巧用數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想解決物理問(wèn)題的思路分析

摘要：數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)思想對(duì)解決物理概念的引入，分析物理量變化和求極值問(wèn)題有很大的幫助，在高中物理教學(xué)中，我們可以巧用數(shù)學(xué)的導(dǎo)數(shù)思想解決一些復(fù)雜的物理問(wèn)題。文章以高中物理魯科版教材中的瞬時(shí)速度的引入、瞬時(shí)功率推導(dǎo)、速度的分解、簡(jiǎn)諧振動(dòng)的速度、加速度、周期分析、交變電流中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的分析中存在不足進(jìn)行反思和改進(jìn)，總結(jié)數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想在解決物理問(wèn)題中的一些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用;物理定義;極值問(wèn)題;斜率;交變電流

應(yīng)用數(shù)學(xué)方法解決物理問(wèn)題是物理教學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，也是高考能力考查的重要組成部分。新課程下的高中數(shù)學(xué)教材人教版的《選修2～2》新增了《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》這一章節(jié)，使得導(dǎo)數(shù)在物理教學(xué)的應(yīng)用成為現(xiàn)實(shí)，文章從導(dǎo)數(shù)的定義出發(fā)，針對(duì)教材中出現(xiàn)的一些不足和實(shí)際教學(xué)一些經(jīng)驗(yàn)，探索總結(jié)利用導(dǎo)數(shù)思想解決物理問(wèn)題的一些思路。

一、 導(dǎo)數(shù)的第一定義和極限思想

設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在x0處有增量Δx時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）。若ΔyΔx在Δx→0時(shí)極限存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，函數(shù)在點(diǎn)x0的導(dǎo)數(shù)記為f′（x0）。圖象上即該點(diǎn)切線的正切值tanα，也叫該點(diǎn)的斜率（如圖1）。

二、 利用導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)出新的物理量

（一）相關(guān)知識(shí)

瞬時(shí)速度v=dsdt、加速度a=dvdt、瞬時(shí)功率P=dWdt等。

（二）教材實(shí)例分析

【例1】必修一瞬時(shí)速度的引入是在介紹平均速度的基礎(chǔ)上，通過(guò)極限逼近思想，引入瞬時(shí)速度。進(jìn)而介紹光電門的原理。如果能結(jié)合導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的意義進(jìn)行分析，學(xué)生更容易理解瞬時(shí)速度是描述某個(gè)時(shí)刻或位置的位移隨時(shí)間變化快慢的物理意義。加速度的引入也是在勻變速的情況下引入，如果能再結(jié)合導(dǎo)數(shù)意義分析，更有利于學(xué)生理解加速度是描述速度變化快慢的物理意義。

【例2】必修二瞬時(shí)功率的引入是在介紹平均功率的基礎(chǔ)上，以物體勻速為情景，推導(dǎo)出瞬時(shí)功率的公式。如果能利用導(dǎo)數(shù)分析，更有利于學(xué)生理解P=Fvcosα的普適性和功率表示做功快慢的物理意義。

推導(dǎo)過(guò)程：P=dWdt=d（FScosθ）dt=Fcosθdsdt=FVcosθ。

【例3】必修二運(yùn)動(dòng)的合成分解，涉及關(guān)聯(lián)速度問(wèn)題，學(xué)生總是出錯(cuò)，不知道對(duì)誰(shuí)速度分解？沿哪個(gè)方向分解？怎么分解（如圖2）？如果能利用導(dǎo)數(shù)思想，只要畫(huà)出運(yùn)動(dòng)的位移關(guān)系就可以輕松導(dǎo)出速度關(guān)系（如圖3）。

推導(dǎo)過(guò)程：位移關(guān)系S1=S2·cosθ，兩邊求導(dǎo)得V1=V2·cosθ，這樣可以大大降低錯(cuò)誤率。

【例4】選修3-4介紹簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)時(shí)，教材只是從振子的受力入手分析加速度，通過(guò)實(shí)驗(yàn)?zāi)M簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)圖象，最后用一句“實(shí)驗(yàn)和理論都表明，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的圖象是一條正弦或余弦曲線”得出運(yùn)動(dòng)方程。在介紹單擺周期時(shí)，也是在實(shí)驗(yàn)定性分析單擺周期與擺長(zhǎng)關(guān)系后，便以一句“進(jìn)一步的研究表明，單擺的振動(dòng)周期T與擺長(zhǎng)L的平方根成正比，與重力加速度g的平方根成反比”直接給出周期公式。物理是建立在大量實(shí)驗(yàn)事實(shí)和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)推理之上的學(xué)科，如果能在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，結(jié)合數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)推導(dǎo)位移、速度、加速度、回復(fù)力的變化關(guān)系，進(jìn)而求出簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期，對(duì)于學(xué)生的科學(xué)思維和能力提升有很大的幫助。

推導(dǎo)過(guò)程：如下圖4取質(zhì)點(diǎn)在平衡位置向右開(kāi)始計(jì)時(shí)。

位移方程：x=Asinωt

瞬時(shí)速度：v=dxdt=Aωcosωt（可得：vm=Aω）

加速度：a=dvdt=-Aω2sinωt=-ω2x結(jié)合a=-kxm

可得：ω=km，T=2πω=2πmk。同理可求出單擺周期T=2πLg

如果再結(jié)合函數(shù)圖象，也很容易看出速度和加速度的大小變化和方向。

三、 利用導(dǎo)數(shù)求極值問(wèn)題

（一）相關(guān)知識(shí)

若函數(shù)在某點(diǎn)導(dǎo)數(shù)為0，說(shuō)明函數(shù)在該點(diǎn)的變化率為0，即函數(shù)在該點(diǎn)取極值?？赡苁亲畲笾?，也可能是最小值。

（二）教材實(shí)例分析

【例1】必修一分析做變速運(yùn)動(dòng)和圖象問(wèn)題，當(dāng)速度v=0，位移s取最值。（追及：v相=0，相距s相取最值）。

【例2】必修二分析汽車啟動(dòng)問(wèn)題，當(dāng)加速度a=0，速度取最值。

【例3】選修3-4分析簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)平衡位置，加速度a=0，速度取最值。

在實(shí)際教學(xué)中，經(jīng)常結(jié)合圖像分析，或者特殊位置分析法分析最值問(wèn)題。如果能結(jié)合數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)思想，速度是位移的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，當(dāng)速度為0，位移取最值，加速度是速度的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，當(dāng)加速度為0，速度取最值。更能加深學(xué)生的理解。

四、 利用導(dǎo)數(shù)求物理量的變化情況（單調(diào)性）

（一）相關(guān)知識(shí)

函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)大于零，表示函數(shù)值在增加;反之減小。

（二）教學(xué)實(shí)例分析

【例1】必修一運(yùn)動(dòng)圖象分析，往往通過(guò)斜率正負(fù)來(lái)判斷速度或加速度的變化。但是高一年學(xué)生沒(méi)有斜率的相關(guān)知識(shí)準(zhǔn)備，教學(xué)是以結(jié)論生搬硬套給學(xué)生，跳躍太大，過(guò)度不自然，不利于學(xué)生的理解。如果能先用一節(jié)課對(duì)導(dǎo)數(shù)定義和斜率意義進(jìn)行講解，更有助于學(xué)生理解。

【例2】選修3-1中，分析等量同種電荷的電場(chǎng)在中垂線上的變化（如圖5），教學(xué)中經(jīng)常用特殊位置分析法，即中點(diǎn)O為零，無(wú)窮遠(yuǎn)為零，P點(diǎn)不為零，得出電場(chǎng)沿中垂線向外先變大再變小。如果能用電場(chǎng)疊加結(jié)合數(shù)學(xué)求導(dǎo)思想，不僅能找出變化情況，還能求出A點(diǎn)的位置及最大值;不僅可以考察學(xué)生電場(chǎng)的疊加知識(shí)還能鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)分析能力。

推導(dǎo)過(guò)程：平行四邊形求P點(diǎn)的合電場(chǎng)

E1=2kQl2sinacos2aa∈0，π2

E′1=2kQl2（cos3a-2sin2acosa）

開(kāi)始α小，cos2a>2sin2a，E′1>0，場(chǎng)強(qiáng)增大

后來(lái)α大，cos2a<2sin2a，E′1<0，場(chǎng)強(qiáng)減小

當(dāng)cos3a-2sin2acosa=0，即tanα=22電場(chǎng)取最大值為43kQ9L2

五、 利用導(dǎo)數(shù)意義分析物理圖像

（一）相關(guān)知識(shí)

函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，其幾何意義是曲線在該點(diǎn)處切線的斜率，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的物理意義可以十分便捷地分析一系列物理問(wèn)題。

（二）教學(xué)實(shí)例分析

【例1】必修一運(yùn)動(dòng)圖象分析，位移-時(shí)間圖象的斜率表示該點(diǎn)的瞬時(shí)速度，速度-時(shí)間圖象的斜率表示該點(diǎn)的瞬時(shí)加速度。

【例2】選修3-1電勢(shì)-位置圖象的斜率表示該點(diǎn)的電場(chǎng)大小。

教學(xué)中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往把斜率和比例混在一起，我們物理經(jīng)常用比值定義法來(lái)定義一些新的物理量。如電阻定義R=UI，彈簧勁度系數(shù)定義k=Fx，電容的定義C=QU，電場(chǎng)強(qiáng)度定義E=Fq等，這些在圖象分析時(shí)只能算比例。

六、 利用導(dǎo)數(shù)分析電磁感應(yīng)

（一）相關(guān)知識(shí)

由法拉第電磁感應(yīng)定律可知，電路中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小與穿過(guò)電路的磁通量變化率成正比，表達(dá)式ΔΦΔt=nΔΦΔt，利用導(dǎo)數(shù)，其中φ=BSsinθ。

（二）教材存在問(wèn)題和教學(xué)遇到的困難

（1）選修3-1《交變電流是怎樣產(chǎn)生的》這一節(jié)，教材先通過(guò)復(fù)習(xí)感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件：閉合線圈中的磁通量發(fā)生變化來(lái)介紹交流發(fā)電機(jī)的原理，而整節(jié)課卻都利用切割法分析交變電流的產(chǎn)生。（2）求瞬時(shí)值利用切割法分析會(huì)造成諸如如何畫(huà)截面圖，如何對(duì)切速度進(jìn)行分解計(jì)算等一些困難。（3）教材利用切割法求出的最大值2nBLV，可在實(shí)際考查應(yīng)用時(shí)，很少出現(xiàn)切割速度這個(gè)物理量，都是要建立起轉(zhuǎn)速，角速度，周期，線圈面積這些物理量的聯(lián)系。而普通學(xué)生沒(méi)有老師的進(jìn)一步引導(dǎo)，很難得出這樣的結(jié)論。（4）切割法存在適用范圍，對(duì)于非矩形線圈，或者不是繞線圈的中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，切割法就不能適用。

（三）反思改進(jìn)

分析交變電流的變化規(guī)律，可以從磁通量入手，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律，利用數(shù)學(xué)求導(dǎo)直接得出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)隨時(shí)間變化規(guī)律，并結(jié)合圖像分析，磁通量和電動(dòng)勢(shì)的變化關(guān)系（如圖6）。

推導(dǎo)過(guò)程：如圖6從中性面開(kāi)始計(jì)，t秒后：θ=ωt

磁通量：Φ=BScosωt

感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大?。篍感=E=nΔφΔt=nΔB×sΔt=nB×ΔsΔt=nBSωsinωtEm=nBSω

感應(yīng)電流大小：i=E總R總=εmR總，sinωt=imsinωt

總之，導(dǎo)數(shù)思想在物理研究中有著廣泛的應(yīng)用，新課改導(dǎo)數(shù)引入高中課堂，導(dǎo)數(shù)在物理教學(xué)中的應(yīng)用將越來(lái)越受到老師的關(guān)注。

參考文獻(xiàn)：

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[2]劉紹學(xué).普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》選修2-2[M].北京：人民教育出版社，2019.

作者簡(jiǎn)介：

傅培旭，福建省泉州市，福建省泉州第十七中學(xué)。