轉(zhuǎn)發(fā)式低軌單星多普勒定位解算技術(shù)

易卿武

(1.衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)與裝備技術(shù)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，石家莊 050081;2.西安電子科技大學(xué) 電子工程學(xué)院，西安 710071)

0 引言

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)受其信號電平低和高緯地域覆蓋不足等因素影響，存在精確性、可靠性、可用性和抗干擾性等方面的不足。為保障復(fù)雜環(huán)境下持續(xù)可靠的導(dǎo)航定位能力，完善軍用PNT體系，除提高衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)及接收機(jī)的抗干擾和自主化能力外，國外開展了無線電備份導(dǎo)航定位技術(shù)的研究，包括偽衛(wèi)星定位技術(shù)[1-3]、e-Loran技術(shù)[4-5]等。小型低軌衛(wèi)星具有快速部署、抗摧毀等優(yōu)勢，作為一種備份導(dǎo)航技術(shù)，單星定位可通過更少的衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)目標(biāo)區(qū)域的短期快速定位，解決需要定位信息但對精度要求不高的場景，利于衛(wèi)星快速部署，且可采用通信衛(wèi)星等非導(dǎo)航任務(wù)衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)。近年來基于低軌衛(wèi)星的備份導(dǎo)航定位技術(shù)得到了一定研究，主要集中在采用少量衛(wèi)星實(shí)現(xiàn)定位的算法和性能分析，包括基于偽距和測高的雙星或三星定位[6]、基于星上測向的單星定位[7-9]、基于信號多普勒變化率的單星定位[10-12]、信號抗干擾能力[13]分析等。在文獻(xiàn)[14]提出了一種基于偽距和多普勒定位的定位方法并對低軌衛(wèi)星信號覆蓋能力進(jìn)行了分析，相似定位方式在搜尋客機(jī)中得到實(shí)踐[15]。本文針對于低軌衛(wèi)星的應(yīng)用特點(diǎn)，對偽距多普勒聯(lián)合定位原理、迭代算法及定位分布特征進(jìn)行分析探討，并基于軟件仿真驗(yàn)證技術(shù)的可行性和定位性能。

1 單星多普勒定位算法

1.1 單星定位模型

在地心地固坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)接收機(jī)在t0時(shí)刻的空間坐標(biāo)和速度為{Pre(t0),Vre(t0)}，此時(shí)到達(dá)接收機(jī)天線的衛(wèi)星信號表示為s(t0)；若s(t0)從衛(wèi)星發(fā)射出的時(shí)間為t1，衛(wèi)星在t1時(shí)刻的空間坐標(biāo)和速度為{Psv(t1),Vsv(t1)}，則滿足:

(1)

式中,c為光速，σsv(t0)為信號傳播路徑中折射和多徑等因素產(chǎn)生的測距誤差，ε為接收機(jī)熱噪聲導(dǎo)致的測距誤差。將式(1)改寫為矩陣形式可表示為:

(2)

衛(wèi)星與接收機(jī)的相對運(yùn)動導(dǎo)致接收信號存在多普勒頻移，若信號載波頻率為f0，則信號s(t0)進(jìn)入接收機(jī)天線的載波頻率fre(t0)滿足:

(3)

式中,矢量{rsv(t1),rre(t0)}分別為s(t0)在衛(wèi)星和接收機(jī)端的傳播矢量，由于信號傳播過程中存在折射，因此rsv(t1)≠rre(t0)，且矢量差隨著信號仰角的降低而增大?？紤]衛(wèi)星軌道高度在數(shù)百公里以上，且矢量差值有限，在此將式(3)近似為:

(4)

上式以矩陣形式可表示為:

(5)

公式兩邊對時(shí)間求導(dǎo)得到t0時(shí)刻載波頻率變化率滿足:

(6)

類似地，式(6)可表示為:

(7)

若接收機(jī)可通過其他手段獲取自身瞬時(shí)的地心方向高度值Hre(t0)，可得到:

(8)

式中,re(Pre(t0))為接收機(jī)所在地域?qū)?yīng)的地球半徑，若接收機(jī)通過星歷解算和修正獲取{Psv(t1),Vsv(t1)}，并可通過其他傳感器獲取自身的Vre(t0)，則基于式(2)(5)(8)或者式(2)(7)(8)可得到關(guān)于接收機(jī)位置Pre(t0)=[xsv(t1),ysv(t1),zsv(t1)]T的三元方程組，通過解算可獲取兩個(gè)解值，去除一個(gè)鏡像點(diǎn)可獲得最終定位解。

基于偽距和多普勒的定位原理可表示為，基于高度Hre(t0)和偽距修正量可獲得分別以地心和衛(wèi)星為中心的橢球面和球面解系；基于多普勒獲得了以衛(wèi)星為頂點(diǎn)，以矢量Vsv(t1)-Vre(t0)為軸的錐面解系；這三個(gè)解析相交獲得地球同面的一個(gè)鏡像定位點(diǎn)和一個(gè)真實(shí)定位點(diǎn)。

1.2 粒子群搜索尋優(yōu)計(jì)算

以式(2)(5)(8)為例進(jìn)行迭代解算。將方程組進(jìn)行線性化處理。將式(2)對Pre(t0)求偏導(dǎo)得到:

(9)

將式(5)變形為:

(11)

聯(lián)合式(9)(10)(11)可得到在迭代值Pre,k-1處的線性化矩陣方程:

(12)

式(12)的最小二乘解表示為:

[Δxre,Δyre,Δzre]T=(GTG)-1GTb

(13)

與衛(wèi)星導(dǎo)航中的最小二乘法相比，式(9)～(13)中減少了接收機(jī)鐘差未知量和迭代更新過程，但增加了矩陣b關(guān)于地球半徑信息re(Pre(t0))的更新過程。

在式(13)中，G陣受偽距迭代誤差、多普勒觀測和偽距模值的影響，由于偽距遠(yuǎn)大于接收機(jī)位置值，因此當(dāng)多普勒表征不明顯時(shí)，收斂域十分狹窄，初值不當(dāng)將導(dǎo)致不收斂。為了解決這一問題，需要接收機(jī)具備較為精確的初值(如通過MEMS提供)或采用網(wǎng)格搜索方法實(shí)現(xiàn)初始的粗定位。網(wǎng)格搜索定位的原理為，在初始點(diǎn)P0附近按指定方式選取n個(gè)測試點(diǎn)P1～Pn，計(jì)算初始點(diǎn)、測試點(diǎn)與衛(wèi)星位置的直線距離l0～ln及多普勒值d0～dn，在連續(xù)觀測下將這些值和觀測值按時(shí)間順序求差，將連續(xù)觀測點(diǎn)下的差值取歐式空間:

(14)

將歐式空間最小的點(diǎn)作為下次迭代的初始點(diǎn)重新迭代運(yùn)算，直至歐式空間最小點(diǎn)不變即完成初始定位。

網(wǎng)格迭代中步長參數(shù)影響迭代效率和最終定位性能，步長選取過小將導(dǎo)致在有限的迭代周期內(nèi)不能充分收斂，選取過大將導(dǎo)致定位精度較差。為達(dá)到理想值需要通過動態(tài)調(diào)整網(wǎng)格步長來提高定位性能，為此采用粒子群迭代尋優(yōu)的方式對式(14)進(jìn)行解算。這里首先介紹粒子群算法的原理和優(yōu)化方式。

標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法中粒子的速度更新和位置更新如式(15)和式(16)所示。

vi=ωvi+c1(pBesti-xi)+c2(gBesti-xi)

(15)

xi=xi+vi

(16)

式中，xi表示第i個(gè)粒子當(dāng)前的位置，vi表示第i個(gè)粒子當(dāng)前的速度。pBesti為粒子自身歷史最優(yōu)解又稱個(gè)體極值；gBesti為整個(gè)種群的全局歷史最優(yōu)位置又稱全局極值。c1和c2為學(xué)習(xí)因子，ω為慣性權(quán)重，其大小決定了粒子對當(dāng)前速度的繼承程度。

通常用Ns表示粒子群種群規(guī)模，記f(xi)為所優(yōu)化問題的目標(biāo)評價(jià)函數(shù)，粒子位置的優(yōu)劣是依靠f(xi)的值來決定的。式(14)即為算法迭代求解的目標(biāo)函數(shù)。得到粒子新的位置后，可以求出對應(yīng)的f(xi)，并更新粒子的歷史最優(yōu)位置信息pBesti和種群的歷史最優(yōu)位置信息gBesti，每個(gè)粒子都根據(jù)這兩個(gè)值來更新優(yōu)化自己的速度和位置，然后繼續(xù)迭代進(jìn)行下一輪操作。

圖1是粒子群算法在二維搜索空間求解優(yōu)化問題的示意圖。其中v1是粒子本身具有的速度，v2是粒子自身歷史最優(yōu)解引起的速度，v3是整個(gè)種群全局歷史最優(yōu)解引起的速度。粒子最終的速度v由v1、v2和v3共同決定，使得粒子從初始位置到達(dá)更新位置,并在后面迭代中逐漸靠近最優(yōu)解位置。

圖1 粒子群算法求解二維空間優(yōu)化問題示意圖

可以通過粒子群算法的自適應(yīng)調(diào)整策略來動態(tài)調(diào)整迭代的網(wǎng)格步長，具體為：連續(xù)迭代t次后判斷粒子的位置改變程度，若小于某一個(gè)值則判斷當(dāng)前陷入局部最優(yōu)階段，采取增大網(wǎng)格步長的策略使得算法跳出局部最優(yōu)；若連續(xù)t次迭代粒子位置改變都大于某一值，則判斷粒子開始過快搜索，為防止粒子掠過最優(yōu)解，采取縮小網(wǎng)格步長的方式壓縮搜索空間。

自適應(yīng)粒子群算法的迭代尋優(yōu)步驟如下所示。

步驟一：設(shè)置算法參數(shù)，包括粒子種群數(shù)量Ns，最大迭代次數(shù)T，慣性權(quán)重ω和學(xué)習(xí)因子c1、c2及自適應(yīng)選擇策略中的參數(shù)t；

步驟二：給定初始個(gè)體最優(yōu)位置pBest和初始全局最優(yōu)位置gBest；

步驟三：開始迭代，根據(jù)目標(biāo)評價(jià)函數(shù)評價(jià)鄰域內(nèi)所有粒子，與原有的個(gè)體最優(yōu)位置pBest和全局最優(yōu)位置gBest比較，選擇目標(biāo)評價(jià)函數(shù)較小的更新為新的個(gè)體和全局最優(yōu)位置，利用公式更新粒子位置；

步驟四：重復(fù)步驟二和步驟三至t次迭代，若滿足收斂條件或達(dá)到最大迭代次數(shù)則轉(zhuǎn)步驟六，否則轉(zhuǎn)下一步；

步驟五：判斷粒子當(dāng)前是否陷入局部最優(yōu)或者進(jìn)入過快搜索階段，利用自適應(yīng)參數(shù)調(diào)整策略增大搜索網(wǎng)格迭代搜索步長。返回步驟三；

步驟六：結(jié)束迭代尋優(yōu)搜索。

2 單星參數(shù)觀測方式

2.1 轉(zhuǎn)發(fā)體制下的參數(shù)獲取

接收機(jī)通過接收和測量星上轉(zhuǎn)發(fā)的接收機(jī)應(yīng)答信號實(shí)現(xiàn)測距，其過程表示為：接收機(jī)在tre,t時(shí)刻產(chǎn)生詢問信號，經(jīng)發(fā)送群延遲Δtre,e在天線端發(fā)送出信號；信號在tsv,r時(shí)刻進(jìn)入衛(wèi)星接收天線，經(jīng)過轉(zhuǎn)發(fā)處理群延遲Δtsv,e后轉(zhuǎn)發(fā)回用戶；接收機(jī)在時(shí)刻t0接收信號，經(jīng)過跟蹤解算得到接收時(shí)間tre,r。這一過程如圖1所示，其中接收機(jī)初始鐘差為δt，在時(shí)間周期trer-tret內(nèi)鐘差漂移為Δδt。

圖2 星上轉(zhuǎn)發(fā)偽距測量

在信號轉(zhuǎn)發(fā)過程中，由于衛(wèi)星和接收機(jī)運(yùn)動分別在Δtsv,e和t0-tre,t-Δtre,e周期內(nèi)產(chǎn)生一定位移，且傳播介質(zhì)具有時(shí)變性，因此上下行鏈路并不對稱，將這一差異設(shè)為σsagnac，則接收機(jī)計(jì)算初始偽距為:

(17)

接收機(jī)在測距過程中并不受初始鐘差影響，但需要預(yù)知或通過其他方法實(shí)時(shí)測量衛(wèi)星轉(zhuǎn)發(fā)器群時(shí)延和接收機(jī)收發(fā)通道的群時(shí)延，并對σsagnac進(jìn)行適當(dāng)?shù)男拚?。在接收機(jī)獲得初始偽距ρ(t0)后，通過衛(wèi)星直接授時(shí)來估算時(shí)間t1，即:

(18)

2.2 雙向體制下的參數(shù)獲取

轉(zhuǎn)發(fā)式測距下接收機(jī)無需預(yù)知本地鐘差，但在有限的授時(shí)精度下對衛(wèi)星位置的估計(jì)精度有限；一種提高定位精度的方法是通過雙向測量與衛(wèi)星建立高精度時(shí)間同步能力來進(jìn)行測距和估計(jì){Pre(t0),Vre(t0)}。如圖2所示，接收機(jī)與衛(wèi)星均在本地時(shí)為tre,t相互發(fā)送測距信號并彼此接收和完成測距，衛(wèi)星將測距結(jié)果在下一次測距信號中返回給接收機(jī)。

圖3 雙向測距偽距測量

如圖3所示，接收機(jī)和衛(wèi)星獲得的偽距分別為:

(19)

在此認(rèn)為由于衛(wèi)星和接收機(jī)的移動導(dǎo)致的上下行鏈路差異為σsagnac，則接收機(jī)計(jì)算本地鐘差為:

(20)

在獲取本地鐘差后，接收機(jī)可基于ρre計(jì)算信號發(fā)送時(shí)間tre,t，并基于此修正偽距和計(jì)算{Pre(t0),Vre(t0)}。

3 單星多普勒定位性能分析

3.1 定位誤差分布

若距離、多普勒頻移和高度誤差不對式(9)～(11)所示的線性化過程造成影響，則定位誤差近似為:

(21)

可以得到與星下點(diǎn)越遠(yuǎn)，等間隔的多普勒曲線越稀疏，而偽距曲線越致密；星下點(diǎn)軌跡的多普勒曲線比外圍更加致密。因此可得到定位精度的分布特點(diǎn)：

1)在星下點(diǎn)區(qū)域定位精度對多普勒測量誤差相對不敏感，而對偽距測量誤差較為敏感；

2)隨著與星下點(diǎn)距離的增大對偽距誤差敏感程度降低，而對多普勒測量誤差敏感程度逐漸增大；

3)在同樣的偽距距離下，越靠近星下點(diǎn)軌跡對多普勒誤差越敏感。

4)除上述特點(diǎn)外，在星下點(diǎn)軌跡附近區(qū)域內(nèi)接收機(jī)更加難以判別所處位置在星下點(diǎn)軌跡的哪一側(cè)，迭代定位中將有可能定位到鏡像點(diǎn)上，造成較大的定位誤差。

即對于單星多普勒定位，不同區(qū)域定位性能不僅與接收機(jī)和衛(wèi)星的空間分布特征相關(guān)，還與不同的誤差項(xiàng)相關(guān)。

3.2 定位覆蓋能力

在此暫不考慮測距過程對用戶容量的限制，取接收機(jī)遮蔽角為θ，衛(wèi)星高度為Hsv，則衛(wèi)星對地覆蓋半徑為:

(22)

式中,re為地球半徑。不同高度衛(wèi)星對應(yīng)的覆蓋面積及最大可見時(shí)間如圖5所示。

當(dāng)滿足無縫覆蓋時(shí)，所需衛(wèi)星數(shù)估測為:

N≤(πre/rsv)2/2

(23)

對于600 km高度衛(wèi)星，所需的衛(wèi)星總數(shù)達(dá)到100顆以上，但相對于滿足4星覆蓋，所需的衛(wèi)星總數(shù)仍縮減了50%以上。

3.3 定位仿真結(jié)果

針對某單星軌道進(jìn)行定位仿真，仿真中在軌道星下點(diǎn)同側(cè)任意設(shè)置了5個(gè)觀測站點(diǎn)，衛(wèi)星軌道及觀測站點(diǎn)分布如圖6所示。

仿真中基于衛(wèi)星和接收機(jī)位置計(jì)算實(shí)際幾何距離和多普勒頻移，以此為基礎(chǔ)加上設(shè)定誤差作為接收機(jī)的模擬觀測值，其中取衛(wèi)星軌道誤差為10 m、測頻噪聲為10 Hz、測高誤差為3 m。在迭代計(jì)算過程中取粒子群規(guī)模為Ns100，迭代次數(shù)上限T為100,慣性權(quán)重ω取0.9，學(xué)習(xí)因子c1、c2都取1.5，自適應(yīng)網(wǎng)格步長調(diào)整策略中t取10。

圖6 衛(wèi)星軌道及觀測站點(diǎn)分布

通過仿真得到不同時(shí)刻各站點(diǎn)計(jì)算的定位誤差如表1所示。

表1 單星仿真定位誤差 (m)

可得到在仿真環(huán)境下不同時(shí)刻定位精度存在一定差異，并且遠(yuǎn)離星下點(diǎn)的觀測點(diǎn)定位誤差較差，總體上單星定位精度在百米量級。

4 結(jié)束語

基于偽距和多普勒觀測量可實(shí)現(xiàn)單星條件下的導(dǎo)航定位，在本文設(shè)計(jì)的定位方式下，單星定位精度與偽距和多普勒觀測誤差相關(guān)，誤差分布呈現(xiàn)出對不同誤差項(xiàng)的敏感差異。通過仿真初步驗(yàn)證表明基于偽距和多普勒測量能夠達(dá)到百米量級的定位精度。未來將進(jìn)一步探討單星導(dǎo)航定位的應(yīng)用前景和工程實(shí)現(xiàn)中的相關(guān)技術(shù)。