輸運概率密度函數(shù)中的小尺度標(biāo)量混合建模

任祝寅, 解 青, 楊天威, 周 華

(1. 清華大學(xué) 航空發(fā)動機(jī)研究院, 北京 100084; 2. 清華大學(xué) 航天航空學(xué)院, 北京 100084)

0 引 言

湍流燃燒，特別是貧燃預(yù)混燃燒是當(dāng)前能源和動力裝置實現(xiàn)高效清潔燃燒的一個重要途徑。如通用電氣新一代燃?xì)廨啓C(jī)和航空發(fā)動機(jī)，普遍采用局部預(yù)混或完全預(yù)混燃燒，通過控制火焰溫度實現(xiàn)低NOx排放。燃燒室內(nèi)流動、混合、燃燒等復(fù)雜過程可能引起局部熄火/再燃、燃燒不穩(wěn)定和貧燃吹熄等現(xiàn)象。迄今為止，國內(nèi)外已開展大量針對燃料/空氣混合過程、混合物當(dāng)量比、壓力以及旋流等因素對火焰結(jié)構(gòu)、穩(wěn)定運行邊界及污染物生成的影響機(jī)制的研究[1-8]。高精度數(shù)值模擬能揭示湍流預(yù)混燃燒中內(nèi)在的復(fù)雜物理化學(xué)過程，對優(yōu)化燃燒組織和減少污染物排放起到關(guān)鍵作用。當(dāng)前，基于概率密度函數(shù)(PDF)方法的數(shù)值模擬是研究實際燃燒過程的最先進(jìn)的手段之一。相比于小火焰面類模型[9]，PDF方法[10-11]能不帶任何假設(shè)地精確求解有限反應(yīng)速率。這一特性對準(zhǔn)確預(yù)測湍流火焰中的局部熄火/再燃現(xiàn)象和污染物生成非常重要。因此PDF方法在研究強湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用方面有著獨到的優(yōu)勢。

自美國康奈爾大學(xué)Pope教授課題組20世紀(jì)80年代初一系列創(chuàng)造性的工作以來，雷諾平均/概率密度函數(shù)(RANS/PDF)方法在過去的三十年中，已經(jīng)從局限于典型簡單算例問題和實驗室尺度燃燒火焰的研究工具，發(fā)展成為一種可以應(yīng)用到實際燃燒裝置上的湍流燃燒模擬方法。PDF方法已成功地用于研究非預(yù)混湍流燃燒中局部熄火/再燃和污染物生成等復(fù)雜物理過程，同時已被用于模擬燃?xì)廨啓C(jī)燃燒室和往復(fù)式活塞內(nèi)燃機(jī)等發(fā)動機(jī)中的復(fù)雜燃燒過程[10-11]。近年來，隨著計算機(jī)和數(shù)值方法的發(fā)展，將PDF方法用作大渦模擬(LES)亞網(wǎng)格模型的大渦模擬/概率密度函數(shù)(LES/PDF)相結(jié)合的方法有了顯著的發(fā)展[12-14]。PDF方法為亞格子過濾尺度下的組分提供了完整的描述。LES/PDF相結(jié)合的方法能同時準(zhǔn)確地描述湍流及湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用。Sheikhi 等人[12]用LES/PDF結(jié)合簡單的化學(xué)反應(yīng)機(jī)理來模擬Sandia火焰D。Lu等人[13]通過將動態(tài)自適應(yīng)建表(ISAT)方法結(jié)合到LES/PDF中，實現(xiàn)了對湍流混合層的包含詳細(xì)化學(xué)反應(yīng)機(jī)理的LES/PDF模擬。近期Yang和Pope[14]用含有詳細(xì)化學(xué)反應(yīng)動力學(xué)的LES/PDF研究了隨時間發(fā)展的非預(yù)混CO/H2湍流平面射流火焰，揭示了強烈的湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用會導(dǎo)致局部熄火及再燃等物理現(xiàn)象。Han等人[15]用LES/PDF方法研究了燃燒模型對代夫特-阿德萊德天然氣射流火焰中碳煙生成的影響，發(fā)現(xiàn)相較火焰面類燃燒模型，PDF方法所得結(jié)果與實驗值更為接近。Ansari等人[16]用LES/PDF方法模擬了旋流燃燒室PRECCINSTA，計算結(jié)果與實驗相符，這是首次嘗試將LES/PDF方法應(yīng)用于實際氣體透平燃燒室。Han等人[17]用LES/PDF研究了熱伴流條件下的氫氣抬舉火焰，發(fā)現(xiàn)解析尺度上的分子擴(kuò)散是影響火焰穩(wěn)定區(qū)域的重要因素。Zhou等人[18]在LES/PDF中同時考慮解析尺度上和亞網(wǎng)格內(nèi)的差異擴(kuò)散效應(yīng)，并以此研究了熱伴流條件下甲烷-氫氣射流火焰中差異擴(kuò)散的影響。Kim和Pope[19]通過結(jié)合降維與化學(xué)建表技術(shù)來加速對湍流貧燃預(yù)混丙烷-空氣火焰的LES/PDF模擬。

然而，到目前為止基于PDF方法的數(shù)值模擬在湍流預(yù)混火焰中的研究還十分有限[20-24]。Lindstedt和Vaos[21]發(fā)現(xiàn)現(xiàn)有混合模型在預(yù)測湍流火焰燃燒速度方面有著明顯的缺陷。最近，Rowinski和Pope采用速度-湍流頻率-組分聯(lián)合概率密度函數(shù)方法研究了甲烷預(yù)混值班火焰[23]，發(fā)現(xiàn)運用現(xiàn)有混合模型，反應(yīng)進(jìn)度被不同程度地高估了。研究得出了和文獻(xiàn)[22, 24]一致的結(jié)論：湍流預(yù)混燃燒中反應(yīng)標(biāo)量的小尺度混合過程同時受到湍流和化學(xué)反應(yīng)的影響，現(xiàn)有標(biāo)量混合模型將湍流混合與標(biāo)量混合的時間尺度比設(shè)為常數(shù)而與燃燒狀態(tài)無關(guān)是不合理的。Ren等人[25]從貧燃預(yù)混氫氣-空氣狹縫射流非穩(wěn)態(tài)火焰的包含詳細(xì)機(jī)理的千萬億次三維直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)[26]出發(fā)，研究了湍流對火焰結(jié)構(gòu)、反應(yīng)標(biāo)量耗散率的影響機(jī)理，發(fā)展出一個適用于各個預(yù)混燃燒狀態(tài)的標(biāo)量小尺度混合模型，該模型考慮了預(yù)混燃燒中標(biāo)量小尺度混合、湍流混合和化學(xué)反應(yīng)這三個強耦合物理過程的內(nèi)在聯(lián)系，提升了PDF方法對預(yù)混燃燒預(yù)測精度。

本綜述介紹當(dāng)前湍流預(yù)混燃燒中混合模型研究的一些最新進(jìn)展。第一章從混合形式和混合時間尺度兩個方面簡介了標(biāo)量小尺度混合模型，并介紹了標(biāo)量小尺度混合模型在預(yù)混燃燒中的表現(xiàn)。第二章介紹了從湍流燃燒直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)出發(fā)對湍流預(yù)混火焰中反應(yīng)標(biāo)量耗散率規(guī)律的研究，并重點介紹了新發(fā)展的反應(yīng)標(biāo)量線性混合時間尺度模型。 第三章首先介紹了近極限條件下湍流預(yù)混燃燒LES/PDF模擬的最新進(jìn)展，重點介紹了一個針對大渦/輸運概率密度函數(shù)模擬的反應(yīng)標(biāo)量混合時間尺度模型及其在近極限湍流預(yù)混燃燒LES/PDF模擬中的應(yīng)用，以及網(wǎng)格解析度對標(biāo)量混合和燃燒特性預(yù)測影響的最新研究進(jìn)展。

1 標(biāo)量小尺度混合模型

在PDF方法中，非線性化學(xué)源項是精確求解的，但小尺度上分子擴(kuò)散引起的流體顆粒組分變化則需要通過標(biāo)量小尺度混合模型來模擬。

在RANS(或LES)框架下，單點單時刻的組分聯(lián)合概率密度函數(shù)f的輸運方程為:

(1)

(2)

式(2)右側(cè)第一項為質(zhì)量流率的平均值導(dǎo)致的發(fā)生在物理空間的輸運，在LES框架下需要被考慮而在RANS框架下一般被忽略。式(2)右側(cè)第二項為由質(zhì)量流率的脈動導(dǎo)致的發(fā)生在組分空間的混合，在RANS和LES框架下均需使用混合模型對該項進(jìn)行建模。

蒙特卡洛計算顆粒/流場雙向耦合方法是PDF方法的一種常用實現(xiàn)方式，每個計算網(wǎng)格內(nèi)均包含多個計算顆粒，用以體現(xiàn)該空間位置處的組分聯(lián)合概率密度信息。計算顆粒n攜帶有位置信息x(n)、權(quán)重信息w(n)及組分標(biāo)量信息φ(n)，n=1,2,…,Np，Np為一個計算網(wǎng)格內(nèi)的計算顆粒數(shù)目。

在RANS框架下，前述歐拉觀點下組分標(biāo)量聯(lián)合概率密度函數(shù)f輸運方程(1)與拉格朗日觀點下的計算顆粒隨機(jī)微分方程組等價,

(3)

(4)

如前所述，分子擴(kuò)散項所導(dǎo)致的組分空間的混合由混合模型刻畫，混合模型分為混合形式[M]與混合時間尺度τφ兩部分。其中，混合形式描述混合方式，混合時間尺度模型描述混合速率。先前的研究表明,對于湍流預(yù)混燃燒問題，混合形式與混合時間尺度模型均對PDF模擬具有顯著影響。

1.1 混合形式

在對混合形式[M]的研究方面，顆粒成對相互作用混合模型的一般表達(dá)式如下：

(5)

1.2 混合時間尺度模型

1.3 標(biāo)量小尺度混合模型在預(yù)混燃燒中的表現(xiàn)

近些年，關(guān)于湍流預(yù)混火焰PDF數(shù)值模擬中混合模型表現(xiàn)的研究有一些最新進(jìn)展[20, 23, 44-45]。舉例來說Hulek和Lindstedt[20]用二項朗之萬模型來封閉標(biāo)量混合，對當(dāng)量比為1的湍流甲烷-空氣預(yù)混火焰?zhèn)鞑ミM(jìn)行了單點單時刻聯(lián)合速度-組分PDF模擬。Hulek和Lindstedt采用類似于Anand和Pope[46]的模擬方法，進(jìn)行了湍流預(yù)混火焰的穩(wěn)態(tài)計算，火焰可以自由移動，計算域跟隨火焰進(jìn)行動態(tài)調(diào)整。利用多組不同的上游湍流條件(由湍流脈動速度u′和積分長度尺度LI定義)的模擬結(jié)果，Hulek和Lindstedt研究了湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣鹊臉?biāo)度率。如圖1所示，模擬得到的湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣扰c實驗數(shù)據(jù)[47]相符。

Sundaram和Klimenko[45]討論了MMC模型在湍流預(yù)混燃燒模擬中的應(yīng)用。在預(yù)混燃燒的PDF模擬中采用MMC的主要目的是通過避免已燃和未燃?xì)怏w的直接混合來使PDF模擬與層流火焰結(jié)構(gòu)之間的一致性更佳，但是具體實現(xiàn)起來并不容易。Sundaram和Klimenko重點關(guān)注湍流預(yù)混燃燒中參考變量的一般性選取原則，考慮了基于level set或影子位置來構(gòu)建參考變量。

圖1 兩個積分長度尺度下的模擬結(jié)果與Abdel-Gayed等人的實驗數(shù)據(jù)在湍流火焰?zhèn)鞑ニ俣入S湍流強度變化關(guān)系上的對比(圖來自文獻(xiàn)[20])

從物理觀點出發(fā)，因為距瞬時火焰位置的距離比物理空間位置更具有物理意義，使用level set作為參考變量很有優(yōu)勢。然而，由于缺乏對慣性子區(qū)湍流預(yù)混火焰標(biāo)度率的充分認(rèn)識，基于level set的參考變量不適用于實際模擬中。Sundaram和Klimenko對高澤爾多維奇數(shù)下預(yù)混火焰的隨機(jī)模擬表明，在實際模擬中影子位置可以用于方便地確定火焰位置，是參考變量的最佳選擇。如圖2所示，在基于影子位置的參考變量空間中火焰的局部特性更佳，而在物理空間中反應(yīng)區(qū)顆粒則十分分散。這表明在湍流預(yù)混火焰中選取影子位置作為MMC的參考變量是十分合理的。

PPJB火焰[48-49]是近期提出的一種湍流預(yù)混火焰，用于研究貧燃、高湍流度條件下的湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用。Rowinski和Pope[23]采用速度-湍流頻率-組分聯(lián)合概率密度函數(shù)方法研究甲烷預(yù)混值班PPJB火焰發(fā)現(xiàn)，運用現(xiàn)有混合模型，反應(yīng)進(jìn)度被不同程度地高估了。Zhou等人[50]對PPJB進(jìn)行了RANS-PDF模擬，進(jìn)一步研究了已有小尺度混合模型在PPJB火焰中的表現(xiàn)。 通過分析IEM與EMST這兩種小尺度混合模型對應(yīng)的反應(yīng)/混合速率在反應(yīng)進(jìn)度標(biāo)量空間中的分布，揭示了在火焰面燃燒模式與破碎反應(yīng)區(qū)燃燒模式下，兩種混合模型預(yù)測的標(biāo)量混合規(guī)律存在差異。如圖3所示，通過比較在反應(yīng)區(qū)混合速率和反應(yīng)速率的相對大小，可以發(fā)現(xiàn)對于中心射流速度為50 m/s的PPJB火焰(PM1-50，接近褶皺火焰面燃燒模式)，盡管IEM模型能夠正確地預(yù)測組分平均值的空間分布，但卻錯誤地預(yù)測燃燒過程為自著火，EMST模型則能夠正確的預(yù)測燃燒過程為火焰?zhèn)鞑ァτ谥行纳淞魉俣葹?00 m/s的PPJB火焰(PM1-200，接近破碎反應(yīng)區(qū)燃燒模式)，IEM與EMST兩種模型預(yù)測出的燃燒過程均為火焰?zhèn)鞑?。研究表明在火焰面燃燒模式下，保持組分空間臨近非常重要，EMST模型優(yōu)于IEM模型；在破碎反應(yīng)區(qū)燃燒模式下，組分空間保持臨近的重要性有所減弱，兩種模型的性能相近。

(a) 基于影子位置的參考變量空間中的顆粒分布

最近Kuron等人[44]利用貧燃預(yù)混氫氣-空氣火焰直接數(shù)值模擬(DNS)數(shù)據(jù)[26]評估了三種廣泛使用的混合模型IEM、MC、EMST對PDF方法模擬湍流火焰?zhèn)鞑ミ^程的適用性。所采用的DNS是Sandia實驗室用詳細(xì)機(jī)理對貧燃預(yù)混氫氣-空氣狹縫射流非穩(wěn)態(tài)火焰進(jìn)行的千萬億次三維直接數(shù)值模擬[26]，其中湍流雷諾數(shù)Ret高達(dá)1000，并固定Ret而改變鄧克爾數(shù)Da，該DNS采用隨時間演化的剪切層的配置在火焰結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生強烈湍流混合。DNS模擬為TPDF模擬提供了初始條件和隨時間變化的輸入?yún)?shù)，包括平均速度、湍流擴(kuò)散系數(shù)以及標(biāo)量混合時間尺度。研究發(fā)現(xiàn)三者之中EMST模型提供了對火焰結(jié)構(gòu)和火焰?zhèn)鞑ニ俣鹊淖罴杨A(yù)測。如圖4所示，IEM模型對條件平均和均方根擴(kuò)散速率的預(yù)測值在定量上不準(zhǔn)確；MC模型能夠捕捉到條件平均擴(kuò)散速率，但是過度預(yù)測均方根擴(kuò)散速率；只有EMST模型能夠同時準(zhǔn)確地預(yù)測條件平均和均方根擴(kuò)散速率，這是因為EMST模型可以強制混合發(fā)生在組分空間的相鄰位置上。研究還開展了針對湍流-標(biāo)量混合時間尺度比的參數(shù)研究。如圖5所示，結(jié)果表明盡管兩個案例有相同的配置，然而兩個案例中時間尺度比例常數(shù)的最優(yōu)值相差兩倍。因此，假定湍流-標(biāo)量混合時間尺度比為常數(shù)這一方法對于湍流預(yù)混火焰并不可行，混合模型時間尺度模型的構(gòu)建值得更多關(guān)注。

圖3 PM1-50與PM1-200火焰，分別采用IEM與EMST模型得到的混合速率、反應(yīng)速率在反應(yīng)進(jìn)度標(biāo)量空間的條件平均值(圖來自文獻(xiàn)[50])

圖4 三個代表性時刻，分別采用IEM、MC、EMST模型預(yù)測出的溫度沿射流高度方向的分布，(a)與(b): Case Da- ，(c)與(d): Da+ (圖來自文獻(xiàn)[44])

圖5 在t=17tj時刻，采用常數(shù)Cφ模型，溫度沿射流高度方向的分布，(a)與(b): Case Da- ，(c)與(d): Da+ (圖來自文獻(xiàn)[44])

2 湍流預(yù)混火焰中反應(yīng)標(biāo)量耗散率規(guī)律和標(biāo)量混合時間尺度建模

2.1 湍流預(yù)混火焰中反應(yīng)標(biāo)量耗散率規(guī)律

在湍流預(yù)混火焰中，在較高鄧克爾數(shù)(Da)情況下，小尺度分子輸運和化學(xué)反應(yīng)是強烈耦合的。在反應(yīng)區(qū)，化學(xué)反應(yīng)導(dǎo)致反應(yīng)標(biāo)量梯度變大，從而促進(jìn)小尺度上的反應(yīng)標(biāo)量混合。因此，反應(yīng)標(biāo)量的小尺度混合過程同時受湍流和化學(xué)反應(yīng)的影響，假設(shè)標(biāo)量小尺度混合僅由湍流控制是不合理的。到目前為止，對湍流預(yù)混火焰，Lindstedt 和 Vaos[21]及 Stollinger 和Heinz[24]試圖通過改進(jìn)標(biāo)量耗散率模型來考慮化學(xué)反應(yīng)對湍流預(yù)混火焰中標(biāo)量小尺度混合的影響。為了深入研究反應(yīng)標(biāo)量小尺度混合規(guī)律，反應(yīng)標(biāo)量(條件)耗散率是重要的研究對象。它是構(gòu)建小尺度混合模型的重要基礎(chǔ)量。然而實驗測量湍流預(yù)混火焰中的反應(yīng)標(biāo)量耗散率十分困難。與之相比，DNS[26, 51]能夠提供完整的流場、標(biāo)量場和化學(xué)反應(yīng)的信息，為研究小尺度混合過程提供了寶貴資源。從DNS數(shù)據(jù)出發(fā)，揭示小尺度湍流對火焰結(jié)構(gòu)、反應(yīng)標(biāo)量耗散率的影響機(jī)理，發(fā)展適用于各個預(yù)混燃燒狀態(tài)的標(biāo)量小尺度混合模型，對于提升PDF方法對預(yù)混燃燒的預(yù)測精度有重要意義。

在研究湍流預(yù)混火焰中反應(yīng)標(biāo)量耗散率的規(guī)律方面，Ren等人[25]運用氫氣貧預(yù)混湍流火焰的DNS數(shù)據(jù)[26]研究了處于薄反應(yīng)區(qū)燃燒模式下的火焰結(jié)構(gòu)對于標(biāo)量耗散率的影響規(guī)律。該DNS[26]采用平面剪切層的配置產(chǎn)生湍流，通過調(diào)節(jié)流動的特征速度與特征長度，改變鄧克爾數(shù)。在Da-的配置下，全場的鄧克爾數(shù)保持始終小于1；在Da+的配置下，全場的鄧克爾數(shù)保持始終大于1。Ren等人進(jìn)一步將“化學(xué)爆炸模式分析(CEMA)”方法[52-53]應(yīng)用于DNS數(shù)據(jù)，用以分辨不同的燃燒模式，從而分析不同燃燒模式下標(biāo)量耗散率的特性。CEMA基于對化學(xué)反應(yīng)源項雅克比矩陣Jω=?ω/?y的特征值分析，定義Jω的實部最大特征值對應(yīng)化學(xué)爆炸模式(CEM)，記此特征值為λe。在化學(xué)反應(yīng)的層面，Re(λe)>0的混合物是易爆炸的，Re(λe)<0的混合物則點火過程已完成，因此應(yīng)用CEM可以區(qū)分復(fù)雜反應(yīng)流場中的已燃和未燃區(qū)域。為更加定量地刻畫反應(yīng)與混合的競爭關(guān)系，定義局部名義鄧克爾數(shù)

Dae=λe/χ

(6)

其中χ為進(jìn)度變量的標(biāo)量耗散率。根據(jù)λe和Dae可將該DNS流場分為4個區(qū)域，如圖6所示。

CEMA方法的結(jié)果表明該火焰中存在兩種燃燒模式：火焰?zhèn)鞑ツＪ?、火焰協(xié)助著火模式。如圖7所示，處于火焰?zhèn)鞑ツＪ较碌臉?biāo)量耗散率在全局條件平均值附近的一個量級內(nèi)變化；處于火焰協(xié)助著火模式下的標(biāo)量耗散率比全局條件平均值小一個量級。對于火焰協(xié)助著火模式的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)：火焰的瞬態(tài)過程，如自著火以及火焰之間相互作用，對于標(biāo)量耗散率具有顯著影響。與一維層流火焰模擬結(jié)果的對比發(fā)現(xiàn)：自著火轉(zhuǎn)變?yōu)榛鹧鎮(zhèn)鞑ヒ约盎鹧嬷g相互作用等瞬態(tài)過程都會造成標(biāo)量耗散率的分布發(fā)生顯著變化，這可能是造成DNS數(shù)據(jù)中標(biāo)量耗散率分布非常分散的主要原因。對于DNS數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析表明，大渦模擬中的亞網(wǎng)格標(biāo)量耗散率模型仍有待完善。

圖6 基于化學(xué)爆炸模擬分析的燃燒模式分區(qū). 黑線代表λe=0的等值線(圖來自文獻(xiàn)[25])Fig.6 Flame zones segmented based on CEMA. The black isoline indicates λe=0 (Reproduced from Ref.[25])

圖7 瞬態(tài)標(biāo)量耗散率在反應(yīng)進(jìn)度標(biāo)量空間中的分布. 顏色代表不同的燃燒模式分區(qū)；實線代表條件平均的標(biāo)量耗散率；點劃線代表一維層流火焰中的標(biāo)量耗散率 (圖來自文獻(xiàn)[25])

接著Zhou等人利用貧燃預(yù)混甲烷-空氣射流火焰的DNS數(shù)據(jù)[54]，分析了在不同湍流預(yù)混燃燒模式下反應(yīng)進(jìn)度變量混合時間尺度的演化規(guī)律。該DNS[54]是使用詳細(xì)機(jī)理對空間演化的貧燃預(yù)混甲烷-空氣湍流狹縫射流本生火焰進(jìn)行的高分辨率三維直接數(shù)值模擬。保持鄧克爾數(shù)Da不變，對不同的卡洛維茲數(shù)Ka進(jìn)行模擬， Case A中Ka=3.0，Case C中Ka=7.2。如圖8所示，研究發(fā)現(xiàn)對于靠近破碎反應(yīng)區(qū)模式的湍流火焰 (Case C)，反應(yīng)進(jìn)度變量的湍流-標(biāo)量混合時間尺度比(Cφ)在火焰刷區(qū)域內(nèi)幾乎保持為常數(shù)，意味著反應(yīng)進(jìn)度變量的混合時間尺度與被動標(biāo)量類似，受湍流控制；對于靠近火焰面模式的湍流火焰 (Case A)，Cφ在火焰刷區(qū)域內(nèi)的變化顯著。與基于層流火焰計算出的標(biāo)量耗散率的對比表明，火焰結(jié)構(gòu)引起的標(biāo)量耗散率與Case A中實際標(biāo)量耗散率非常接近。這證實了對于火焰面燃燒模式，考慮火焰結(jié)構(gòu)引起的標(biāo)量混合非常重要。

圖8 Case A(接近火焰面燃燒模式)與Case C(接近破碎反應(yīng)區(qū)燃燒模式)中湍流-標(biāo)量混合時間尺度比Cφ在反應(yīng)進(jìn)度標(biāo)量空間的演化規(guī)律

2.2 反應(yīng)標(biāo)量線性混合時間尺度模型

基于上述研究發(fā)現(xiàn)，Kuron[55]等人發(fā)展了一種適用于所有湍流預(yù)混燃燒模式的混合時間尺度模型(hybrid timescale model)。該模型依據(jù)線性混合的思路來同時考慮湍流和火焰結(jié)構(gòu)化學(xué)反應(yīng)引入的小尺度混合,

(7)

接下來，Kuron等人以貧燃預(yù)混氫氣-空氣平面火焰為目標(biāo)火焰，利用DNS模擬數(shù)據(jù)為PDF模擬提供初始條件和隨時間變化的輸入?yún)?shù)(平均速度、湍流擴(kuò)散系數(shù)以及標(biāo)量混合時間尺度)，對發(fā)展的hybrid timescale model進(jìn)行了先驗驗證，并與另外兩種混合時間尺度模型進(jìn)行了對比[55]。研究發(fā)現(xiàn)，廣泛使用的常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型，由于忽略了化學(xué)反應(yīng)對標(biāo)量混合的作用，低估了反應(yīng)標(biāo)量的標(biāo)量耗散率。基于層流火焰特征時間的Kolla模型為:

(8)

其中，C3、C4、β′為模型參數(shù)，τturb代表湍流特征時間尺度，τL代表基于層流火焰速度、厚度定義的火焰特征時間。如圖9所示，Kolla模型雖然在Da-的配置下預(yù)測性能較好，但由于無法恢復(fù)火焰面燃燒模式下標(biāo)量耗散率的正確表達(dá)形式，在Da+配置下顯著低估了火焰結(jié)構(gòu)引起的標(biāo)量耗散率。與之相比，新提出的hybrid timescale model則能夠同時較好地預(yù)測Da+與Da-配置下反應(yīng)標(biāo)量的標(biāo)量耗散率。如圖10所示，在不同時刻的溫度展向分布也表明：采用常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型，會導(dǎo)致溫度演化嚴(yán)重偏離準(zhǔn)確值，尤其是在Da+的配置下；而采用新模型則能夠準(zhǔn)確地預(yù)測Da+與Da-兩種配置下的溫度隨時間的演化。這證明了新模型由于考慮了湍流與化學(xué)反應(yīng)的協(xié)同作用而具備優(yōu)勢。

圖9 貧燃預(yù)混氫氣-空氣平面火焰，不同時刻的標(biāo)量耗散率沿展向的分布(圖來自文獻(xiàn)[55])

圖10 貧燃預(yù)混氫氣-空氣平面火焰，三個代表時刻的溫度平均值與脈動值的展向分布(圖來自文獻(xiàn)[55])

對貧燃預(yù)混甲烷-空氣射流火焰的后驗驗證，同樣證明了新提出的反應(yīng)標(biāo)量混合時間尺度模型能夠改善不同湍流預(yù)混燃燒模式下輸運概率密度函數(shù)方法的預(yù)測性能。圖11上部的CO質(zhì)量分?jǐn)?shù)空間分布云圖直觀地表明，采用常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型會顯著高估上游位置處的CO質(zhì)量分?jǐn)?shù)，而采用新模型則可改善這一問題。分別采用常數(shù)湍流混合時間尺度模型與新模型，預(yù)測反應(yīng)進(jìn)度變量方差的條件平均值，從圖11下部發(fā)現(xiàn)：采用模型參數(shù)Cφ=1.5的常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型，可以對上游、中游位置實現(xiàn)準(zhǔn)確的預(yù)測，然而對下游位置會顯著地高估方差；與之相反，采用模型參數(shù)Cφ=2.0的常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型，可以對下游位置位置實現(xiàn)準(zhǔn)確的預(yù)測，然而對上游、中游位置會顯著地低估方差。這意味著采用常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型時，無論怎樣調(diào)節(jié)模型參數(shù)，都難以實現(xiàn)對整個燃燒過程的準(zhǔn)確預(yù)測。而采用新模型則可以實現(xiàn)對上、中、下游位置處的準(zhǔn)確預(yù)測，這體現(xiàn)了新模型的優(yōu)勢與潛力。

所發(fā)展的標(biāo)量混合時間尺度模型公式(7)量化了預(yù)混燃燒中湍流混合和化學(xué)反應(yīng)過程對反應(yīng)標(biāo)量混合的影響。同時，該模型具有適用于任何預(yù)混湍流燃燒模式的潛力，從建模層面提升了PDF方法對湍流預(yù)混燃燒的模擬精度。

圖11 上：分別采用常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型與新模型，預(yù)測的CO的空間分布云圖. 下：分別采用常數(shù)湍流-標(biāo)量時間尺度模型與新模型，預(yù)測的反應(yīng)進(jìn)度變量方差的條件平均值

3 近極限湍流預(yù)混燃燒的大渦/輸運概率密度函數(shù)模擬

由于強烈的湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用，在近極限湍流預(yù)混燃燒中會有局部熄火及再燃等物理現(xiàn)象。近些年，值班預(yù)混射流燃燒室(PPJB)火焰[48-49]、高雷諾數(shù)甲烷-空氣射流湍流預(yù)混火焰F1/F2/F3[56]、耶魯湍流對沖預(yù)混火焰(TCF)[57]被廣泛用于研究貧燃、高湍流度條件下的湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用及局部熄火/再燃現(xiàn)象。

Wang等人[58]對于高雷諾數(shù)甲烷-空氣射流湍流預(yù)混火焰F1/F2/F3[56]開展了LES/PDF模擬，主要關(guān)注混合頻率模型對模擬結(jié)果的影響。傳統(tǒng)的常數(shù)混合參數(shù)(CMP)模型基于局部平衡假設(shè)來給出混合頻率：

(9)

該模型在非預(yù)混燃燒中表現(xiàn)良好，這是因為非預(yù)混燃燒特性是由混合分?jǐn)?shù)這一被動標(biāo)量表征的，混合分?jǐn)?shù)僅由被解析的大尺度湍流確定，而不受化學(xué)反應(yīng)影響。然而，在湍流預(yù)混火焰中，亞網(wǎng)格尺度下湍流與化學(xué)反應(yīng)的耦合作用使得火焰面發(fā)生皺褶，進(jìn)而強化了混合過程，因此在火焰鋒面沒有被完全解析(火焰厚度δth小于LES過濾尺度Δ)時傳統(tǒng)的CMP模型會低估混合頻率，從而無法準(zhǔn)確捕捉火焰特性。在對標(biāo)量耗散率的已有研究的基礎(chǔ)上，Wang等人提出反應(yīng)局部強化(LER)模型：

(10)

研究發(fā)現(xiàn)，在高雷諾數(shù)甲烷-空氣射流湍流預(yù)混火焰F1[56]中，模擬結(jié)果對于混合頻率模型的選取十分敏感。如圖12所示，傳統(tǒng)的CMP模型無法準(zhǔn)確捕捉預(yù)混火焰，會顯著高估火焰鋒面厚度。與之相比，新提出的LER模型對火焰的預(yù)測結(jié)果與實驗值十分相符，這表明LER模型構(gòu)建的依據(jù)是合理的。

符號：實驗數(shù)據(jù)；實線：LER模型；虛線：CMP模型，C=2；

相類似地，Zhou等人對Kuron[55]提出的標(biāo)量混合時間尺度模型在LES框架下加以拓展，發(fā)展了一個針對大渦/輸運概率密度函數(shù)模擬的反應(yīng)標(biāo)量混合時間尺度模型。通過引入一個關(guān)于大渦模擬過濾尺度與湍流Kolmogorov尺度的削弱因子(ηa)，使得該模型能夠正確逼近流場的DNS極限：

(11)

其中ηa=1-e-Δ/(αlη)，Δ代表過濾尺度，lη代表湍流Kolmogorov尺度。當(dāng)過濾尺度遠(yuǎn)小于湍流Kolmogorov尺度時，湍流場得以完全解析。此時ηa趨向于0，使得湍流引起的混合作用趨向于0，從而保證了在湍流完全解析情況下反應(yīng)標(biāo)量混合時間尺度表達(dá)式的正確性。Zhou等人對于接近極限燃燒條件下的高速甲烷-空氣預(yù)混射流火焰 PPJB PM1-150進(jìn)行了LES/PDF模擬。如圖13所示，相比于傳統(tǒng)的常數(shù)湍流-標(biāo)量混合時間尺度模型，采用改進(jìn)的模型能夠相對更好地預(yù)測下游位置處組分的空間分布。進(jìn)一步的分析表明，由于該火焰的中心射流速度較高，強烈剪切引起的湍流造成反應(yīng)標(biāo)量的混合過程由湍流主導(dǎo)。因此，采用改進(jìn)模型帶來的預(yù)測精度的提升有限。

在網(wǎng)格解析度對于LES/PDF模擬預(yù)測湍流預(yù)混燃燒準(zhǔn)確度的影響方面，Zhou等人[59]研究了網(wǎng)格解析度對于標(biāo)量混合和燃燒特性預(yù)測的影響規(guī)律，采用解析度由低到高的三套網(wǎng)格：G1、G2、G4，對接近極限燃燒條件下的高速甲烷-空氣預(yù)混射流火焰(PM1-150)進(jìn)行了LES/PDF模擬。圖14展示分別采用三種網(wǎng)格解析度預(yù)測得到的瞬時火焰結(jié)構(gòu)。研究發(fā)現(xiàn)，僅僅將單位火焰熱厚度內(nèi)的網(wǎng)格數(shù)量由1個增加至2個 (G1→G4)，就能顯著提升對于局部熄火-再燃區(qū)域的預(yù)測精度。通過分析組分的空間分布、瞬態(tài)火焰結(jié)構(gòu)、混合-反應(yīng)速率，揭示了網(wǎng)格解析度對于湍流預(yù)混火焰的LES/PDF模擬具有顯著影響。圖15中組分的空間分布表明，增大網(wǎng)格解析度對于大尺度混合的預(yù)測影響不大，但是能夠顯著提升對于組分徑向分布的預(yù)測準(zhǔn)確度。如圖16所示，通過分析亞網(wǎng)格內(nèi)計算顆粒的反應(yīng)、擴(kuò)散、小尺度混合速率的條件平均值，發(fā)現(xiàn)增大網(wǎng)格解析度對于反應(yīng)、擴(kuò)散速率的影響較小，但是會顯著增大亞網(wǎng)格混合速率，造成反應(yīng)進(jìn)度變量的凈生成率為負(fù)，從而抑制了燃燒進(jìn)程，進(jìn)而改善了預(yù)測結(jié)果。因此，增大網(wǎng)格解析度改善模擬結(jié)果的本質(zhì)原因可能在于：隨著網(wǎng)格解析度的增大，亞網(wǎng)格顆粒在組分空間的局部性增強，這減輕了模擬結(jié)果對小尺度混合模型的依賴。因此，研究表明了網(wǎng)格解析度對于近極限湍流預(yù)混燃燒問題的大渦模擬預(yù)測結(jié)果有顯著影響。

圖13 上圖：高速甲烷-空氣預(yù)混射流火焰 PM1-150，不同標(biāo)量混合模型預(yù)測的標(biāo)量徑向分布和實驗值的比較. 下圖：不同軸向位置，由湍流、火焰結(jié)構(gòu)引起的標(biāo)量混合頻率與有效標(biāo)量混合頻率的徑向分布

圖14 高速甲烷-空氣預(yù)混射流火焰 PM1-150，分別采用G1、G2、G4三種網(wǎng)格解析度，預(yù)測的瞬時火焰結(jié)構(gòu)(圖來自文獻(xiàn)[59])

圖15 高速甲烷-空氣預(yù)混射流火焰PM1-150，分別采用G1、G2、G4三種網(wǎng)格解析度，得到的標(biāo)量徑向分布預(yù)測值與實驗的對比(圖來自文獻(xiàn)[59])

圖16 x/D=15,30兩個代表性位置，分別采用G1、G4兩種網(wǎng)格解析度，得到的反應(yīng)進(jìn)度標(biāo)量的反應(yīng)、擴(kuò)散、小尺度混合速率的條件平均值(圖來自文獻(xiàn)[59])

相比于射流火焰，耶魯TCF燃燒室具有火焰穩(wěn)定、不需值班火焰即可達(dá)到高雷諾數(shù)條件、燃燒區(qū)域更為緊湊等優(yōu)勢。Coriton等人[57]已經(jīng)開展了湍流對沖預(yù)混火焰的一系列實驗，確定了影響火焰特性的四個關(guān)鍵參數(shù)：整體拉伸率Kbulk、預(yù)混反應(yīng)物當(dāng)量比φu、預(yù)混反應(yīng)物流的雷諾數(shù)Ret、熱產(chǎn)物側(cè)溫度Tb，積累了不同參數(shù)條件下的豐富的實驗數(shù)據(jù)。Tirunagari和Pope[60]應(yīng)用LES/PDF方法模擬預(yù)混狀態(tài)下的耶魯TCF燃燒室火焰，系統(tǒng)地用實驗數(shù)據(jù)驗證了LES/PDF方法對湍流預(yù)混火焰的預(yù)測能力。具體來說，實驗和模擬都采用條件統(tǒng)計的方法得到進(jìn)度變量c取條件于與氣體混合層界面(GMLI)的距離Δ的條件平均值〈c|Δ〉和GMLI與火焰鋒面之間的距離Δf的概率密度分布PDF(Δf)，以此量化關(guān)鍵參數(shù)對湍流預(yù)混火焰特性的影響。其中c和GMLI都是根據(jù)OH及其梯度瞬時值沿軸線的分布確定的。圖17為不同的整體拉伸率Kbulk下的〈c|Δ〉和PDF(Δf)，實驗和模擬均得出：局部熄火概率1-〈c|Δ=0〉隨著Kbulk的增大而增大，且Δf隨著Kbulk增大而減小。LES/PDF模擬不僅正確地預(yù)測了火焰的變化趨勢，而且和實驗值相吻合。對于其他的關(guān)鍵參數(shù)，如預(yù)混反應(yīng)物當(dāng)量比φu、預(yù)混反應(yīng)物流的雷諾數(shù)Ret和熱產(chǎn)物側(cè)溫度Tb對湍流預(yù)混火焰的影響，LES/PDF模擬均得到實驗中觀察到的關(guān)鍵參數(shù)影響趨勢，因此LES/PDF方法對湍流預(yù)混火焰的預(yù)測能力得到了系統(tǒng)地驗證。

(a) c取條件于與GMLI的距離Δ的平均值〈c|Δ〉

4 結(jié) 論

概率密度函數(shù)方法能精確地求解有限反應(yīng)速率，在預(yù)測近極限燃燒現(xiàn)象及強湍流-化學(xué)反應(yīng)相互作用方面有著獨到的優(yōu)勢，但小尺度上分子擴(kuò)散引起的組分變化則需要通過標(biāo)量小尺度混合模型來模擬。本綜述介紹了當(dāng)前湍流預(yù)混燃燒中混合模型研究的一些最新進(jìn)展?，F(xiàn)有標(biāo)量混合模型與混合時間尺度模型在不同湍流預(yù)混燃燒模式下的性能研究表明：對于火焰面燃燒模式，保持組分空間的臨近性對于標(biāo)量混合模型非常重要，標(biāo)量混合頻率受火焰結(jié)構(gòu)影響顯著；對于破碎反應(yīng)區(qū)模式，保持組分空間臨近性的重要性有所減弱，標(biāo)量混合頻率由湍流主導(dǎo)。

基于湍流燃燒直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)的小尺度混合模型建模研究對提升PDF方法對湍流預(yù)混燃燒預(yù)測精度有重要意義?；跉錃忸A(yù)混火焰的直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)的研究表明處于薄反應(yīng)區(qū)燃燒模式下的火焰結(jié)構(gòu)對于標(biāo)量耗散率的影響顯著。另外，火焰的瞬態(tài)過程，如自著火以及火焰之間相互作用，對于標(biāo)量耗散率有著顯著影響?；谪毴碱A(yù)混甲烷-空氣射流火焰直接數(shù)值模擬數(shù)據(jù)的研究表明，對于靠近破碎反應(yīng)區(qū)模式的湍流火焰，反應(yīng)進(jìn)度變量的湍流-標(biāo)量混合時間尺度比Cφ在火焰刷區(qū)域內(nèi)幾乎保持常數(shù)，標(biāo)量混合受湍流控制；對于靠近火焰面模式的湍流火焰，Cφ在火焰刷區(qū)域內(nèi)的變化顯著，標(biāo)量耗散率與基于層流火焰計算出的由火焰結(jié)構(gòu)引起的標(biāo)量耗散率非常接近，這進(jìn)一步證實了對于火焰面燃燒模式，考慮火焰結(jié)構(gòu)引起的標(biāo)量混合非常重要。

依據(jù)線性混合的思路構(gòu)建的混合時間尺度模型，同時考慮了湍流和化學(xué)反應(yīng)導(dǎo)致的小尺度混合。模型中包含一個區(qū)分因子(η)，當(dāng)η=0時，對應(yīng)分布式燃燒類型的標(biāo)量混合規(guī)律；當(dāng)η=1時，對應(yīng)理想火焰面燃燒類型的標(biāo)量混合規(guī)律；當(dāng)0<η<0時，燃燒類型介于分布式與理想火焰面兩種模式之間，標(biāo)量混合頻率是上述兩種情況對應(yīng)混合頻率的線性組合。新的標(biāo)量混合時間尺度模型可以適用于任何預(yù)混湍流燃燒模式。針對不同湍流預(yù)混燃燒模式的模型驗證表明：相比于已有的湍流混合時間尺度模型，新模型顯著提升了對湍流預(yù)混火焰中的標(biāo)量耗散率、燃燒特性的預(yù)測精度。

對近極限燃燒的研究表明，LES/PDF能準(zhǔn)確地預(yù)測近極限湍流預(yù)混火焰中的局部熄火和再燃現(xiàn)象。另外，網(wǎng)格解析度對近極限湍流預(yù)混燃燒問題的LES/PDF模擬預(yù)測結(jié)果有著顯著影響。隨著網(wǎng)格解析度的增大，亞網(wǎng)格顆粒在組分空間的局部性增強，這減輕了模擬結(jié)果對小尺度混合模型的依賴程度，因此增大網(wǎng)格解析度能顯著改善模擬結(jié)果。