數(shù)學(xué)質(zhì)疑式課堂教學(xué)方法案例試析

傅海倫 曾冠予 紀(jì)曉慧

[摘要]課堂是進(jìn)行質(zhì)疑釋疑的主陣地，教師是指導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑釋疑的引路人。如何在課堂中指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行質(zhì)疑，是質(zhì)疑式教學(xué)的關(guān)鍵。本文旨在從課堂教學(xué)方法層面對(duì)質(zhì)疑式教學(xué)進(jìn)行分析研究，結(jié)合案例對(duì)在教學(xué)重點(diǎn)難點(diǎn)處質(zhì)疑、知識(shí)的變化處質(zhì)疑、某類問題的變式中質(zhì)疑、同一題目的不同解法上質(zhì)疑四種質(zhì)疑方法進(jìn)行詳細(xì)闡述。

[關(guān)鍵詞]質(zhì)疑式;教學(xué)方法;教學(xué)過程;案例

課堂是進(jìn)行質(zhì)疑釋疑的主陣地。教師是指導(dǎo)學(xué)生質(zhì)疑釋疑的引路人。教學(xué)中的質(zhì)疑指的既是一種學(xué)習(xí)方式：學(xué)生提出疑難問題，也是一種教學(xué)策略：教師鼓勵(lì)和指導(dǎo)學(xué)生在教學(xué)過程中同教師探討疑難問題。在課堂教學(xué)中，教師要根據(jù)學(xué)生對(duì)知識(shí)的實(shí)際掌握情況和深入學(xué)習(xí)的需要，在課上留出時(shí)間互動(dòng)交流。展開質(zhì)疑的過程和方法，特別是要在學(xué)生沒有聽懂或者不同意的地方向提出自己的疑惑，以便于生生間和師生間的辨疑、答惑和解疑。“授人以魚，不如授人以漁?！苯處熞笇?dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)質(zhì)疑的過程與方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察周圍的世界，發(fā)現(xiàn)并尋求數(shù)學(xué)問題。下面結(jié)合案例詳細(xì)闡述在課堂教學(xué)中進(jìn)行質(zhì)疑的方法。

1 在教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)處質(zhì)疑

一節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能，是一節(jié)課的核心知識(shí)，也是在學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中起核心固定作用的內(nèi)容。對(duì)于公式定理的概括過程及其證明的探索與發(fā)現(xiàn)過程，是發(fā)展學(xué)生思維能力的關(guān)鍵要素。從教學(xué)重點(diǎn)處質(zhì)疑。有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解和掌握。

例1“反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)”教學(xué)片斷。

（認(rèn)識(shí)反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)是教學(xué)重點(diǎn)。教師應(yīng)注重設(shè)計(jì)師生、生生之間的質(zhì)疑環(huán)節(jié)。引導(dǎo)學(xué)生自己探索發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象特點(diǎn)及原因，從而深層次地思考和理解反比例函數(shù)。對(duì)于學(xué)生預(yù)習(xí)中不理解的問題，教師課上讓學(xué)生一起思考交流。）

（反比例函數(shù)圖象不與坐標(biāo)軸相交是反比例函數(shù)的特點(diǎn)，也是學(xué)生剛接觸反比例函數(shù)較難理解，需要注意的地方。對(duì)于其原因和生生質(zhì)疑的問題。教師應(yīng)善于引導(dǎo)，抓住本質(zhì)，使學(xué)生深入思考，加深理解。）

（此時(shí)，反比例函數(shù)圖象的情況學(xué)生已理解，學(xué)生也就反比例函數(shù)圖象進(jìn)一步提出了猜想。教師在學(xué)生猜想的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)不同的反比例函數(shù)讓學(xué)生進(jìn)行分類，通過分類既可以使學(xué)生從整體上思考分析反比例函數(shù)，驗(yàn)證自己的想法，又可以逐步總結(jié)反比例函數(shù)圖象及其性質(zhì)。）

生：從中可以總結(jié)規(guī)律，若兩個(gè)反比例函數(shù)圖象既關(guān)于y軸對(duì)稱，又關(guān)于X軸對(duì)稱，那么這兩個(gè)反比例函數(shù)的k為相反數(shù)。

（學(xué)生已經(jīng)從圖象的角度進(jìn)行了分類，此時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步加深思考，在此處設(shè)計(jì)師生質(zhì)疑環(huán)節(jié)，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度，從單純考慮函數(shù)圖象的不同上升，到思考導(dǎo)致其圖象不同的根本原因——表達(dá)式的不同，這也是本節(jié)課的重點(diǎn)內(nèi)容。）

2 在知識(shí)的變化處質(zhì)疑

在知識(shí)的變化處質(zhì)疑，也就是在知識(shí)之間的區(qū)別、聯(lián)系處質(zhì)疑。學(xué)生憑借已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)和做題方法，通過比較相似問題，發(fā)現(xiàn)問題的異同點(diǎn)，從而找到突破點(diǎn)。從知識(shí)的變化處質(zhì)疑，有針對(duì)性地提出問題，解決問題，有利于加深對(duì)問題和知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)。

例2“一次函數(shù)圖象特點(diǎn)”教學(xué)片斷。

生1：正比例函數(shù)是一次函數(shù)的特例，是一次函數(shù)中b為0的情況，那對(duì)于正比例函數(shù)的一些性質(zhì)，在一次函數(shù)中是不是應(yīng)該同樣適用？

師：下面在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)做出一次函數(shù)y=2x+6，y=-x，y=-x+6，y=5x的圖象（圖1）。

（正比例函數(shù)與一次函數(shù)的不同在于一次函數(shù)表達(dá)式中的b。教師在這個(gè)知識(shí)的變化處人手。引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考正比例函數(shù)圖象性質(zhì)與一次函數(shù)圖象性質(zhì)的區(qū)別和聯(lián)系，探索發(fā)現(xiàn)本節(jié)課的重要內(nèi)容。）

師：我們一起思考第一個(gè)同學(xué)的問題，看看正比函數(shù)圖象的性質(zhì)是否也是一次函數(shù)圖象的性質(zhì)。

生2：在函數(shù)y=2x+6中，k>0，y的值隨x值的增大而增大;在函數(shù)y=-x+6中，k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減小。一次函數(shù)y=kx+b圖象，y的值隨x的變化而變化的情況與正比例函數(shù)的圖象性質(zhì)相同，取決于k值正負(fù)。

生3：一次函數(shù)與正比例函數(shù)圖象是有變化的，圖象中可以看出一次函數(shù)圖象不經(jīng)過原點(diǎn)。并且圖中畫的一次函數(shù)圖象都與兩個(gè)坐標(biāo)軸都相交。那么是不是一次函數(shù)（b≠0）圖象一定與兩個(gè)坐標(biāo)軸相交呢？

（k，b對(duì)函數(shù)圖象位置的影響也是一次函數(shù)與正比例函數(shù)圖象研究的一個(gè)不同點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖象的位置關(guān)系人手，逐步由表及里深入思考發(fā)現(xiàn)影響函數(shù)圖象位置關(guān)系的原因。）

師：觀察兩個(gè)函數(shù)圖象之間的位置關(guān)系，大家還能提出什么問題嗎？

生5：從圖象中可以看出y=-x和y=-x+6是平行的，它們x前的系數(shù)相同都是-1，是不是k值相同兩個(gè)函數(shù)的圖象平行呢？函數(shù)圖象間的位置關(guān)系是否是由k值決定？

師：這個(gè)問題很好，對(duì)y=-x與y=-x+6以及y=2x+6與y=-x+6這兩組函數(shù)，大家將函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象的位置關(guān)系結(jié)合起來思考，看看能有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生6：y=-x和y=-x+6，x前的系數(shù)相同都是-1，二者平行;y=2x+6與y=-x+6，x前的系數(shù)不同，兩直線相交。也就是說，k相同，b不同，兩直線平行，k不同，兩直線相交。

生7：y=2x+6和y=5x的圖象，可以看出y=5x圖象中函數(shù)值變化非常大，是否能說明函數(shù)值變化的快慢取決于k值，k值越大，函數(shù)變化的越快，增長(zhǎng)的越快？

生8：k值越大，函數(shù)變化的越快我認(rèn)為不對(duì)，上面這種情況只是k>0的情況，k<0的情況我們并沒有討論。

（k值的幾何意義，對(duì)函數(shù)值變化的影響是學(xué)生較難理解的地方，教師引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)表達(dá)式與函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法探索原因，發(fā)現(xiàn)結(jié)果，提高思維水平。）

師：很好，這位同學(xué)注意到了分類討論，想一下k<0時(shí)結(jié)論一樣嗎？

生9：當(dāng)k<0時(shí)，以y=-x+6和y=-2x+6為例，x每增加一個(gè)單位，y=-x+6減少1個(gè)單位，y=-2x+6減少2個(gè)單位。函數(shù)值變化的快慢也是取決于k值，k<0時(shí)，k值越小，函數(shù)變化的越快。

師：大家能不能找一下規(guī)律，將這兩個(gè)結(jié)論統(tǒng)一一下呢？

（A>0，k<0兩種情況學(xué)生很難一下總結(jié)出來，教師要一步步引導(dǎo)學(xué)生，從k>0的情況聯(lián)想到k<0的情況，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生兩種情況能否統(tǒng)一起來，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性邏輯性。）

生：函數(shù)值變化的快慢取決于k值，|k|值越大，函數(shù)變化（增大或減小）的越快。

正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)。二者的性質(zhì)既有共同點(diǎn)又有不同點(diǎn)，學(xué)生從正比例函數(shù)的性質(zhì)出發(fā)，發(fā)掘一次函數(shù)圖象與正比例函數(shù)圖象的異同點(diǎn)。一次函數(shù)表達(dá)式中的b。是一次函數(shù)與正比例函數(shù)的不同點(diǎn)，通過師生、生生質(zhì)疑使學(xué)生總結(jié)一次函數(shù)的特點(diǎn)。對(duì)于表達(dá)式中k，b對(duì)函數(shù)圖象位置的影響是教學(xué)的難點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)形結(jié)合的角度深入思考，小組交流共同得出一次函數(shù)圖象的性質(zhì)。

3 在某類問題的變式中質(zhì)疑

數(shù)學(xué)題千變?nèi)f化，靈活多樣，對(duì)于同一類問題中一個(gè)條件、一個(gè)字的改變。整個(gè)題目的題意就變了，如果學(xué)生不能理解，將導(dǎo)致錯(cuò)誤的結(jié)論。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，有意識(shí)的讓學(xué)生在一類問題的變式中質(zhì)疑，可以提高學(xué)生思維的靈活性。

例3一元二次方程習(xí)題變式。

師：大家一起來看一道有關(guān)一元二次方程的問題：已知關(guān)于X的方程x²-2x+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的范圍。

生：由△=b²-4ac>0得到4-4a>0，即a<1.

（原問題屬于一元二次方程常規(guī)的利用根的判別式求解的問題，學(xué)生按照步驟很容易做出，接下來教師要在此基礎(chǔ)上對(duì)方程進(jìn)行變形。使其不是完全意義上的一元二次方程，需要學(xué)生深入思考分析，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力和發(fā)散思維。）

師：下面我們對(duì)這道題變一下形。

變式l：已知關(guān)于x的方程ax²-2x+a=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求a的范圍。

生1：由△=b²-4ac>0得到4-4a²>0，即-1

生2：不對(duì)，要進(jìn)行分類討論，當(dāng)a=0時(shí)，方程變?yōu)?2x=0為一次函數(shù)。只有一個(gè)解。所以正確的結(jié)果應(yīng)該是-1

（雖然變式l與原式只有二次項(xiàng)系數(shù)的不同，但題干已經(jīng)發(fā)生巨大變化，二次項(xiàng)系數(shù)含參，方程不是完全意義上的一元二次方程，它涉及兩種可能的情況，學(xué)生剛接觸，很難一下注意到問題的本質(zhì)，教師不易直接解釋應(yīng)設(shè)置質(zhì)疑環(huán)節(jié)，使學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)。）

生3：為什么要分類討論？什么情況下要分類討論呢？

師：這位同學(xué)的問題很好，大家一起來思考一下。

生4：原題二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)，一定是一元二次方程，因此可以用一元二次方程的判別式。但是變式1二次項(xiàng)的系數(shù)含參數(shù)。就要考慮系數(shù)是否為0的情況。二次項(xiàng)系數(shù)為0方程是一次方程。只可能有一根，二次項(xiàng)系數(shù)不為0時(shí)，方程才是一元二次方程。因此不能直接用判別式，要進(jìn)行分類討論。

（學(xué)生經(jīng)過思考討論后，已對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)含參的方程有了一定了解，也有了分類討論的意識(shí)。下面，教師應(yīng)趁機(jī)再向?qū)W生設(shè)置一道相關(guān)的題目，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和分類討論思想方法的應(yīng)用。）

師：很好，從這兩道題中我們看出當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)時(shí)，方程不一定是一元二次方程。做題時(shí)要分類討論，下面，我們?cè)賹?duì)原式變一下形式：

變式2：已知關(guān)于X的方程ax²-2x+a=0有1個(gè)根，求a得范圍。

生5：當(dāng)a=0時(shí)，方程為-2x=0為一次函數(shù)，只有一根。

生6：還有一種情況，當(dāng)a≠0時(shí)，方程為一元二次方程，△=b²-4ac=0時(shí)，兩根相同也即一根，此時(shí)a=±1，所以a的范圍是0或1或-1.

師：很好，這道題又給我們什么啟發(fā)呢？

生7：在二次項(xiàng)系數(shù)含參數(shù)的方程中，方程有一根要考慮兩種情況，一次方程的情況和一元二次方程兩個(gè)相等實(shí)根的情況。

（韋達(dá)定理的應(yīng)用以及方程與函數(shù)的聯(lián)系是一元二次方程的又一難點(diǎn)，教師將這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合，對(duì)原式進(jìn)行改造，繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生深入思考。）

師：下面，我們?cè)賹?duì)一元二次方程進(jìn)行變形?？匆幌掠衷撊绾嗡伎?？

變式3：已知關(guān)于x的方程x²-（2m+1）x+m²-1=0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x₁，x₂，求x₁²+x₂²的最小值。

（變式練習(xí)結(jié)束，教師應(yīng)加以總結(jié)歸納，提醒學(xué)生注意的地方。讓學(xué)生思考變式之間的不同以及不同變式的做法，加深理解，避免在以后的做題中出錯(cuò)。）

教師從常規(guī)考察一元二次方程判別式的問題出發(fā)，變式深化到方程二次項(xiàng)系數(shù)含參的情況，通過生生質(zhì)疑體會(huì)分類討論的思想。最后將考察一元二次方程的判別式、韋達(dá)定理的靈活運(yùn)用、方程與函數(shù)之間的轉(zhuǎn)化以及二次函數(shù)求最值問題相結(jié)合。設(shè)置一道綜合題，使學(xué)生從中體會(huì)轉(zhuǎn)化的思想。通過一系列的變式問題達(dá)到使學(xué)生感受題目之間的不同和不同問題所用的方法。

4 在同一題目的不同解法上質(zhì)疑

對(duì)于同一個(gè)問題，往往會(huì)有不同的解法，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同的角度、不同的思路，用不同的方法分析、解答同一個(gè)問題既有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)、掌握數(shù)學(xué)思維方法，提高綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，又可以鍛煉學(xué)生思維的靈活性，開闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性。

例4如圖2.在△ABC中。AD是BC邊上的中線。AB=8.AC=6.求AD的取值范圍。

（教師引導(dǎo)學(xué)生從題目考察的知識(shí)點(diǎn)人手，思考解題方法。）

師：大家思考一下這道題涉及哪些知識(shí)點(diǎn)，又該如何去做？

生1：三角形中涉及邊長(zhǎng)，所求的又是AD長(zhǎng)的范圍，應(yīng)該與三角形的性質(zhì)“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”有聯(lián)系。

生2：圖中以AD為邊的兩個(gè)三角形都只知一邊的長(zhǎng)度，利用三角形性質(zhì)求解要知兩邊，又該如何做呢？

生3：直接求AD不好做，可以對(duì)所要求的AD進(jìn)行轉(zhuǎn)化。所給圖形可以看成是平行四邊形的一半，AD可以看成對(duì)角線的一半。過C作AB的平行線，過B作AC的平行線交于點(diǎn)E。則ABCE是平行四邊形，延長(zhǎng)AD至E，如圖3，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)AC=BE=

（通過學(xué)生討論，在第一種方法的解題過程既鞏固了三角形的性質(zhì)又利用了平行四邊形的知識(shí)點(diǎn)，思考的過程又潛移默化地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，實(shí)現(xiàn)了知識(shí)間的融會(huì)貫通。）

生4：圖中以AD為邊的兩個(gè)三角形不好求解，可以添加輔助線再構(gòu)造一個(gè)以AD為邊的三角形。

（做輔助線，是解決平面幾何問題的工具，也是學(xué)生應(yīng)掌握的一項(xiàng)能力。在△ABD中添加輔助線，學(xué)生不易直接想到，也不易看出做輔助線的隱含條件，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生逐步發(fā)現(xiàn)隱含條件以及作輔助線的最佳方式。）

師：好，我們來看一下如何添加輔助線，以AD為邊，構(gòu)造的三角形一定在△ABD和△ACD中，一般添加輔助線有作垂線和連接中點(diǎn)，對(duì)于這道題該如何作呢？

生5：作垂線沒有任何作用，那就是連接D與AB的中點(diǎn)了。

生7：根據(jù)這個(gè)思路，還有一條做輔助線的方法，將D與AC的中點(diǎn)C相連，DG是△ABC的中位線，同樣的做法1

師：很好，同學(xué)們舉一反三，又發(fā)現(xiàn)另一種做輔助線的方法?，F(xiàn)在來看，我們有三種方式做輔助線解題，大家再體會(huì)一下三種方法。

直接求解不易做，學(xué)生互相討論啟發(fā)，從“補(bǔ)形”到劃分輔助線分割，創(chuàng)造條件，充分利用題目中的隱含條件將問題轉(zhuǎn)化求解。教師啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生，拓展學(xué)生的思維，同時(shí)體會(huì)做輔助線時(shí)的思維過程，再通過一題多解，鍛煉學(xué)生的思維的靈活性。

數(shù)學(xué)質(zhì)疑式教學(xué)致力于問題驅(qū)動(dòng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)觀、學(xué)習(xí)觀的轉(zhuǎn)變，注重在教師的引導(dǎo)下，充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，啟發(fā)學(xué)生主動(dòng)提出問題、深入思考問題，并鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問難，提出獨(dú)到見解，從而在培養(yǎng)學(xué)生有理由、有根據(jù)地學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、思考和表達(dá)的基礎(chǔ)上，有利于進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生批判性的思維品質(zhì)，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和創(chuàng)新精神。課堂教學(xué)中學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力得到充分鍛煉，思維量大，課堂生成多，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，也讓學(xué)生體會(huì)到了解決問題的質(zhì)疑過程和成功的喜悅。當(dāng)然，質(zhì)疑式課堂教學(xué)對(duì)教師的課堂掌控能力要求較高，教師既要給學(xué)生充分的時(shí)間質(zhì)疑和思考問題，又要在有限的教學(xué)時(shí)間內(nèi)完成解疑、答疑的過程和教學(xué)任務(wù)。這將促使教師的教學(xué)方式和學(xué)生的學(xué)習(xí)方式發(fā)生根本性的轉(zhuǎn)變。