多子樣捷聯(lián)慣導(dǎo)算法誤差的仿真分析?

（海軍航空大學(xué)青島校區(qū) 青島 266041）

1 引言

捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)利用“數(shù)學(xué)平臺”代替平臺慣導(dǎo)系統(tǒng)復(fù)雜的機(jī)電平臺，使其成本大幅降低、可靠性提高，是慣導(dǎo)系統(tǒng)重要的發(fā)展方向。捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)除慣性器件外，“數(shù)學(xué)平臺”的解算是捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的重要研究方向之一。

捷聯(lián)慣導(dǎo)算法主要分為姿態(tài)解算、速度解算和位置解算。其中，姿態(tài)解算的求解精度直接影響著速度、位置參數(shù)的求解，因此，姿態(tài)解算是捷聯(lián)慣導(dǎo)算法的核心［1］。目前普遍采用的方法是［2］：根據(jù)等效旋轉(zhuǎn)矢量算法，利用陀螺輸出的多子樣采樣角增量構(gòu)造等效旋轉(zhuǎn)矢量，消除轉(zhuǎn)動的不可交換性誤差，再利用等效旋轉(zhuǎn)矢量計(jì)算旋轉(zhuǎn)四元數(shù)，完成姿態(tài)更新過程。其理論基礎(chǔ)是Bortz方程［3］，Miller提出了三子樣優(yōu)化算法［4］，Lee提出了四子樣算法［5］，文獻(xiàn)［6～8］分析了圓錐運(yùn)動環(huán)境下旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法的漂移，并做了對比分析。文獻(xiàn)［9］推導(dǎo)了劃船補(bǔ)償優(yōu)化算法。文獻(xiàn)［10～11］分別通過設(shè)計(jì)不同的運(yùn)動情況，分析了靜基座和動基座情況下捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)的誤差特性，但沒有涉及多子樣算法之間的差別。因此本文在上述文獻(xiàn)的基礎(chǔ)之上，利用軌跡發(fā)生器，設(shè)計(jì)了多種不同運(yùn)動狀態(tài)，通過對軌跡的多子樣算法仿真分析，得到了不同運(yùn)動情況下的多子樣算法解算結(jié)果，并進(jìn)行了對比分析。仿真結(jié)果表明，多子樣算法在不同情況下具有的精度不同，并非是高子樣算法一定比低子樣算法精度高，相反，對于低動態(tài)環(huán)境下的運(yùn)載體，選取較低子樣算法反而效果更好。

2 等效旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法

對于在非極區(qū)工作的捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)，導(dǎo)航系（n系）一般選取地理坐標(biāo)系：以運(yùn)載體的質(zhì)心為原點(diǎn)，x，y，z分別指向東、北、天。機(jī)體坐標(biāo)系（b系）一般選取右前上坐標(biāo)系：以運(yùn)載體的質(zhì)心為原點(diǎn)，x，y，z分別指向飛機(jī)的右、前、上。為滿足右手定則，本文仿真航向角取北偏西為正，范圍為（-π/2，π/2）。

由于傳統(tǒng)的多子樣算法是將運(yùn)載體的角速度分別假設(shè)為常值、直線、拋物線以及三次拋物線的前提下所求得的旋轉(zhuǎn)矢量計(jì)算公式。但實(shí)際運(yùn)載體角速度并不是如此，對于捷聯(lián)慣導(dǎo)姿態(tài)更新算法而言，錐運(yùn)動是最惡劣的運(yùn)動情況，它會導(dǎo)致嚴(yán)重的數(shù)學(xué)平臺漂移［6］，在錐運(yùn)動環(huán)境下傳統(tǒng)推導(dǎo)多子樣算法得到的公式并不能確保算法漂移最小。因此，旋轉(zhuǎn)矢量優(yōu)化算法常常以圓錐運(yùn)動為環(huán)境條件，通過研究錐運(yùn)動情況下的算法漂移，提出了多子樣旋轉(zhuǎn)矢量優(yōu)化算法。

2.1 圓錐運(yùn)動

機(jī)體坐標(biāo)系相對于導(dǎo)航系的轉(zhuǎn)動四元數(shù)為

2.2 姿態(tài)更新算法

設(shè)陀螺的采樣輸出為θ1、θ2。則有二子樣優(yōu)化等效旋轉(zhuǎn)矢量：

設(shè)陀螺的采樣輸出為θ1、θ2、θ3。則有三子樣優(yōu)化等效旋轉(zhuǎn)矢量：

設(shè)陀螺的采樣輸出為θ1、θ2、θ3、θ4。則有四子樣優(yōu)化等效旋轉(zhuǎn)矢量：

則根據(jù)旋轉(zhuǎn)矢量算法：

故可以得到姿態(tài)變化四元數(shù)：

故可以得到姿態(tài)更新四元數(shù)為

但由于無論是多項(xiàng)式擬合角速度還是通過研究錐運(yùn)動，利用正弦函數(shù)來擬合角速度都存在一定的誤差。通常認(rèn)為正弦角運(yùn)動比多項(xiàng)式角運(yùn)動更惡劣，會導(dǎo)致更大的不可交換性誤差，因此，在高動態(tài)環(huán)境下一般采用旋轉(zhuǎn)矢量多子樣優(yōu)化算法，算法漂移隨著子樣數(shù)的增加而減少。但在低動態(tài)情況下，由于載體角運(yùn)動并不劇烈，因此對于旋轉(zhuǎn)矢量多子樣算法并非是子樣數(shù)越高算法精度越好，相反，采用子樣數(shù)相對較低的算法可能更能適合較為簡單的角運(yùn)動情況。

3 圓錐運(yùn)動下算法誤差仿真

在經(jīng)典圓錐運(yùn)動環(huán)境下，設(shè)半錐角α=1°、頻率f=20Hz、采樣間隔Ts=0.04s、仿真時(shí)間為T=60s。采用多子樣圓錐補(bǔ)償優(yōu)化算法仿真如圖1～3（以Y向誤差為例）。

圖1 二子樣

圖2 三子樣

設(shè)半錐角α=1°、頻率f=1Hz、采樣間隔Ts=0.04s、仿真時(shí)間為T=60s。采用多子樣圓錐補(bǔ)償優(yōu)化算法仿真如圖4～6。

圖3 四子樣

圖4 二子樣

圖5 三子樣

圖6 四子樣

4 靜基座下算法誤差仿真

設(shè)運(yùn)載體靜止不動，忽略初始姿態(tài)失準(zhǔn)角、慣性器件誤差，初始緯度為29°，初始經(jīng)度為-95°，采樣時(shí)間為0.1s，仿真時(shí)間為86400s（24h）。得到載體姿態(tài)誤差角如圖7～9所示。

圖7 俯仰角誤差

圖8 橫滾角誤差

圖9 航向角誤差

5 動基座下算法誤差仿真

5.1 載體僅具有東向速度

設(shè)運(yùn)載體以東向速度-5m/s平飛，忽略初始姿態(tài)失準(zhǔn)角、慣性器件誤差，初始緯度為29°，初始經(jīng)度為-95°，飛行高度為100m，采樣時(shí)間為0.0001s，飛行時(shí)間為8s。

圖10 俯仰角誤差

圖11 橫滾角誤差

圖12 航向角誤差

5.2 載體僅發(fā)生俯仰角變化

設(shè)運(yùn)載體初始以東向速度-5m/s平飛，忽略初始姿態(tài)失準(zhǔn)角、慣性器件誤差，初始緯度為29°，初始經(jīng)度為-95°，飛行高度為100m，采樣時(shí)間為0.0001s，飛行時(shí)間為8s，飛行過程中一直進(jìn)行抬頭運(yùn)動，俯仰角逐漸增大，俯仰角速度為3°/s。

圖13 俯仰角誤差

圖14 橫滾角誤差

圖15 航向角誤差

5.3 載體僅發(fā)生橫滾角變化

設(shè)運(yùn)載體初始以東向速度-5m/s平飛，忽略初始姿態(tài)失準(zhǔn)角、慣性器件誤差，初始緯度為29°，初始經(jīng)度為-95°，飛行高度為100m，采樣時(shí)間為0.0001s，飛行時(shí)間為8s，飛行過程中一直進(jìn)行橫滾運(yùn)動，橫滾角逐漸增大，俯仰角速度為3°/s。

圖16 俯仰角誤差

圖17 橫滾角誤差

圖18 航向角誤差

5.4 載體僅發(fā)生方位角變化

設(shè)運(yùn)載體初始俯仰角為0°，初始橫滾角為45°，初始方位角為0°，初始以北向速度5m/s向北飛行，方位角速率為-5°/s，飛行過程中僅存在方位角變化，轉(zhuǎn)彎過程滿足飛機(jī)的協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎條件［12］。忽略初始姿態(tài)失準(zhǔn)角、慣性器件誤差，初始緯度為29°，初始經(jīng)度為-95°，飛行高度為100m，采樣時(shí)間為0.001s，飛行時(shí)間為72s。

圖19 俯仰角誤差

圖20 橫滾角誤差

圖21 航向角誤差

6 仿真結(jié)果分析

在經(jīng)典圓錐運(yùn)動情況下，當(dāng)錐運(yùn)動頻率為20Hz時(shí)，二子樣算法與三子樣算法誤差相當(dāng)，三子樣略好于二子樣。四子樣算法明顯相較于二、三子樣算法誤差精度提高一個(gè)數(shù)量級；當(dāng)錐運(yùn)動頻率為1Hz時(shí)，多子樣算法誤差精度明顯小于低子樣誤差精度。因此，在圓錐運(yùn)動頻率較高環(huán)境下誤差精度隨著子樣數(shù)的增加而減小。而在運(yùn)動頻率較低時(shí)并非子樣數(shù)越多誤差精度越高。

在靜基座條件下，捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)誤差應(yīng)含有3個(gè)分量：分別是休拉周期振蕩分量、地球周期振蕩分量、傅科周期振蕩分量，其中休拉周期為84.4min，地球周期為24h，傅科周期隨緯度而變緯度越低周期越長，在赤道上傅科周期變?yōu)闊o窮大，在兩極，傅科振蕩蛻化為地球振蕩。由于一般飛行過程傅科周期在系統(tǒng)誤差中體現(xiàn)并不明顯，為簡化分析時(shí)常略去傅科振蕩的影響。從仿真結(jié)果中可以明顯觀察到地球周期振蕩和休拉周期振蕩。并且解算子樣數(shù)與誤差精度并無絕對聯(lián)系，對于航向角誤差而言，在20000s～21000s之間誤差精度隨著子樣數(shù)的增多而減少，但在22000s～23000s之間誤差精度隨著子樣數(shù)的增多而增加，因此在靜態(tài)情況下，算法誤差并不是隨著子樣數(shù)的增多而減少。

在動基座條件下，當(dāng)載體運(yùn)動環(huán)境較為平緩時(shí)，而三、四子樣算法誤差精度相當(dāng)，多子樣算法僅在少部分運(yùn)動情況下略好于低子樣算法，而大多數(shù)低動態(tài)情況下誤差精度隨著子樣數(shù)的增加而增加。與理論上子樣數(shù)越多誤差精度越高相矛盾。

7 結(jié)語

綜合以上仿真結(jié)果與分析可得：載體運(yùn)載體不同運(yùn)動環(huán)境下多子樣算法誤差與子樣數(shù)的多少并無絕對關(guān)系，有時(shí)子樣數(shù)越多導(dǎo)航精度反而越低。一般來說，圓錐運(yùn)動情況是最惡劣的環(huán)境條件，當(dāng)運(yùn)載體的運(yùn)動環(huán)境劇烈時(shí)，隨著子樣數(shù)的增加，導(dǎo)航精度誤差逐漸降低，這與文獻(xiàn)［6］的結(jié)論相符合。因此，在利用捷聯(lián)慣導(dǎo)多子樣算法進(jìn)行導(dǎo)航解算時(shí)并不能一味地追求高子樣算法，應(yīng)該根據(jù)載體的實(shí)際運(yùn)動情況選擇合適的子樣數(shù)進(jìn)行導(dǎo)航解算。對于低動態(tài)環(huán)境下角運(yùn)動較為簡單的運(yùn)載體，選取較低子樣數(shù)（不要超過四子樣）不僅減少了計(jì)算量，而且導(dǎo)航效果相對于高子樣算法更佳精確。