非線性數(shù)學(xué)期望的一些性質(zhì)研究*

黃安琪，周津名，紀(jì)榮林

（1. 對(duì)外經(jīng)濟(jì)貿(mào)易大學(xué)國(guó)際經(jīng)濟(jì)貿(mào)易學(xué)院，北京100029；2. 安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽合肥230601；3. 合肥師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽合肥230601）

期望效用理論是現(xiàn)代數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)的基石，但是諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者Allais 所提出的著名的Allais 悖論使得期望效用理論受到了很大的挑戰(zhàn)。相關(guān)研究表明基于線性數(shù)學(xué)期望的線性性是導(dǎo)致Allais悖論的主要原因，由此學(xué)者們致力于在非線性數(shù)學(xué)期望框架下研究經(jīng)濟(jì)和金融問(wèn)題。1990 年，山東大學(xué)彭實(shí)戈院士原創(chuàng)性地獲得了一般形式的非線性倒向隨機(jī)微分方程解的存在唯一性結(jié)果［1］。進(jìn)一步地，彭實(shí)戈院士通過(guò)一類特殊的倒向隨機(jī)微分方程的解引入g-期望和條件g-期望的概念［2］。2002年，Coquet-Hu-Mémin-Peng 提出了信息流相容的非線性數(shù)學(xué)期望的公理化定義，進(jìn)而研究了該類非線性數(shù)學(xué)期望與g-期望之間的聯(lián)系［3］。2008 年，彭實(shí)戈院士在次線性期望框架下，研究了多維G-布朗運(yùn)動(dòng)及其相關(guān)問(wèn)題［4］。關(guān)于非線性數(shù)學(xué)期望及其相關(guān)問(wèn)題的研究請(qǐng)參閱文獻(xiàn)［5-13］等。

為了克服金融風(fēng)險(xiǎn)度量工具VaR的先天性缺陷，Artzner-Delbaen-Eber-Heath［14］通過(guò)公理化假設(shè)的方式開(kāi)創(chuàng)性地引入了一致性風(fēng)險(xiǎn)度量的概念。隨后，F(xiàn)?llmer-Schied［15］和Frittelli-Rosazza Gianin［16］分別獨(dú)立地提出凸風(fēng)險(xiǎn)度量的概念。Rosazza Gianin［17］將g-期望理論與公理化的風(fēng)險(xiǎn)度量理論建立了聯(lián)系。進(jìn)一步地，在g-期望理論基本框架下，Jiang［18］系統(tǒng)性地建立了g-期望理論及其誘導(dǎo)的風(fēng)險(xiǎn)度量之間的內(nèi)在聯(lián)系。

受文獻(xiàn)［18］研究啟發(fā)，一個(gè)自然的問(wèn)題是：在公理化假設(shè)的基本框架下，非線性數(shù)學(xué)期望與金融風(fēng)險(xiǎn)度量之間的內(nèi)在聯(lián)系如何？在文獻(xiàn)［4］關(guān)于非線性數(shù)學(xué)期望的公理化框架下，本文致力于研究次線性期望（超線性期望）與一致性風(fēng)險(xiǎn)度量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系；進(jìn)一步地，探索凸期望（凹期望）與凸風(fēng)險(xiǎn)度量之間的內(nèi)在聯(lián)系。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(Ω，F(xiàn)，P)是完備的概率空間，記L1(Ω，F(xiàn)，P)為可積的隨機(jī)變量全體。我們引入文獻(xiàn)［4］中關(guān)于非線性數(shù)學(xué)期望的相關(guān)定義，如下：

定義1 稱實(shí)值泛函ε：L1(Ω，F(xiàn)，P) ?R為非線性數(shù)學(xué)期望，若其滿足：

（i）保常數(shù)性：ε［c］= c，?c ∈R；

（ii）單調(diào)性：ε［X］≥ε［Y ］，若X ≥Y。

定義2 稱非線性數(shù)學(xué)期望ε為次線性期望，若其滿足：

（i）次可加性：ε［X + Y ］≤ε［X］+ ε［Y ］；

（ii）正齊次性：ε［λX］= λε［X］，?λ ≥0。

類似地，根據(jù)文獻(xiàn)［8，10］，我們引入超線性期望、凸期望和凹期望的公理化定義，如下：

定義3 稱非線性數(shù)學(xué)期望ε為超線性期望，若其滿足：

（i）超可加性：ε［X + Y ］≥ε［X］+ ε［Y ］；

（ii）正齊次性：ε［λX］= λε［X］，?λ ≥0。

定義4 稱非線性數(shù)學(xué)期望ε為凸期望，若其滿足：

凸性：ε［λX +(1- λ)Y ］≤λε［X］+(1- λ)ε［Y ］，?λ ∈［0，1］。

定義5 稱非線性數(shù)學(xué)期望ε為凹期望，若其滿足：

凹性：ε［λX +(1- λ)Y ］≥λε［X］+(1- λ)ε［Y ］，?λ ∈［0，1］。

接下來(lái)，我們引入文獻(xiàn)［17］中金融風(fēng)險(xiǎn)度量的相關(guān)公理化定義，如下：

定義6 稱ρ：L1(Ω，F(xiàn)，P) ?R為一致性風(fēng)險(xiǎn)度量，若其滿足下述性質(zhì)：

（i）單調(diào)性：若X ≥Y，則ρ(X) ≤ρ(Y)；

（ii）平移不變性：ρ(X + c) = ρ(X) - c，?c ∈R；

（iii）次可加性：ρ(X + Y) ≤ρ(X) + ρ(Y)；

（iv）正齊次性：ρ(λX) = λρ(X)，?λ ≥0。

定義7 稱ρ：L1(Ω，F(xiàn)，P) ?R為凸風(fēng)險(xiǎn)度量，若其滿足下述性質(zhì)：

（i）單調(diào)性：若X ≥Y，則ρ(X) ≤ρ(Y)；

（ii）平移不變性：ρ(X + c) = ρ(X) - c，?c ∈R；

（iii）凸性：ρ(λX +(1- λ)Y) ≤λρ(X) +(1- λ)ρ(Y)，?λ ∈［0，1］；

（iv）標(biāo)準(zhǔn)化：ρ(0) = 0。

2 主要結(jié)果

定理1 設(shè)ε為L(zhǎng)1(Ω，F(xiàn)，P)空間上的實(shí)值泛函。令ρ(X) = ε［-X］，X ∈L1(Ω，F(xiàn)，P)，則以下陳述等價(jià)：

（i）ε為次線性期望。

（ii）ρ為一致性風(fēng)險(xiǎn)度量。