數(shù)字e的緣起與指數(shù)函數(shù)

張勁松

[摘要]為了深入理解指數(shù)函數(shù)，了解指數(shù)函數(shù)描述的某類增長（衰減）率變化問題，我們需要認(rèn)識(shí)數(shù)字e的緣起。數(shù)字e緣起于用連續(xù)方法描述離散問題，以數(shù)字e為底的指數(shù)（型）函數(shù)是描述連續(xù)變化的天然模型，可以幫助我們更好地把握變化規(guī)律。

[關(guān)鍵詞]數(shù)字e;指數(shù)函數(shù);連續(xù);離散;導(dǎo)數(shù)

數(shù)字e不僅是數(shù)學(xué)史上，而且是人類科學(xué)史上最偉大的數(shù)字之一。當(dāng)用指數(shù)（型）函數(shù)描述現(xiàn)實(shí)世界中某類增長（衰減）率的問題時(shí)，不可避免地涉及數(shù)字e。以數(shù)字e為底的指數(shù)（型）函數(shù)是描述連續(xù)變化的天然模型：它可以使我們運(yùn)用連續(xù)方法研究離散問題，描述離散問題，幫助我們更好地把握變化規(guī)律。

對(duì)數(shù)字e的緣起以及指數(shù)函數(shù)的研究，使信息技術(shù)如Excel、幾何畫板、Geogebra等的使用如虎添翼。它不僅可以幫助我們進(jìn)行指數(shù)冪的快速計(jì)算，通過圖象，形象、直觀地認(rèn)識(shí)與數(shù)字e相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，而且對(duì)于認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)的本質(zhì)有極大的促進(jìn)作用。

在指數(shù)函數(shù)中，我們常常用以e為底的指數(shù)（型）函數(shù)描述自然現(xiàn)象、生物種群變化、放射性物質(zhì)的衰變等變化規(guī)律。中學(xué)階段，我們知道e是自然對(duì)數(shù)的底，e=2.71828……，它是個(gè)無理數(shù)。

為什么取e這樣一個(gè)無理數(shù)作為指數(shù)（型）函數(shù)的底？同時(shí)以無理數(shù)作為對(duì)數(shù)的底，運(yùn)算是復(fù)雜了還是簡(jiǎn)單了？為什么把e作為底數(shù)的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)？“自然”在哪兒？這個(gè)數(shù)是怎么來的？這些都是自然的疑問。如果我們不能給出明確的解答，勢(shì)必加深學(xué)生的困惑。知其然，還要知其所以然。如果不知道它的來龍去脈、前因后果，不追本溯源，就無法加強(qiáng)理性思維，無法認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值和作用。

e是與連續(xù)變化有著緊密聯(lián)系的數(shù)，數(shù)字e的產(chǎn)生與發(fā)展是函數(shù)內(nèi)容發(fā)展的高度濃縮。通過揭示數(shù)字e的起源，以及以e為底的指數(shù)（型）函數(shù)模型建立過程?？梢愿玫亓私庥勺兓胶瘮?shù)、由離散到連續(xù)的研究方法，以及由感性到理性，認(rèn)識(shí)不斷深化、提高的脈絡(luò)。同時(shí)更好地處理好具體與抽象、直觀與嚴(yán)謹(jǐn)、離散與連續(xù)、數(shù)學(xué)思想與形式化定義的關(guān)系，使學(xué)生更好地運(yùn)用函數(shù)刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的變化現(xiàn)象，深刻理解函數(shù)思想，運(yùn)用函數(shù)模型把握現(xiàn)實(shí)世界中的變化規(guī)律。

很多數(shù)學(xué)科普讀物都說e是一個(gè)與連續(xù)變化有關(guān)的數(shù)。為什么和連續(xù)變化有關(guān)？連續(xù)的意義是什么？要回答這些問題，我們先從變化說起。

1.1 變化與函數(shù)

我們知道，變化無處不在、無時(shí)不在。我們生活在變化的世界中。世界上唯一不變的是變化。如何描述變化？如何定量描述變化？數(shù)學(xué)上有很多工具和方法。簡(jiǎn)言之，l，2，3，4，5……這種計(jì)數(shù)就是描述變化最簡(jiǎn)單的一種形式。隨著變化越來越復(fù)雜，人們的認(rèn)識(shí)不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)科學(xué)理論不斷豐富，函數(shù)成為描述現(xiàn)實(shí)世界中變化規(guī)律的重要模型，通過函數(shù)這個(gè)數(shù)學(xué)模型描述變化及其規(guī)律，使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中變化現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)更加理性。

1.2 離散與連續(xù)

實(shí)際上，對(duì)變化的認(rèn)識(shí)，我們是從離散開始的。離散與連續(xù)既是生活中的用語，也是數(shù)學(xué)中的重要概念。數(shù)列是描述離散變化的重要數(shù)學(xué)模型，其自變量是自然數(shù)集合或其子集，這種離散的數(shù)學(xué)模型在實(shí)際生活或數(shù)學(xué)中很常見。而對(duì)于區(qū)間（a，b）上的任意一點(diǎn)x來說，我們說它是連續(xù)的，其意義到底是什么？在某一點(diǎn)x₀連續(xù)的意義，就是對(duì)于該點(diǎn)x₀，無論給定一個(gè)多么小的正數(shù)ε，總能在區(qū)間（a，b）上找到一個(gè)點(diǎn)x'，使點(diǎn)x₀到點(diǎn)x'的距離小于這個(gè)給定的正數(shù)。5T，即|x₀-x'|<ε。顯然，對(duì)于孤立的點(diǎn)集來說，這些點(diǎn)都不是連續(xù)的，如整數(shù)集，因?yàn)槿魏蝺蓚€(gè)整數(shù)m，n之間的距離|m-n|≥1，這樣對(duì)于小于l的任何正數(shù)。它不滿足連續(xù)的定義。所以我們說整數(shù)集是離散的。它是不連續(xù)的一種情形。而對(duì)于任意區(qū)間（a，b），我們說它是連續(xù)的。同樣，對(duì)于函數(shù)來說，在平面直角坐標(biāo)系中，離散的函數(shù)是一些點(diǎn)：連續(xù)的函數(shù)，從直觀上看是一條連續(xù)而不間斷的曲線。這是直觀描述。可以幫助我們形象地理解概念。但它無法揭示概念的本質(zhì)屬性，不是嚴(yán)格的數(shù)學(xué)表述。在數(shù)學(xué)上，連續(xù)是一個(gè)重要而且抽象的概念。函數(shù)在任一點(diǎn)連續(xù)的概念，簡(jiǎn)言之，就是函數(shù)在任一點(diǎn)的極限值等于這點(diǎn)的函數(shù)值。對(duì)中學(xué)生來說，我們不需要也不可能進(jìn)行這樣的講解，太抽象了。我們只需借助圖象，直觀理解即可。

1.3 平均變化率冪的結(jié)果仍然是一個(gè)有理數(shù)，通過信息技術(shù)工具快速計(jì)算的功能，我們?nèi)菀姿愠觯ň_到小數(shù)點(diǎn)后5位）：

至于為什么取為e，眾說紛紜。一種說法是a，b，c，d太靠前，而且常用作常量，x，y，Z用作變量，靠前的只有e了：另一種說法是歐拉首先發(fā)現(xiàn)，取歐拉名字的第一個(gè)英文字母，但是以歐拉低調(diào)的為人，估計(jì)歐拉本人不會(huì)這么做，可能是后人為了紀(jì)念他首先發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)，才用他名字的第一個(gè)字母表示這個(gè)數(shù)：再一種說法是這個(gè)數(shù)來自經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，可以描述經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的很多變化規(guī)律，就用經(jīng)濟(jì)（economic）的第一個(gè)字母e表示這個(gè)數(shù)。

很顯然，在中學(xué)階段，嚴(yán)格從函數(shù)單調(diào)性、極限的角度研究這個(gè)函數(shù)，追尋數(shù)字e的起源不現(xiàn)實(shí)。借助信息技術(shù)，通過上述方式給出結(jié)論，高中學(xué)生可以直觀理解。至于結(jié)論的嚴(yán)格證明，我們暫且不管，到大學(xué)學(xué)習(xí)微積分時(shí)再給出完整的過程。

2 通過對(duì)馬爾薩斯人口增長模型f（t）=y₀eⁿ來龍去脈的解釋，認(rèn)識(shí)以e為底的指數(shù)（型）函數(shù)是描述連續(xù)變化的天然模型

有了上面的基礎(chǔ)，對(duì)于馬爾薩斯人口增長模型f（t）=y₀eⁿ，我們可以給出它的來龍去脈的解釋。當(dāng)人口足夠多的時(shí)候，我們不考慮計(jì)劃生育、戰(zhàn)爭(zhēng)、疾病瘟疫等其他因素，而且假定每時(shí)每刻都有人出生，每年的人口增長率相同，我們可以得出f（t）=y₀eⁿ，其中r是年平均增長率，y₀是當(dāng)前的人口，f（t）是t年時(shí)的人口。如何得到上述解析式？

這給出了一個(gè)為什么以e為底的指數(shù)型函數(shù)的簡(jiǎn)短說明。可見在連續(xù)變化過程中，常常離不開e。實(shí)際上，如果年平均增長率r很小，我們可以用（1+r）^r≈e^rt，從而簡(jiǎn)化計(jì)算。

實(shí)際上，深入研究任何指數(shù)（型）函數(shù)，都無法避免數(shù)字e?？赡苡腥藭?huì)說，我們學(xué)習(xí)以2，10，…為底的指數(shù)函數(shù)，不涉及數(shù)字e的情況啊。是這樣嗎？當(dāng)然不是，因?yàn)闆]有數(shù)字e，我們無法獲得函數(shù)f（x）=a^x的導(dǎo)數(shù)（如下）：

而導(dǎo)數(shù)是定量刻畫函數(shù)變化率的重要方法，是研究函數(shù)變化不可或缺的工具。由上面求導(dǎo)的過程我們發(fā)現(xiàn)，函數(shù)f（x）=a^x的導(dǎo)數(shù)是a^xlna，亦即函數(shù)f（x）=a^x在任一點(diǎn)的變化率與這點(diǎn)的函數(shù)值成比例，這個(gè)比是lna，與e有著直接的關(guān)系。從這個(gè)意義上，我們可以推斷以e為底的指數(shù)（型）函數(shù)，可以更好地描述連續(xù)變化。當(dāng)我們運(yùn)用連續(xù)的思想，通過極限的方法分析問題時(shí)。不可避免地涉及數(shù)字e。

總之，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們無法回避數(shù)字e，而且借助信息技術(shù)，在快速計(jì)算的基礎(chǔ)上，通過圖象直觀、極限與導(dǎo)數(shù)等方法研究指數(shù)函數(shù)，可以使我們更好地認(rèn)識(shí)指數(shù)函數(shù)的邏輯結(jié)構(gòu)，以及運(yùn)用連續(xù)方法描述離散變化問題的數(shù)學(xué)本質(zhì)。更好地發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)建模等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。