矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用探索

李燕娟

摘 要

矩陣的初等變換在線性代數(shù)中起著舉足輕重的作用，本文基于行、列階梯形矩陣研究矩陣的初等行、列變換，并多角度、多解法舉例探索初等變換在求矩陣的秩、求逆矩陣、解矩陣方程及求解線性方程組等中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞

初等變換;線性代數(shù);矩陣

中圖分類號(hào)： O151.2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 23

Abstract

The elementary transformation of matrix plays an important role in linear algebra. This paper studies the elementary row and column transformation of matrix on the basis of row and column stepped matrix， and explores the application of elementary transformation in the rank of matrix， inverse matrix， solving matrix equations and solving linear equations with multi-angle and multi-solution examples.

Key words

Elementary transformation; Linear algebra; Matrix

矩陣的初等變換是線性代數(shù)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容，絕大多數(shù)的的教材在講解矩陣的初等變換時(shí)，都會(huì)分別介紹矩陣的初等行變換和初等列變換。然而，現(xiàn)有文獻(xiàn)在探索矩陣的初等變換應(yīng)用時(shí)卻多數(shù)只運(yùn)用了初等行變換[1-3]。那么，可以運(yùn)用初等列變換來解決問題嗎？本文就此問題通過幾個(gè)題型來舉例說明初等行變換和初等列變換在解決相關(guān)問題中的應(yīng)用及區(qū)別，以解決學(xué)生心中的疑惑。

1 矩陣的初等變換

由文獻(xiàn)[4]和[5]，給出矩陣初等變換、行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、列階梯形矩陣、列最簡形矩陣的定義。

定義1[4]：下面3種對(duì)矩陣所作的變換稱為矩陣的初等行（列）變換：

（1）對(duì)調(diào)兩行（列）。

（2）以一個(gè)非零數(shù)乘某一行（列）的所有元素。

（3）某一行（列）所有元素的k倍加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去。

矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為初等變換。

定義2[5]：設(shè)A是m×n矩陣，A中的任一非零行中的第一個(gè)非零元素稱為首非零元，若矩陣A滿足：

（1）每個(gè)零行（如果存在的話）位于任一非零行的下方。

2 矩陣的初等變換在線性代數(shù)中的應(yīng)用

2.1 求矩陣的秩

因?yàn)槌醯茸儞Q不改變矩陣的秩，所以求矩陣的秩既可以進(jìn)行初等行變換化為行階梯形矩陣也可以進(jìn)行初等列變換化為列階梯形矩陣。

2.2 求逆矩陣

因?yàn)榉疥嘇可逆的充分必要條件是A→E，所以可以利用初等行變換將（A，E）化為（X，Y），若X=E，則A可逆且A-1=Y，還可以利用初等列變換將AE化為FP，若F=E，則A可逆且A-1=P。

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