(shí)是用三分球命中率來估計(jì)概率,那么三分球命中率是如何計(jì)算的呢?

本屆奧運(yùn)會(huì)籃球賽場(chǎng)上,在中國(guó)戰(zhàn)勝安哥拉的比賽中,孫悅一共投了2 次三分球,并且都命中了,于是說估計(jì)他三分球命中的概率大致為100%是否科學(xué)?顯然是不科學(xué)的,因?yàn)楦怕蚀笾聻?00%意味著孫悅投三分球基本上都是命中的,這顯然與實(shí)際情況不相符合.分析總結(jié)得到:可以用大量重復(fù)試驗(yàn)的頻率來估計(jì)事件的概率.

提出核心問題:做投針試驗(yàn),分析針與平行線相交頻率與概率的關(guān)系.

3.2 解決問題

教師的評(píng)價(jià)引導(dǎo)方向:層層深入,形成概率的統(tǒng)計(jì)定義

計(jì)算事件的概率、估計(jì)事件的概率是數(shù)學(xué)中很重要的一個(gè)內(nèi)容,對(duì)此,有哪些具體方法呢?

該環(huán)節(jié)的教學(xué)分為3 個(gè)層次:

3.2.1 通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),觀察各組頻率是否體現(xiàn)出規(guī)律性

這一數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的結(jié)論不易直接推導(dǎo),這說明了進(jìn)行試驗(yàn)的必要性,也更大的調(diào)動(dòng)了學(xué)生參與的積極性.學(xué)生的親身體驗(yàn),更有利于概念的形成,以及對(duì)規(guī)律的認(rèn)同.對(duì)于各組頻率統(tǒng)計(jì)表,學(xué)生也可以從中觀察出一定的規(guī)律,但是這一規(guī)律尚不能幫助我們估計(jì)事件發(fā)生的概率,或者說精度不夠.在此處實(shí)現(xiàn)學(xué)生在思考問題時(shí)的一個(gè)沖突,激發(fā)更細(xì)致的分析隨機(jī)事件規(guī)律性的主動(dòng)性.

可以用大量重復(fù)試驗(yàn)的頻率來估計(jì)投三分球命中的概率,那么這種方法是否具有普遍性?方法的理論依據(jù)是什么?下面進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn).

[數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)]在畫有等距平行線的紙上,隨機(jī)的拋擲一枚牙簽,研究牙簽與平行線有交點(diǎn)的概率.

實(shí)驗(yàn)的準(zhǔn)備:現(xiàn)在我們能從理論上推導(dǎo)這個(gè)概率嗎?有什么辦法來估計(jì)呢?在進(jìn)行試驗(yàn)的時(shí)候應(yīng)該注意哪些方面呢?

實(shí)驗(yàn)的要求:學(xué)生兩人一組,進(jìn)行試驗(yàn),每組試驗(yàn)20 次,注意試驗(yàn)的條件要求:豎直隨機(jī)上拋,紙張無褶皺.

實(shí)驗(yàn)結(jié)果的匯總與展示:各組匯報(bào)頻數(shù),輸入到電子表格中,同時(shí)自動(dòng)計(jì)算出各組頻率并繪制出折線圖.

觀察得到的數(shù)據(jù)表格和折線圖,能夠觀察出什么規(guī)律,以幫助我們估計(jì)出事件發(fā)生的概率?

3.2.2 觀察累積數(shù)據(jù)的頻率表和折線圖,形成概率的統(tǒng)計(jì)定義

這一環(huán)節(jié)是本節(jié)內(nèi)容的難點(diǎn),需要把對(duì)數(shù)據(jù)、圖表的直觀印象轉(zhuǎn)化為抽象的概率定義.之所以可以用大量重復(fù)試驗(yàn)的頻率來估計(jì)概率,是因?yàn)樵跀?shù)、圖中累積數(shù)據(jù)的頻率體現(xiàn)出了一定的“穩(wěn)定性”,即規(guī)律性,使得我們能夠從圖表中大致判斷出事件概率的范圍、具體大小.這里首先從多組數(shù)據(jù)中抽取共性來形成概念,其次注重?cái)?shù)與形的相互轉(zhuǎn)化,把圖形上的規(guī)律用數(shù)去描述,把數(shù)據(jù)上的規(guī)律用圖形去驗(yàn)證.在教學(xué)過程中數(shù)表起到了與折線圖相同的作用.最后采取一些具體手段來幫助學(xué)生發(fā)掘、描述規(guī)律,如在折線圖中繪制一條水平的紅線,更為清晰的表現(xiàn)出頻率在常數(shù)附近擺動(dòng)的規(guī)律.

對(duì)于將所有數(shù)據(jù)累加后計(jì)算頻率,來估計(jì)概率的方法,實(shí)際上就出現(xiàn)了累積數(shù)據(jù)的想法.對(duì)比前面對(duì)命中率的研究,其實(shí)累積數(shù)據(jù)就相當(dāng)于大量重復(fù)同一試驗(yàn),與前面的分析具有一致性.

下面就利用電子表格的計(jì)算功能,計(jì)算出累積各組數(shù)據(jù)的頻率并繪制出折線圖,從數(shù)或形兩個(gè)角度觀察累積數(shù)據(jù)的頻率是否體現(xiàn)出規(guī)律性?

此圖表中體現(xiàn)出的規(guī)律性是否具有一般性?

3.2.3 計(jì)算機(jī)投幣模擬實(shí)驗(yàn)

用幾何畫板模擬投硬幣實(shí)驗(yàn)并統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):

圖1

圖2

圖1:用條形統(tǒng)計(jì)圖描述頻率的變化情況.

圖2:由于實(shí)驗(yàn)次數(shù)增加,頻率值也在不停的變化,根據(jù)點(diǎn)的變化描繪出變化的軌跡;

由以上兩個(gè)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)圖分析頻率的變化情況和變化趨勢(shì)

介紹歷史上名家的投硬幣實(shí)驗(yàn):

再對(duì)比拋擲硬幣出現(xiàn)正面的折線圖

以上從數(shù)據(jù)和圖形兩方面印證了前面總結(jié)的規(guī)律性,形成概率的統(tǒng)計(jì)定義:在大量重復(fù)進(jìn)行同一試驗(yàn)時(shí),事件A發(fā)生的頻率總是接近于某個(gè)常數(shù),在它附近擺動(dòng),這時(shí)就把這個(gè)常數(shù)叫做事件的概率,記作P(A).

這個(gè)是整個(gè)課程中最主要的環(huán)節(jié),在這個(gè)環(huán)節(jié)中,設(shè)計(jì)了三個(gè)實(shí)驗(yàn).第一個(gè)是自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn).“沒有實(shí)踐就沒有發(fā)言權(quán)”,學(xué)生能夠從自己的親身經(jīng)歷中理解試驗(yàn)的隨機(jī)性和穩(wěn)定性的概率論思想.第二個(gè)是數(shù)學(xué)軟件模擬試驗(yàn),在這個(gè)試驗(yàn)中,借助于幾何畫板,頻率的波動(dòng)性和穩(wěn)定性能夠更直觀的表現(xiàn)出來.最后是列出歷史上的名家投硬幣試驗(yàn),進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)的不確定性和大量重復(fù)試驗(yàn)下頻率的穩(wěn)定性的理解.三個(gè)試驗(yàn)層層遞進(jìn),環(huán)環(huán)相扣,使得本節(jié)課的主要思想循序漸進(jìn)地體現(xiàn)出來,有事實(shí)為基礎(chǔ),“鐵證如山”,能讓學(xué)生體驗(yàn)到大自然規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和論證過程,可以培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題—分析問題—解決問題的的探究能力.

3.3 反思提升

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧探究過程

3.3.1 概率與頻率的關(guān)系

(1)隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加,頻率會(huì)越來越接近概率;(2)頻率本身是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定;(3)概率是一個(gè)確定的數(shù),是客觀存在的,與每次試驗(yàn)無關(guān);(4)概率是頻率的穩(wěn)定值,而頻率是概率的近似值.

3.3.2 概率與頻率的關(guān)系

思想方法:利用頻率(統(tǒng)計(jì)規(guī)律)估計(jì)概率.

3.4 應(yīng)用反饋

運(yùn)用概念,加深理解.通過對(duì)實(shí)例的歸納和辨析對(duì)新問題的特性形成陳述性的理解,繼而與原有的知識(shí)結(jié)構(gòu)相互聯(lián)系,幫助學(xué)生體會(huì)隨機(jī)事件的隨機(jī)性和規(guī)律性是不矛盾的,是辨證統(tǒng)一的,即隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中體現(xiàn)出隨機(jī)性,在大量重復(fù)試驗(yàn)中體現(xiàn)出規(guī)律性.

問題1:雙色球問題

理論證明雙色球一等獎(jiǎng)中獎(jiǎng)概率約為1/177221088,是指買177221088 張彩票才能中一個(gè)一等獎(jiǎng)嗎?

問題2:醫(yī)生和患者的故事

一個(gè)病人到醫(yī)院看病.醫(yī)生告訴他你這個(gè)病挺嚴(yán)重的,不過幸好你到我這里來了,我對(duì)這個(gè)病的治愈概率有9 成,而且之前有9 個(gè)病人都被我治好了.醫(yī)生還沒說完,這個(gè)病人撒腿就跑,邊跑邊說:“我不治了”!請(qǐng)你幫忙分析下這個(gè)病人誤解在什么地方嗎?

4 理解技術(shù)是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的催化劑

縱所周知:技術(shù)是進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與發(fā)現(xiàn)的“催化劑”——技術(shù)的強(qiáng)大數(shù)值運(yùn)算、代數(shù)推理、統(tǒng)計(jì)分析、動(dòng)態(tài)幾何等功能,使我們能做到“一有想法就試試看”;技術(shù)大大擴(kuò)展了教學(xué)中可作為研究事例的范圍——例如我們可以選擇那些現(xiàn)實(shí)發(fā)生、包含復(fù)雜數(shù)據(jù)的問題作為研究對(duì)象;技術(shù)可以代替手工進(jìn)行冗長(zhǎng)而復(fù)雜的計(jì)算——學(xué)生能將注意力集中在數(shù)學(xué)的概念方面,有更多的時(shí)間用于思考而不是“賣苦力”.數(shù)學(xué)教育技術(shù)不只是數(shù)學(xué)智能工具箱和豐富的課件庫(kù),還包括在數(shù)學(xué)教學(xué)中使用技術(shù)的理論和策略.數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)教育技術(shù)能力表現(xiàn)在面對(duì)不同程度的學(xué)生,處理幾何、代數(shù)、統(tǒng)計(jì)概率等不同內(nèi)容,面對(duì)概念教學(xué)、命題教學(xué)、習(xí)題教學(xué)等不同課型時(shí),能恰當(dāng)借助計(jì)算機(jī)藝術(shù)機(jī)智地創(chuàng)設(shè)有效教學(xué)的能力.教師理解了技術(shù),能夠催生學(xué)生個(gè)人身心與真實(shí)(虛擬)環(huán)境的直接作用,促進(jìn)學(xué)生個(gè)人感覺與個(gè)人情感的深度融合,促進(jìn)學(xué)生產(chǎn)生豐富的、強(qiáng)烈的、深刻的體驗(yàn).

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》中有關(guān)重視技術(shù)運(yùn)用的表述:“信息技術(shù)的發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)教育的價(jià)值、目標(biāo)、內(nèi)容、以及教學(xué)方式產(chǎn)生了很大的影響,數(shù)學(xué)課程的設(shè)計(jì)與實(shí)施應(yīng)根據(jù)實(shí)際情況合理地使用技術(shù),要注意信息技術(shù)與課程內(nèi)容的整合,注意實(shí)效”.

計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)教學(xué)中的使用會(huì)不會(huì)導(dǎo)致學(xué)生計(jì)算和推理能力的下降?數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)是抽象性,使用計(jì)算機(jī)呈現(xiàn)的更多是直觀的圖形,這樣是否會(huì)削弱學(xué)生的抽象思維?其實(shí)這涉及到技術(shù)的有效使用問題:什么時(shí)候用技術(shù)?用什么技術(shù)?怎樣用技術(shù)?如何處理直觀和抽象,如何處理實(shí)驗(yàn)和邏輯,如何處理動(dòng)手和動(dòng)腦、人腦和電腦,這在教材、教參中沒有現(xiàn)成的答案,我們只能探索.

縱然數(shù)字化教學(xué)環(huán)境給數(shù)學(xué)教學(xué)提供了嶄新的舞臺(tái),但是在舞臺(tái)、燈光、布景、音響效果全部都是現(xiàn)代化的前提下,決定戲劇演出效果最主要的依靠應(yīng)該還是劇本的質(zhì)量、導(dǎo)演的水平、演員的表演.因此,決定教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵還在于教師而不是技術(shù).以信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)整合為焦點(diǎn),追求“必要性”“平衡性”“廣泛性”“實(shí)踐性”“有效性”,服務(wù)于數(shù)學(xué)概念、原理的實(shí)質(zhì)理解,做紙筆所不能做的事,應(yīng)成為我們一線教師面對(duì)技術(shù)來襲時(shí)的基本共識(shí).