考慮土性參數(shù)不確定性的單管凍結(jié)溫度場分析

王 濤,周國慶

(中國礦業(yè)大學深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室,江蘇徐州 221116)

考慮土性參數(shù)不確定性的單管凍結(jié)溫度場分析

王 濤,周國慶

(中國礦業(yè)大學深部巖土力學與地下工程國家重點實驗室,江蘇徐州 221116)

針對凍結(jié)法應用中的單管凍結(jié)相變熱傳導問題,考慮土性參數(shù)空間上的變異性,將土體傳熱區(qū)域的導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機場,基于隨機場局部平均理論,采用Neumann展開Monte-Carlo隨機有限元法對單管凍結(jié)隨機溫度場求解進行了分析,給出了有限元節(jié)點溫度響應的均值與方差計算公式,根據(jù)計算流程框圖編寫了求解單管凍結(jié)溫度場的Matlab隨機有限元計算程序。通過算例,得到了考慮土性參數(shù)不確定的單管凍結(jié)溫度場統(tǒng)計分布規(guī)律,并與將各隨機參數(shù)視為單一隨機變量的情況進行了對比。結(jié)果表明:隨機場及其局部平均理論能合理考慮土性熱學參數(shù)空間上的不確定性;土性熱學參數(shù)模擬為隨機場和隨機變量獲得的溫度均值分布規(guī)律基本相同;模擬為隨機變量得到的溫度場變異性偏高,采用隨機場建模方法顯得更加科學合理。

參數(shù)變異性;單凍結(jié)管;溫度場;隨機有限元

Key words:variability of parameters;single freezing pipe;temperature field;stochastic finite element

人工凍結(jié)技術(shù)是一種特殊的巖土加固技術(shù),它是采用低溫鹽溶液作為冷媒,在土體內(nèi)埋設的管道中循環(huán),吸收土體熱量,將地層凍結(jié)成封閉的結(jié)構(gòu)物——凍結(jié)壁,從而達到加固巖土體、隔絕地下水的目的,該技術(shù)已經(jīng)在礦山、隧道、地鐵等地下工程中得到廣泛應用[1]。

目前在凍結(jié)鑿井工程中,隨著表土層厚度的逐漸變深,凍結(jié)管布置也從早期的單圈發(fā)展到了多圈,問題也越來越復雜。由于影響井筒凍結(jié)溫度場的因素眾多,對多管凍結(jié)溫度場的認識目前仍很不系統(tǒng)、全面。鑒于單管凍結(jié)溫度場的研究是多管凍結(jié)溫度場研究的基礎(chǔ),許多學者對單管凍結(jié)問題進行了研究。文獻[2]基于相似理論,通過十萬余次數(shù)值模擬計算,進行了外壁恒溫條件下凍結(jié)管壁熱流密度變化規(guī)律的研究。文獻[3-4]給出了常熱流邊界條件下單管凍結(jié)溫度場的解析解答。文獻[5]給出了恒壁溫條件下的單管凍結(jié)溫度場的解析解。文獻[6]建立了考慮未凍水單管凍結(jié)溫度場的離散相變模型,并給出了模型的解析計算方法。

以上學者對單管凍結(jié)溫度場的分析沒有考慮土性參數(shù)隨機性的影響,把模型中所有參數(shù)均視為確定性變量來處理。由于巖土材料地質(zhì)作用的復雜性及工程勘查技術(shù)的限制,土性參數(shù)往往呈現(xiàn)出一定的空間變異性。文獻[7-8]采用隨機變量對土性參數(shù)進行了描述。文獻[9-10]采用隨機場理論對土性參數(shù)進行了描述。文獻[11]通過CPT資料研究了土性參數(shù)的隨機場特性。文獻[12]從分析土性參數(shù)變異性特征出發(fā),指出基于隨機場理論的建模方法更加科學合理。由于溫度場分析解法的復雜性,以有限單元法為代表的數(shù)值解法受到學者們的青睞。將土性參數(shù)視為隨機場,則原來的確定性溫度場分析變成了含有隨機場的不確定性溫度場分析,即所謂的隨機場有限元分析。文獻[13-14]率先提出隨機場理論,并對相關(guān)統(tǒng)計參數(shù)進行了定義與計算。文獻[15]引入隨機過程理論對結(jié)構(gòu)溫度場和溫度應力進行了分析。文獻[16]將隨機過程與熱傳導理論相結(jié)合,分析了內(nèi)燃機隨機熱沖擊成分對活塞溫度場的影響。文獻[17-18]在隨機熱傳導理論分析中考慮了參數(shù)的隨機過程作用。文獻[19]在凍土路基隨機溫度場分析中提到了隨機場離散問題,但未給出土性參數(shù)隨機場的詳細描述及局部平均隨機場的數(shù)字特征,且采用的一階攝動隨機有限元法對攝動量有嚴格的限制條件。目前,將影響凍結(jié)壁溫度場的熱學參數(shù)模擬為隨機變量或隨機場,采用隨機有限元法對凍結(jié)壁溫度場進行分析研究的文獻鮮有報道。

本文基于隨機場及其離散理論,將影響單管凍結(jié)溫度場的導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為連續(xù)寬平穩(wěn)隨機場,采用隨機場局部平均理論對各隨機場進行空間離散,結(jié)合能計算大變異系數(shù)且效率較高的Neumann展開Monte-Carlo隨機有限元法對單管凍結(jié)溫度場進行隨機有限元分析,并與將各隨機參數(shù)視為隨機變量的情況進行對比,為多管凍結(jié)溫度場及凍結(jié)壁強度與穩(wěn)定性分析奠定基礎(chǔ)。

1 單管凍結(jié)熱傳導問題的描述

1.1 熱傳導方程

由于凍結(jié)管的軸向尺寸遠遠大于徑向尺寸,在軸向的熱傳導相對于徑向弱得多,同時假設φ方向不傳熱,則單管凍結(jié)溫度場可簡化為平面軸對稱導熱問題,如圖1所示,根據(jù)顯熱容法,采用圓柱坐標系(r, φ,z)表示的熱傳導控制方程簡化為

式中,Cf為已凍區(qū)體積比熱容;Cu為未凍區(qū)體積比熱容;L為凍土體積相變潛熱;ΔT為發(fā)生相變的溫度區(qū)間;kf為已凍區(qū)導熱系數(shù);ku為未凍區(qū)導熱系數(shù); Tm為土體發(fā)生相變的溫度均值;t為時間;r0為凍結(jié)管外半徑。

1.2 邊界條件

式中,Tc為凍結(jié)管外表面溫度;T0為土體的初始溫度。

1.3 初始條件

求解方程(1),還需要土體初始溫度場條件,即

圖1 單管凍結(jié)溫度場計算模型Fig.1 Calculationmodel of temperature fieldaround a single freezing pipe

2 確定性有限元分析

根據(jù)一維問題的有限單元法,采用后差分法,可建立單管凍結(jié)溫度場的整體有限元方程,即

式中,系數(shù)矩陣[K]為溫度剛度矩陣;[N]為非穩(wěn)態(tài)變溫矩陣;{T}t為t時刻溫度列向量;{T}t-Δt為t-Δt時刻溫度列向量;{P}t為t時刻等式右端項組成的列向量。

在傳統(tǒng)確定性溫度場計算中,系數(shù)矩陣[K]、非穩(wěn)態(tài)變溫矩陣[N]、右端列向量{P}t均為確定量,因而方程(8)的解{T}t為確定值;由于土性參數(shù)呈現(xiàn)出一定的空間變異性,傳統(tǒng)的確定性單管凍結(jié)溫度場分析未曾考慮,因此,本文將導熱系數(shù)和體積比熱容視為隨機場,采用隨機場理論分析求解,并將分析結(jié)果和僅僅將隨機參數(shù)視為隨機變量得到的結(jié)果進行對比。

3 隨機場的局部平均離散

為了將隨機場反映到有限元典型方程中,就必須將隨機場離散化,空間離散和抽象離散兩種離散方法均可對土性參數(shù)隨機場進行近似描述。在程序編制的過程中,空間網(wǎng)格離散方法可以利用許多有限元的基本關(guān)系,程序可讀性較好,編寫相對容易[20]。由于單管凍結(jié)溫度場特性取決于一定范圍內(nèi)土體空間熱學參數(shù)的平均性質(zhì),采用局部平均隨機場空間離散法較為合適。該方法具有對隨機場相關(guān)結(jié)構(gòu)不敏感的特點,只要給定參數(shù)隨機場的“點”均值μ、“點”方差σ2及相關(guān)偏度θ,便可計算隨機場的統(tǒng)計特性[21]。

3.1 隨機場的離散

假定隨機場網(wǎng)格已劃分好,熱學參數(shù)隨機楊X(r)就被離散成了隨機向量X=(X1,X2,…,XM)T,隨機向量X中隨機變量元素的統(tǒng)計特性可由隨機場X(r)在各局部平均隨機場單元的均值和方差來反映,隨機變量元素之間的相關(guān)性可以由協(xié)方差矩陣[V]M×M來反映。

將影響單管凍結(jié)溫度場的導熱系數(shù)和體積比熱容隨機性參數(shù)視為一維連續(xù)寬平穩(wěn)隨機場。設X(r)代表半徑為r處熱學參數(shù)的隨機值,{X(r)}構(gòu)成一個一維連續(xù)寬平穩(wěn)隨機場,若數(shù)學期望E[X(r)]為常數(shù)m,方差Var[X(r)]為常數(shù)σ2,則一維連續(xù)寬平穩(wěn)隨機場{Y(r)=X(r)-m}的均值、方差及協(xié)方差為

根據(jù)式(9)～(11)可知,分析局部隨機場的數(shù)字特征時可假設其均值函數(shù)為0而不失一般性。

3.2 一維隨機場單元的數(shù)字特征

單管凍結(jié)熱傳導問題可簡化為圖1所示的平面軸對稱導熱模型,由于φ方向不傳熱,該問題可視為一維的徑向熱傳導問題。采用圖2所示的一維單元離散隨機場,假定某參數(shù)隨機場為一個一維零均值的連續(xù)寬平穩(wěn)隨機場X(r),其數(shù)學期望E[X(r)]=m= 0,方差Var[X(r)]=σ2為常數(shù),定義單元i的局部平均隨機場為

式中,xi為單元i的中心點;Li為單元i的邊長;Xi為一維局部平均隨機場。

圖2 一維局部平均隨機場單元Fig.2 One-dimensional element of local average random field

局部平均隨機場的均值、方差及協(xié)方差為

式中,Г2(L)為X(r)的方差折減函數(shù);ρ(ξ)為標準相關(guān)系數(shù)。

由以上分析可知,只要已知標準相關(guān)系數(shù)ρ(ξ),方差折減函數(shù)Г2(L)即可由式(16)求出,得到方差折減函數(shù)Г2(L)后,局部平均一維隨機場的均值、方差及協(xié)方差均可求出。對于連續(xù)寬平穩(wěn)隨機場,Vanmarcke[14]推薦了一個方差折減函數(shù)的近似表達式:

式中,L為局部隨機場單元i的邊長;θ為隨機場X(r)的相關(guān)偏度;m為常數(shù),取1～3之間的值。

3.3 局部平均隨機場的獨立變換

根據(jù)隨機場局部平均理論求得的協(xié)方差矩陣為滿秩矩陣,對大型復雜結(jié)構(gòu)來說,要用大量的隨機變量來描述,其計算量很大。因此,本文引進特征正交化變換法,將相關(guān)隨機變量進行獨立變換,得到一組不相關(guān)的隨機變量。假定零均值相關(guān)隨機向量α=(α1,α2,…,αM)T,其協(xié)方差矩陣A=[Cov(αi, αj)],不相關(guān)隨機向量β=(β1,β2,…,βM)T,其方差為對角矩陣B=[Var(βi)]M×M,P為一線性變換矩陣,則存在如下關(guān)系:

式中,P為協(xié)方差矩陣A的特征向量矩陣;B為協(xié)方差矩陣A的特征值矩陣;m為相關(guān)隨機向量α的均值向量。

因此,只要對各隨機單元產(chǎn)生N(0,Var(βi))分布的不相關(guān)正態(tài)隨機變量,代入式(19)即可獲得離散化局部平均隨機場的樣本。

4 Neumann展開Monte-Carlo法求解分析

根據(jù)有限元方程式(8)、邊界條件方程及初始條件方程便可采用Monte-Carlo法計算單管凍結(jié)溫度場統(tǒng)計分布值。然而,當有限元單元和隨機場單元數(shù)目較多時,每次抽樣都要進行一次有限元分析,每次溫度剛度總矩陣的求逆將占用大量的計算時間。為了解決矩陣求逆的效率問題,本文引進Neumann展開式[22],以提高計算速度。

當已知上一時刻各有限元節(jié)點的溫度場{T}t-Δt,求解下一時刻各有限元節(jié)點的溫度場{T}t時,有限元方程式(8)可簡記為如下有限元典型方程,即

顯然,由于導熱系數(shù)和體積比熱容的隨機性將導致式(21)中的K及R也具有隨機性?，F(xiàn)將隨機方程(21)中的隨機剛度矩陣K分解,即

當‖K0

-1ΔK‖＜1時,由Neumann級數(shù)展開式可得

因此,根據(jù)T(0)=K0-1R求出T(0)后,便可根據(jù)式(24)求出T(1),T(2),T(3),……,代入式(23)便可求出溫度場T。式(23)為無窮多項矩陣,可用截斷的辦法只取前有限項之和。

對所得有限元節(jié)點溫度場列陣做如下的統(tǒng)計分析可求得均值矩陣E(T)、方差矩陣D(T),即

式中,Ti為第i次計算得到的有限元節(jié)點溫度列陣; N為隨機計算次數(shù)。

為了方便Matlab程序編寫,將式(25)代入式(26),得

根據(jù)以上分析,本文研制了考慮土性參數(shù)隨機性的單管凍結(jié)溫度場通用性隨機有限元程序,程序框圖如圖3所示。

5 算 例

根據(jù)實際凍結(jié)資料,以及凍結(jié)土和未凍土的熱物理性質(zhì)[2],并參考文獻[4-5],取:r0=0.079 5 m,T0= 15℃,Tc=-30℃,Tm=-0.5℃,ΔT=0.5℃,L= 102 590 kJ/m3,導熱系數(shù)及體積比熱容的取值見表1。

這里假設以上所有的隨機參數(shù)均服從正態(tài)分布,變異系數(shù)均為0.25。按平面軸對稱建模,進行圖4所示的有限元單元離散,共501個結(jié)點,500個單元。將導熱系數(shù)k、體積比熱容c模擬為一維連續(xù)寬平穩(wěn)隨機場,采用與有限元網(wǎng)格相同的隨機場網(wǎng)格,共劃分為500個隨機場單元,同時有2個不同的隨機場,隨機場離散后共有1 000個隨機變量。取體積比熱容和導熱系數(shù)為相互獨立的隨機場,采用Vanmarcke推薦的近似表達式計算方差折減函數(shù),取隨機場相關(guān)偏度θ=0.25,常數(shù)m=3,隨機計算8 000次,編制Matlab程序求解單管凍結(jié)隨機溫度場分布。為對比分析,這里補充計算將導熱系數(shù)k、體積比熱容c模擬為隨機變量的情況。

圖3 隨機溫度場計算流程Fig.3 Calculation flow chart of random temperature field

圖4 有限元和隨機場網(wǎng)格劃分Fig.4 Finite element and random field mesh

分別取凍結(jié)時間t=5,10,15,20,30,40,50和60,進行單管凍結(jié)隨機溫度場均值計算,圖5(a)為將導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機場得到的溫度均值分布;圖5(b)為將導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機變量得到的溫度均值分布;圖5(c)為將導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機場和隨機變量溫度均值分布結(jié)果的對比。從圖5(a)和(b)可以看出,將土體的導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機變量和隨機場時得到的節(jié)點溫度均值變化規(guī)律基本相同,總體呈對數(shù)函數(shù)形態(tài)變化,溫度均值變化率隨徑向坐標R的增加而減小,在凍結(jié)區(qū)溫度變化較陡、而在未凍結(jié)區(qū)溫度變化較緩且其變化率最終趨于0。由圖5(c)可知,模擬為隨機場和隨機變量得到的溫度均值分布相同。土性參數(shù)模擬為隨機場和隨機變量得到的均值結(jié)果與文獻[5]確定性模型的解析計算結(jié)果基本一致,從而印證了文中隨機模型的合理性和計算方法的正確性。

圖5 溫度均值分布Fig.5 Distribution ofmean temperature

分別取凍結(jié)時間t=5,10,15,20,30,40,50和60,進行單管凍結(jié)隨機溫度場方差計算,圖6(a)為將導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機場得到的方差分布;圖6(b)為將導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機變量得到的方差分布;圖6(c)為將導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機場和隨機變量方差分布結(jié)果的對比。由圖6(c)可知,將土體的導熱系數(shù)和體積比熱容模擬為隨機變量和隨機場時得到的節(jié)點溫度方差有較大差異。徑向坐標R相等處,模擬為隨機場得到的溫度方差明顯小于模擬為隨機變量得到的溫度方差,這與理論分析相符,因為隨機場局部平均理論分析中,計算參數(shù)由點特性過渡到空間平均特性時,需要采用方差折減函數(shù)Г2(L)對每個局部平均隨機場單元的方差進行折減,因此,將分布隨機參數(shù)模擬為單一隨機變量會高估其變異性。從圖6(a)和(b)可以看出,同一時刻不同徑向坐標位置處溫度方差有很大差異,其中,靠近凍結(jié)管和遠離凍結(jié)管的溫度方差較小,最小趨近于0;相變區(qū)附近的溫度方差較大。對于隨機場情況,5 d時對應的最大值為15.79℃2, 60 d時對應的最大值為14.31℃2;對于隨機變量情況,5 d時對應的最大值為17.47℃2,60 d時對應的最大值為15.29℃2。

圖6 方差分布Fig.6 Distribution of variance

6 結(jié) 論

(1)通過一維隨機場及其局部平均理論,建立了單管凍結(jié)溫度場分析中不確定性參數(shù)的描述方法,為理論分析和數(shù)值計算提供了依據(jù)。

(2)采用Neumann展開Monte-Carlo隨機有限元法,根據(jù)自行研制的Matlab隨機有限元程序?qū)喂軆鼋Y(jié)隨機溫度場進行了計算,獲得了凍結(jié)管周邊土體溫度場均值分布規(guī)律及標準差分布規(guī)律。

(3)局部平均隨機場的方差需要采用方差折減函數(shù)Г2(L)進行折減,將空間分布隨機參數(shù)模擬為單一隨機變量會高估其變異性,因此需采用隨機場建模方法。

(4)土性參數(shù)的隨機性將導致凍結(jié)溫度場分布的隨機性,本文對導熱系數(shù)及體積比熱容的統(tǒng)計特性進行了假定,實際應用中可根據(jù)相應文獻及地質(zhì)資料進行統(tǒng)計分析獲得。

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Analysis of tem perature field around a single freezing pipe considering variability of soil parameters

WANG Tao,ZHOU Guo-qing

(State Key Laboratory for Geomechanics and Deep Underground Engineering,China University ofMining and Technology,Xuzhou 221116,China)

For the freezing process induced by single freezing pipe during the application of artificial ground freezing technique,considering spatial variability of soil parameters,bymodeling the heat transfer coefficient and specific heat capacity as spatially random fields,an analysis to calculate the temperature field around a single freezing pipe was made by the Neumann expansion Monte-Carlomethod based on the local average theory of random field.The computational formulas ofmathematical expectation and variance were given.According to the calculation flow block,the stochastic finite element calculation program for solving the temperature field around a single freezing pipe waswritten by thematrix laboratory.An example was presented in order to demonstrate the effects of random field parameters on the temperature field around a single freezing pipe.These results were compared with the results which are derived when the permeability tensor is only dealtwith random variable.The results show that local average random field theory can consider the variability of soil parameters reasonably.The distribution ofmean temperature is basically same when the heat transfer coefficient and specific heat capacity aremodeled as spatially random fields and random variables.Itwill be overestimate the variability when simulate thermal parameters around a single freezing pipe as random variables.Therefore,themethod based on random field theory ismore scientific and reasonable.

TD265

A

0253-9993(2014)06-1063-07

王 濤,周國慶.考慮土性參數(shù)不確定性的單管凍結(jié)溫度場分析[J].煤炭學報,2014,39(6):1063-1069.

10.13225/j.cnki.jccs.2013.0840

Wang Tao,Zhou Guoqing.Analysis of temperature field around a single freezing pipe considering variability of soil parameters[J].Journal of China Coal Society,2014,39(6):1063-1069.doi:10.13225/j.cnki.jccs.2013.0840

2013-06-17 責任編輯:常 琛

國家重點基礎(chǔ)研究發(fā)展計劃(973)資助項目(2012CB026103);國家高技術(shù)研究發(fā)展計劃(863)資助項目(2012AA06A401);江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目(CXLX13_942)

王 濤(1978—),男,四川達州人,博士研究生。E-mail:wtbtj@126.com