基于數(shù)據(jù)擬合方法的電池剩余放電時(shí)間模型研究

高繼文

自普蘭特1859 年發(fā)明鉛酸蓄電池以來(lái)，其廣泛用于軍事、日常生活等各個(gè)方面.鉛酸電池放電過(guò)程中，在持續(xù)不變的電流強(qiáng)度下，電池的電壓變化呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，電壓隨著放電時(shí)間的增加而不斷下降，直到降至一個(gè)固定數(shù)值，稱(chēng)之為最低額定保護(hù)電壓，記為Um，且Um=9.0 V.當(dāng)電池被充滿(mǎn)電后，開(kāi)始讓它放電，隨著時(shí)間變化電壓也會(huì)相應(yīng)變化的趨勢(shì)關(guān)系稱(chēng)之為該電池的放電曲線(xiàn).文章將電池在現(xiàn)階段能夠持續(xù)供電的時(shí)間以及放電到保護(hù)電壓所需的時(shí)間作為探討的主要對(duì)象，其中提供的相關(guān)電池?cái)?shù)據(jù)來(lái)源于相同批次，當(dāng)其出廠(chǎng)時(shí)以不同的電流進(jìn)行相關(guān)放電測(cè)試研究，相同的電池在不同的衰減狀態(tài)下，再以相同的電流從充滿(mǎn)電狀態(tài)起，對(duì)其放電進(jìn)行相關(guān)記錄.并需要解決以下問(wèn)題：

其一，已給出相同的生產(chǎn)批次電池放電測(cè)試情況，請(qǐng)根據(jù)相關(guān)信息建立其放電曲線(xiàn)，再利用建立的放電曲線(xiàn)數(shù)學(xué)模型，當(dāng)電壓為9.8 V 時(shí)，分別以30.0 A，40.0 A，50.0 A，60.0 A和70.0 A 不同的電流強(qiáng)度放電，求其相應(yīng)的剩余放電時(shí)間是多少.

其二，試以20.0～100.0 A 任意一個(gè)恒定的電流強(qiáng)度下，構(gòu)建相應(yīng)的放電曲線(xiàn)數(shù)學(xué)模型，同時(shí)利用MRE 值對(duì)模型的精度進(jìn)行評(píng)估.當(dāng)電流強(qiáng)度I=55.0 A 時(shí)，繪制其放電曲線(xiàn)圖.

其三，同一個(gè)鉛酸電池在不同衰減狀態(tài)下，以相同的電流強(qiáng)度從充滿(mǎn)電開(kāi)始，觀(guān)察記錄其放電狀態(tài)，在已提供的衰減狀態(tài)3 下，試著討論預(yù)測(cè)電池的剩余放電時(shí)間（文中提到的3 個(gè)衰減狀態(tài)及相關(guān)數(shù)據(jù)均來(lái)自于2016 年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽C 題及附件數(shù)據(jù)）.

1 模型的建立

因?yàn)闄C(jī)器所需的電源如果發(fā)生故障，需要有后備的電池提供電源供給，但是如果在實(shí)際工作中沒(méi)有預(yù)先發(fā)現(xiàn)備用蓄電池問(wèn)題，這些疏忽都將導(dǎo)致無(wú)法挽回的損失.因此，檢測(cè)蓄電池健康運(yùn)行狀態(tài)是整個(gè)行業(yè)的重點(diǎn)研究方面之一［1］.

1.1 放電曲線(xiàn)的多項(xiàng)式模型

利用已有數(shù)據(jù)，提取電流強(qiáng)度與放電時(shí)間的相關(guān)數(shù)據(jù)，列出9 個(gè)電流強(qiáng)度值與分別對(duì)應(yīng)的放電時(shí)間關(guān)系表，如表1 所示.

表1 電流強(qiáng)度與放電時(shí)間變化表

顯然，基于表1 的數(shù)據(jù)變化，可得出電流強(qiáng)度與放電時(shí)間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，繪制出散點(diǎn)圖，如圖1 所示，從而可直觀(guān)地看到放電時(shí)間的變化情況.

根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，容易得出結(jié)論：隨著電流強(qiáng)度逐漸增大，放電時(shí)間逐漸減小.通過(guò)已給數(shù)據(jù)，同一個(gè)批次的電池出廠(chǎng)時(shí)，用不同的電流強(qiáng)度進(jìn)行放電測(cè)試，考慮到起始階段電池電壓穩(wěn)定性不夠，所以對(duì)30 min 后的電壓情況進(jìn)行研究更具有代表性.綜合比較后利用三次函數(shù)模型進(jìn)行擬合，利用EXCEL 畫(huà)出相應(yīng)的放電曲線(xiàn)圖，如圖2 所示.

圖1 電流強(qiáng)度與放電時(shí)間變化圖

圖2 電池電壓與時(shí)間變化的放電曲線(xiàn)

從圖2 可以看出，不同的電流強(qiáng)度下，電池電壓會(huì)逐漸降低，不斷接近額定的最低保護(hù)電壓，同時(shí)放電時(shí)間也不斷增加.通過(guò)擬合的方法，容易得出電池電壓U關(guān)于放電時(shí)間t的多項(xiàng)式數(shù)學(xué)模型，模型如下：

其中：ai(i=0,1,2,3)為相關(guān)系數(shù).

結(jié)合圖2，在不同的電流強(qiáng)度下，對(duì)電池電壓與時(shí)間進(jìn)行擬合，可以得出9 個(gè)三次函數(shù)多項(xiàng)式回歸方程，在此不一一列出.

1.2 MRE（平均相對(duì)誤差）模型

由MRE定義，建立如下模型：

根據(jù)平均相對(duì)誤差的定義，可知放電曲線(xiàn)在低壓段的質(zhì)量決定了電池放電時(shí)間的精度.考慮到電池放電曲線(xiàn)的采樣，在相同時(shí)間間隔下，電壓不高階段的樣本點(diǎn)相對(duì)較稀.所以已有數(shù)據(jù)中從Um開(kāi)始最大間隔小于等于0.005 V，從中總計(jì)提取電壓的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為231 個(gè)［2］.

根據(jù)公式（1）可得，當(dāng)I=80.0 A，構(gòu)建時(shí)間T與電壓u的三次函數(shù)多項(xiàng)式模型，即：

其中：ki(i=0,1,2,3)為相關(guān)系數(shù)，u為電壓.

當(dāng)I=80.0 A 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的三次函數(shù)為：

從數(shù)據(jù)中可以看出，Um開(kāi)始按不大于0.005 V 的最大間隔，一共提取231 個(gè)電壓的樣本點(diǎn)，即設(shè)N=231，當(dāng)I=80.0 A 時(shí)，MRE=0.006 51.按照相同的計(jì)算方法，不同的電流強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的MRE值，如表2 所示.

表2 不同電流強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的MRE 值

1.3 電池剩余放電時(shí)間模型

由模型（3）易知，時(shí)間T與電壓u的三次多項(xiàng)式模型，即T(u)=k3u3+k2u2+k1u+k0，（其中ki，i= 1，2，3 為相關(guān)系數(shù)），恒定電壓下，在以不同電流強(qiáng)度通電狀態(tài)下，可以求解相應(yīng)的剩余放電時(shí)間，求解模型如下：

在電壓恒定下，即電壓u=9.8 V，以I=70.0 A 時(shí)為例，則可得出T(u)=-70.391u3+1 621.8u2-12 132u+29 999，R2=0.999 9.

對(duì)該方程分別以電壓u=9.0 V 和u=9.8 V代入求解，最后可求得TS=250 min.同理在其他的電流強(qiáng)度下，所對(duì)應(yīng)的剩余放電時(shí)間也可一一求解，具體如表3 所示.

表3 不同電流強(qiáng)度下電池的放電時(shí)間

2 模型的求解

分析9 個(gè)不同電流強(qiáng)度下三次函數(shù)多項(xiàng)式的參數(shù)，同時(shí)觀(guān)察電流和多項(xiàng)式模型參數(shù)值的相關(guān)變化，利用MATLAB 軟件進(jìn)行分析，當(dāng)電流數(shù)值提高十個(gè)數(shù)量級(jí)時(shí)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值也降低一個(gè)數(shù)量級(jí)，而單調(diào)性始終不變.因此，指數(shù)函數(shù)模型的特性比較適合［3］，檢驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)擬合的效果較好，故建立優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型，模型如下：

其中：ai,bi為參數(shù)，i=0,1,2,3，A,t為自變量.

利用MATLAB 軟件，將EXCEL 的數(shù)據(jù)導(dǎo)入后，可得式（5）的參數(shù)值如表4 所示.

接著對(duì)已求解得到的數(shù)學(xué)模型，借助MATLAB 軟件畫(huà)圖、擬合等功能，逐步編程后擬合出電流強(qiáng)度為55 A 的放電曲線(xiàn)［4］，放電曲線(xiàn)如圖3 所示.

表4 參數(shù)值列表

圖3 電流強(qiáng)度為55 A 時(shí)的放電曲線(xiàn)

利用已建立的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)編程便可得到不同電流強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的MRE值，如表5所示.

表5 不同電流強(qiáng)度對(duì)應(yīng)的MRE 值

先對(duì)數(shù)據(jù)中衰減狀態(tài)3 的剩余放電時(shí)間進(jìn)行初步分析，再利用MATLAB 軟件中cftool分析工具的幫助對(duì)得出的數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合分析，容易得出所建立的函數(shù)是單調(diào)遞減的，同時(shí)可以用3 次函數(shù)模型來(lái)擬合［5］，所以可得模型如下：

利用MATLAB 軟件，將已得到的EXCEL數(shù)據(jù)導(dǎo)入后，對(duì)需要求解的參數(shù)通過(guò)軟件語(yǔ)言進(jìn)行編程.由于電池在放電過(guò)程中，其電壓在起始階段穩(wěn)定性差，因此對(duì)30 min 后的放電曲線(xiàn)狀態(tài)進(jìn)行考查研究［6］，利用相同的方法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，采用三次函數(shù)模型建模，并較容易的利用MATLAB 畫(huà)出電池放電曲線(xiàn)圖，如圖4 所示.

圖4 30 min 后電池的放電曲線(xiàn)

利用EXCEL、MATLAB 對(duì)相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，得到相關(guān)函數(shù)模型為：

所以，當(dāng)u=9 V 時(shí)，電池的剩余放電時(shí)間約為1 282.7 min.從而，得知這樣的結(jié)果與新電池放電樣本狀態(tài)下的時(shí)間1 281.1 min 契合度較高［7］.遵循同樣的步驟與方法可以很快確定在衰減狀態(tài)1 和衰減狀態(tài)2 下，當(dāng)u=9 V 時(shí)的電池的剩余放電時(shí)間.

因?yàn)槟Ｐ偷恼`差分析情況是衡量所建立的數(shù)學(xué)模型精度必須完成的關(guān)鍵環(huán)節(jié)［8-9］.用已給數(shù)據(jù)，對(duì)電池狀態(tài)中前3 個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行評(píng)估，然后利用預(yù)測(cè)得到的相關(guān)數(shù)據(jù)與實(shí)際的數(shù)據(jù)進(jìn)行對(duì)比，將回歸方程的誤差和殘差求出，殘差的求解公式如式（7）所示.

通過(guò)計(jì)算，可得到三個(gè)狀態(tài)下殘差及預(yù)測(cè)值，具體如表6 所示.

表6 預(yù)測(cè)值及殘差

利用表6 給出的數(shù)據(jù)，可以計(jì)算出殘差絕對(duì)值與實(shí)際數(shù)據(jù)的比值.求解模型如下：

其中：Ct為殘差絕對(duì)值和實(shí)際值的比值，|et|為殘差的絕對(duì)值，St為衰減狀態(tài)下的實(shí)際值.通過(guò)計(jì)算得到各狀態(tài)下的相關(guān)比值，如表7 所示.

表7 不同狀態(tài)下的比值

從表7 可以看出，每個(gè)狀態(tài)下的比值都小于1%，所以擬合的吻合程度較高［10］.因此可以對(duì)衰減狀態(tài)3 的剩余放電時(shí)間進(jìn)行比較準(zhǔn)確的預(yù)測(cè).由于在30 min 前電池的穩(wěn)定性較差，可以再次利用EXCEL、MATLAB 軟件對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到離散點(diǎn)，進(jìn)而擬合出放電曲線(xiàn)如圖5 所示.

圖5 30 min 后衰減狀態(tài)3 的放電曲線(xiàn)

根據(jù)圖5 擬合得到曲線(xiàn)方程

因此，當(dāng)u=9.0 V 的電池在放電時(shí)間T=807.4 min 時(shí)，經(jīng)計(jì)算可求出，在衰減狀態(tài)3下，鉛酸電池的剩余放電時(shí)間約為211 min.

3 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)已有數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)靥幚?，建立了?shù)學(xué)模型，并且繪制出相應(yīng)的可視化分析圖表，同時(shí)也對(duì)鉛酸電池放電預(yù)測(cè)進(jìn)行了深入探討，在解決問(wèn)題的思路和模型推廣應(yīng)用上可為其他同類(lèi)問(wèn)題的研究提供一定的借鑒.