磁軸承的遺傳優(yōu)化的變論域模糊PID 控制

孫志瑞，張艷兵，王慧芬

（1.中北大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，山西 太原 030051；2.中北大學(xué) 電子測試技術(shù)國家重點實驗室，山西 太原 030051）

0 引 言

磁懸浮軸承以主動磁懸浮軸承為主，是一種對支撐部件很好的選擇，如參考文獻[1?3]描述它的優(yōu)點是：可以使轉(zhuǎn)子無機械接觸，能夠無摩擦轉(zhuǎn)動，使轉(zhuǎn)子的速度大幅度提升，能夠達到40 000 r/min。參考文獻[1]所述目前主要用在新能源領(lǐng)域的飛輪儲能、機床等，在動力領(lǐng)域方面有離心壓縮機、分子渦流泵等，通過對徑向磁軸承、軸向磁軸承進行控制，達到其支撐的轉(zhuǎn)子能夠穩(wěn)定懸浮并高速旋轉(zhuǎn)，因此，對磁軸承控制算法的要求比較高。

當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離中心位置時，磁軸承產(chǎn)生的電磁力也要發(fā)生相應(yīng)的改變，使轉(zhuǎn)子回到中心平衡位置，這就需要系統(tǒng)快速、準確地響應(yīng)去滿足此要求，因此控制器的選擇很重要。目前參數(shù)、負載大幅度的非線性變化，使傳統(tǒng)的PID 控制很難達到設(shè)計的理想初衷[1?2]。模糊PID控制因有一定的控制規(guī)則，導(dǎo)致對自我校正能力產(chǎn)生很大影響，在消除系統(tǒng)誤差上表現(xiàn)很差，當(dāng)系統(tǒng)趨于穩(wěn)定時，易引起小范圍震蕩，難以得到很好的控制精度[3?4]。另外，變論域模糊PID 控制雖然通過對基礎(chǔ)論域進行劃分，對控制精度有一定的提高，但是規(guī)則數(shù)太多，不能快速地反映實時性。因此，本文通過利用遺傳算法對控制器PID 參數(shù)值進行離線優(yōu)化，將其作為在線調(diào)值的初值，再通過選用合適的伸縮因子，使基本論域隨著控制需要自適應(yīng)發(fā)生伸縮變化，從而提高控制的精度，降低超調(diào)，有很好的自適應(yīng)能力。

1 磁懸浮軸承系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

單自由度磁懸浮軸承控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖1 所示。轉(zhuǎn)子由左右兩線圈相向配置通過勵磁電流進行差動控制。位置傳感器檢測出轉(zhuǎn)子相對于平衡位置產(chǎn)生的誤差，將此誤差送到控制器，經(jīng)由事先規(guī)定的控制方法回到中心平衡位置所需的控制變量，將其送到功率放大器，經(jīng)功率放大器產(chǎn)生足夠大小的控制電流，使電磁鐵產(chǎn)生相應(yīng)的電磁力，從而使轉(zhuǎn)子能夠穩(wěn)定懸浮。

圖1 單自由度磁懸浮軸承控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

在均勻氣隙磁通，不考慮鐵芯磁阻、漏磁的情況下，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離平衡位置時，經(jīng)過傳感器檢測出轉(zhuǎn)子偏離平衡位置的位移為l0，氣隙分別為l+l0和l-l0，控制器通過轉(zhuǎn)換電路將檢測到變化，并將其轉(zhuǎn)換成控制信號的形式輸出，該信號被傳輸至功率放大器，經(jīng)過一定處理生成控制電流i，i1=i0+i，i2=i0-i（i1，i2為激勵電流）。

驅(qū)動電磁線圈產(chǎn)生電磁力之差為F=F1-F2，F(xiàn)1，F(xiàn)2的表達式分別如下：

當(dāng)轉(zhuǎn)子軸心有微小位移時，由牛頓第二定律得到轉(zhuǎn)子的運動方程為：

用泰勒級數(shù)對式（1）在（i0，l）處展開，進行線性化后，可得：

對式（2）進行拉普拉斯變換，得到磁懸浮軸承轉(zhuǎn)子的傳遞函數(shù)為：

2 遺傳算法離線優(yōu)化PID 參數(shù)初始值

針對PID 參數(shù)整定困難，常規(guī)控制器參數(shù)往往整定不良，所以選擇了與一般整定PID 參數(shù)初始值有差異的方法，以遺傳算法為基礎(chǔ)的尋優(yōu)對其實施離線優(yōu)化。優(yōu)化流程圖如圖2 所示。

圖2 遺傳優(yōu)化PID 參數(shù)流程圖

優(yōu)化步驟具體如下：

1）遺傳算法的初始步驟是以待優(yōu)化參數(shù)取值范圍為依據(jù)，生成相關(guān)參數(shù)組合；

2）經(jīng)過仿真操作獲取參數(shù)組合的系統(tǒng)誤差，從而成功獲取ITAE 指標數(shù)據(jù)；

3）將ITAE 傳送至優(yōu)化程序即可。

每個參數(shù)的編碼長度由該參數(shù)的取值范圍和搜索精度確定。本次研究選取二進制作為編碼方式[5?7]，且的取值范圍依次是[0，50]，[0，150]，[0，10]，圖2中幾個重要參數(shù)的設(shè)置情況如下：種群數(shù)n 設(shè)置為30，最大遺傳代數(shù)Gmax設(shè)置為50，交叉概率Pc設(shè)置為0.8，變異概率Pm設(shè)置為0.001。個體適應(yīng)度函數(shù)在遺傳算法中起重要的作用，在個體的認可過程中作為一種評判能力，個體適應(yīng)度函數(shù)形式如下[5]：

式中J 為ITAE 性能指標。

經(jīng)由交叉、變異、持續(xù)搜索，最終尋找到控制器優(yōu)化后的PID 初始參數(shù)值

3 變論域模糊PID 控制

3.1 變論域模糊PID 控制原理

該控制原理的核心思想在于模糊控制規(guī)則的不變性，根據(jù)誤差及誤差變化率的變化，引入一個伸縮因子使得初始模糊論域持續(xù)伸縮。如果誤差變大，論域就會隨之變大；反之，如果誤差變小，論域就會隨之而變小。這相當(dāng)于在一個小范圍內(nèi)細分化了原有的控制規(guī)則，從而達到提升控制精度的目的[8?9]。

假設(shè)輸入變量的初始論域為[-E,E]，伸縮因子為α(x)，通過不斷伸縮改變論域的大小，得到伸縮之后的論域為[-α(x)E,α(x)E]，因此，根據(jù)系統(tǒng)需求，通過伸縮因子不斷調(diào)整初始論域，達到改變論域的目的[10]。

3.2 變論域模糊PID 控制器設(shè)計

變論域模糊PID 控制的主要內(nèi)容是借助于一定條件對論域大小進行伸縮調(diào)整，從而滿足多種控制器參數(shù)的范圍和精度要求，根據(jù)系統(tǒng)需求的變化進行調(diào)控，實現(xiàn)系統(tǒng)的穩(wěn)定運行。參考文獻[11]采用函數(shù)形式表達論域伸縮因子，函數(shù)模型如下：

式中λ ∈(0,1)，k>0。

考慮到伸縮因子選擇的合適與否對控制效果有著較大的影響，因而將伸縮因子的選取作為評價變論域模糊PID 控制器功能高低的準則，從而構(gòu)建基于遺傳算法的變論域模糊PID 控制器，其結(jié)構(gòu)框圖如圖3 所示。

圖3 控制結(jié)構(gòu)框圖

圖3 中模糊控制器為基于誤差e 及誤差變化量ec 的PID 增益調(diào)整型控制器，控制過程如下：

1）經(jīng)過誤差e 及誤差變化量ec 根據(jù)伸縮因子函數(shù)模型得到輸入變量e，ec 的伸縮因子，然后經(jīng)過變論域模糊推理得到輸出變量Δkp，Δki，Δkd的伸縮因子βpid。

2）通過分別調(diào)整模糊控制器的量化因子ke，kec和比例因子Lm，m=p,i,d 實現(xiàn)輸入輸出變量論域的改變。

3）在線整定參數(shù)kp，ki，kd以提升系統(tǒng)控制能力的精度。

3.3 系統(tǒng)參數(shù)及規(guī)則設(shè)定

在進行一定量的實驗和調(diào)試之后，獲取輸入變量的兩個重要指標數(shù)據(jù)，即位移偏差e 和位移偏差變化率ec，它們的論域范圍是[-0.3，0.3]和[-6，6]，而Δkp，Δkd，Δki這3 個輸出變量的論域范圍是[-3，3]，[-0.6，0.6]，[-3，3]。另外，根據(jù)伸縮因子的函數(shù)模型（見式（6）），取λ=0.6，k=0.5，可得到輸入變量e，ec 的伸縮因子，輸出變量Δkp，Δkd的伸縮因子具有與誤差的單調(diào)一致性，而Δki的伸縮因子的特征與誤差具有單調(diào)反向性關(guān)系，因此，其論域的伸縮因子需要實現(xiàn)Δkp，Δkd較大[12?14]，而Δki較小的輸出結(jié)果，所以Δkp，Δkd，Δki的伸縮因子設(shè)置狀況如下所有變量的模糊論域取{-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5，6}，也就是{NB，NM，NS，ZO，PS，PM，PB}，它們的含義則是以零為中介點，左邊代表負大、負中、負小，右邊代表正小、正中、正大[15]，其中隸屬度函數(shù)均采用三角形函數(shù)。再者，控制系統(tǒng)按照Mamdani 模糊推理法合成規(guī)則，其中，變論域模糊PID 控制只是在模糊PID 控制前面增加了一個對基本論域進行伸縮的過程，實現(xiàn)模糊變論域的調(diào)整，模糊PID 參數(shù)調(diào)整算式為其中為經(jīng)遺傳算法優(yōu)化的PID 三個初始值，Δkp，Δkd，Δki為模糊控制器的輸出，也就是PID 的調(diào)整值。

4 系統(tǒng)仿真結(jié)果及分析

磁懸浮軸承對轉(zhuǎn)子控制實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮，在Matlab 中的Simulink 搭建仿真圖進行仿真分析。

仿真中各參數(shù)取值如下：磁懸浮轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為150 kg，位移剛度系數(shù)δ2=2.6×106，電流剛度v=129，N=80，s=3.61×10-2m2，l0=0.03 m，量化因子ke=30，kec=0.75，比例因子Lp=0.5，Ld=0.5，Li=0.1。將參數(shù)代入式（4），得到控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

在Matlab 中的Simulink 進行仿真，仿真結(jié)果如圖4所示。圖中共有3 條曲線，在高峰位置最高的曲線代表的是模糊PID 控制，最低的曲線是遺傳算法?變論域模糊PID 控制，而中間的曲線是變論域模糊PID 控制。

由圖4 可知：模糊PID 控制在約0.14 s 處達到穩(wěn)定，超調(diào)約為10%；變論域模糊PID 控制比前者控制有明顯的提高，系統(tǒng)0.11 s 進入穩(wěn)定，超調(diào)大約為6%；而經(jīng)遺傳優(yōu)化的變論域模糊PID 控制系統(tǒng)約在0.02 s 處達到穩(wěn)定，可以快速地調(diào)節(jié)使軸承轉(zhuǎn)子回到穩(wěn)定平衡位置，更能滿足系統(tǒng)的響應(yīng)需求。因此所設(shè)計的經(jīng)遺傳優(yōu)化的變論域模糊PID 控制更好地改善了控制性能。

圖4 主動磁懸浮軸承位移響應(yīng)曲線

系統(tǒng)在0.18 s 處突然加一個擾動，改變負載時，通過仿真圖5 可以看出，本文提出的控制算法對磁懸浮軸承的控制具有較強的自適應(yīng)能力，系統(tǒng)響應(yīng)速度快，約用時0.03 s 恢復(fù)到穩(wěn)定。

圖5 系統(tǒng)在0.18 s 處加擾動仿真圖

5 結(jié) 論

磁懸浮軸承的轉(zhuǎn)子在高速運轉(zhuǎn)狀態(tài)下，其系統(tǒng)具有很強的非線性，因此對控制器的要求很高。本文根據(jù)主動磁懸浮軸承的特性分析，結(jié)合變論域模糊控制、PID控制的特點，設(shè)計了經(jīng)遺傳優(yōu)化的變論域模糊PID 控制器，使得系統(tǒng)有很好的動靜態(tài)特性，提高了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，穩(wěn)定性達到了要求，滿足實驗特性，具有很強的適應(yīng)性。