將數(shù)學史融入中學數(shù)學的課堂

溫孝明 徐月琴 劉磊

摘 要：美國數(shù)學教育家M·克萊因曾經說過：歷史上數(shù)學家所遇到的困難，正是學生也會遇到的學習障礙，因而數(shù)學史資源是教學的指南。由此可見，數(shù)學史及數(shù)學文化資源對于我們中學數(shù)學教學有著重要的意義和不可替代的作用，它對激發(fā)學生的學習興趣，幫助學生建構相關的數(shù)學概念，改變教師教學策略有著積極的作用。在HPM思想指導下，將高中數(shù)學課標中注重數(shù)學文化的滲透、融入教學的基本理念落實在我們的教學實踐中，設計出有助于學生建構知識體系的教學方案，能夠實現(xiàn)數(shù)學知識教育價值的最優(yōu)化。

關鍵詞：數(shù)學史;融入;中學

【中圖分類號】G【文獻標識碼】B【文章編號】1008-1216（2020）04C-0028-03

這幾年來，隨著我們對數(shù)學史的研究，特別是數(shù)學史與數(shù)學教學之間的關系（The relations between the History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）的研究，教育工作者們對它的認識已經發(fā)生了很大的變化。將數(shù)學史融入課堂教學中，對強化學生對數(shù)學知識的理解，激發(fā)學生數(shù)學學習的興趣，提升數(shù)學教學質量，會有積極的幫助。教材的編委們也做出了很大的努力，但由于教材篇幅所限等諸多原因，對數(shù)學史的相關知識無法做到全面、系統(tǒng)地編排闡述，還不足以滿足教學需求，學生往往看不出這些主題究竟為何產生又如何演進，看不到其背后數(shù)學家的活動歷程，感受不到數(shù)學與人類生活及其他知識之間的密切聯(lián)系。教師作為教學的主導者，要通過自己的學習研究，不斷地開發(fā)相關資源，并融入課堂教學中。如何才能開發(fā)出真正的對課堂教學有實效的資源并融入課堂？通過對高中數(shù)學HPM案例開發(fā)與教學實驗課題的研究，本文就數(shù)學史融入中學數(shù)學課堂教學的路徑與方法等問題產生了一些想法，形成一些簡單認識。

一、充分挖掘數(shù)學史文化價值，讓學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)

將數(shù)學史融入數(shù)學教學（我們常常稱之為HPM視角下的數(shù)學教學），其目的是實現(xiàn)數(shù)學知識教育價值的最優(yōu)化。HPM研究主要是將“為教育的數(shù)學史”的教學引向更高層次。這就是說，要借助數(shù)學史料重現(xiàn)數(shù)學知識產生背景，再現(xiàn)其發(fā)展過程，展示知識本源，揭示知識內涵，了解人類認知歷程和學習的困難、障礙，實現(xiàn)數(shù)學文化氛圍的營造，使之有利于學生對數(shù)學知識的學習和理解。因此，在教學實踐中，我們要將基于歷史或數(shù)學目的的數(shù)學史研究資源轉化為基于教育為目的的形態(tài)。如在中學數(shù)學教學中的概念——函數(shù)，它是整個數(shù)學知識體系中最核心的基本概念之一，幾乎貫穿于整個中學數(shù)學的學習。它的完善經歷了漫長的歷史，從笛卡爾最早注意到一個變量對另一個變量的依賴關系，到萊布尼茲1673年最早引入這一概念，再到19世紀中期由狄利克雷和黎曼給出的被公認為函數(shù)的現(xiàn)代定義為止，經歷了近兩個世紀的發(fā)展演變過程。我們無論如何不可能在短時間內把這個發(fā)展演變的過程完整地搬過來展示給學生，要把它形成、發(fā)展的演變過程等史料資源做一個比較細致的分析和梳理，將函數(shù)概念研究的學術形態(tài)轉化為教育形態(tài)，才能更好地在教學中使用并發(fā)揮其作用。不難發(fā)現(xiàn)，在各位數(shù)學家不斷賦予其新內涵的過程中，函數(shù)的概念包括集合觀念下的函數(shù)、代數(shù)觀念下的函數(shù)、對應觀念下的函數(shù)、集合論下的函數(shù)。其概念的演變經歷了x的函數(shù)是指x的冪;含x的代數(shù)式;含x的任意解析式;依賴于x或由x所確定的任意變量;與x相對應的變量等。而且整個演變過程是在相互交融與碰撞中以非線性的狀態(tài)逐步完善的，這個演變過程同時也推動著整個數(shù)學的發(fā)展。從分類上來講，函數(shù)的概念可劃分為 “變量說”“對應說”“關系說”?！白兞空f”是函數(shù)概念的開始;“對應說”進一步揭示了函數(shù)的實質;“關系說”則解決了函數(shù)只允許數(shù)與數(shù)對應的局限性，也是目前函數(shù)的最一般形式化和最嚴格的定義。通過這樣的分析梳理，教師在實際教學中不難理解，初高中數(shù)學教材中為什么函數(shù)的概念不同，高中數(shù)學為什么要用對應的關系來定義函數(shù)，從而更好地把握高中數(shù)學中函數(shù)概念教學的出發(fā)點、關鍵點、重難點、突破點，更好地預見學生在學習過程中的困惑、障礙，設計出適合學生學情的教學方案。讓函數(shù)發(fā)展史的相關資源真正成為課堂教學中可利用的資源。

二、 合理利用數(shù)學史資源，拓展教師的教學視野

數(shù)學史的研究能夠清晰地還原數(shù)學知識的發(fā)生過程，能為師生重現(xiàn)數(shù)學知識的產生背景、數(shù)學方法的形成途徑，數(shù)學活動經驗的間接感知，數(shù)學思想的提煉過程，進而揭示數(shù)學知識的本質，實現(xiàn)數(shù)學知識體系的科學建構，深刻理解數(shù)學知識的內涵。同時還可以營造數(shù)學文化氛圍，激發(fā)學生的學習動力和興趣。因此，教師要在認真分析、梳理的基礎上，積極主動、科學合理地利用數(shù)學史資源，拓展視野，提升學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（一）在創(chuàng)設情境中融入數(shù)學史資源，激發(fā)學習興趣

興趣是最好的老師。在我們進行的高中階段數(shù)學史知識及文化融入課堂教學現(xiàn)狀調研中發(fā)現(xiàn)，有70%的學生和95%的教師認為把數(shù)學史知識融入課堂中，對激發(fā)學生學習興趣、幫助學生深入理解教學內容，甚至對其他學科的學習都具有積極的作用。因此，在課堂教學中，融入數(shù)學史資源，創(chuàng)設學習情境，對引發(fā)學生學習探究的意向與調動學生的學習興趣，具有不可替代的作用。比如，在等比數(shù)列前 項和的教學中，用古印度國王獎賞國際象棋發(fā)明者的數(shù)學故事來創(chuàng)設情境，可以激發(fā)學生學習的好奇心，還可以借助于求和結果的科學處理，使學生體會等比級數(shù)的“爆炸式”增長，感受數(shù)學的神奇魅力，最終實現(xiàn)激發(fā)學生興趣的目的。

（二）在學習新方法、新思想過程中融入數(shù)學史資源，拓展師生視野

在數(shù)學發(fā)展的歷史過程中，新方法、新思想的形成往往是“自然”的，按照歷史相似性原理，它是符合人類認知規(guī)律的。因此，數(shù)學史的研究，可以幫助我們更好地理解新方法、新思想的形成過程。比如，在等比數(shù)列求和公式的教學中，要闡明其產生背景和發(fā)展的歷史過程是怎樣的，教材中的推導方法是如何得來的，還有哪些推導方法等，都可以通過對數(shù)學史料的研究梳理得到合理的答案。事實上，在古埃及紙草書中關于“有七座房屋，每座有七只貓，每只貓一天吃七只老鼠，每只老鼠一天吃七顆麥穗，每顆麥穗含麥子七個容積單位，問房屋、貓、老鼠、麥穗、麥子容積總數(shù)為多少？”這一問題的解決，就是很好的資源，其解決方法是利用古埃及的整數(shù)乘法法則得到了等比數(shù)列的前n項和Sn與前n-1項和Sn-1 之間的遞推關系：

故：當q≠1時，有 。另外，在古希臘歐幾里得的《幾何原本》第9卷中給出的方法是：設等比數(shù)列a1，a2，L，an+1，公比為q≠1，則由

，又由等比定理得，進而化簡求得公式。還有我們都熟悉的，也是現(xiàn)在教材中使用的，由歐拉給出的錯位相減法推導等比數(shù)列求和公式的方法以及其他數(shù)學先哲們提供的幾何法等。這些數(shù)學史料的研究都可以幫助教師掌握推導公式的出發(fā)點、關鍵點、突破點，拓寬教師推導公式的思路方法。利用這些數(shù)學史資源可以幫助教師更好地設計出既有探究寬度，又有思維深度的教學方案，更好地培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)。

（三）在知識體系的建構過程中融入數(shù)學史資源，實現(xiàn)正本清源

數(shù)學知識的產生，大多是基于現(xiàn)實生活中解決問題的實際需求，合理利用數(shù)學史資源，可以幫助學生理解數(shù)學知識的本質，有利于建構新的知識體系。比如，在高中數(shù)學導數(shù)概念的教學中，我們可以通過展現(xiàn)牛頓、萊布尼茲研究導數(shù)的背景及過程方法，讓學生深切體驗導數(shù)概念的形成，是基于解決物體運動過程中的瞬時速度和曲線在某一點處的切線問題而產生。讓學生在真實的情境中找到知識的來源及演變過程，體會其學習的必要性。更重要的是這些數(shù)學史資源的融入，可以正本清源，挖掘其本質，幫助學生更加清晰地理解導數(shù)的物理意義和幾何意義，掌握其研究的思想方法，體驗極限的思想，科學地建構導數(shù)的概念。

三、 科學引用數(shù)學史資源，培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng)

我國當前的教育特別關注培養(yǎng)中學生發(fā)展核心素養(yǎng)，科學地融入數(shù)學史資源，對于發(fā)展學生的文化基礎、自主發(fā)展素養(yǎng)自不必細說。單說在學生發(fā)展核心素養(yǎng)中明確提出了國家認同、國際理解的基本要點。對這些概念的理解，要與時俱進，在新時代背景下，國家認同、國際理解已經賦予新的內涵。國家認同不是閉關自守，關起門來給學生講授我國數(shù)學歷史上的祖沖之計算的圓周率值比歐洲早近1000年，法國數(shù)學家帕斯卡發(fā)現(xiàn)二項式系數(shù)要比楊輝晚近400年等。而是要利用數(shù)學史資源，真實地展示世界各國數(shù)學家們在數(shù)學學科發(fā)展進程中作出的巨大貢獻，了解中華民族的先哲們在數(shù)學學科發(fā)展進程中取得的巨大成就，感受這些先哲們的數(shù)學智慧和不懈努力的奮斗精神，培養(yǎng)學生的民族自豪感和愛國熱情。在培養(yǎng)學生的國家認同感的同時樹立全球意識，用開放的心態(tài)、世界的眼光正確理解世界各國文化，在尊重世界多元文化并存的同時，積極參與跨文化的交流互鑒。

近年來，越來越多的大、中、小學教師與象牙塔里的職前教師們對HPM產生了濃厚的興趣。本文只是講述了作為一線教師在教學實踐中，為了提高自己的教學水平，真正落實學科核心素養(yǎng)而應該做的一些與教學息息相關的工作和所遵循基本路徑。但是，要想在該領域探索出成功的道路，也并非易事。它橫跨數(shù)學史與數(shù)學教育兩個學科，既需要有坐冷板凳的功夫，也需要有較強的社會實踐能力;既需要有文獻駕馭和理解的能力，更要有較強的寫作能力。HPM學術研究與實踐探索是艱辛的歷程，但HPM的實踐成效卻讓我們感到驚奇和快樂，讓我們攜手步入這片新天地，品味成敗得失，展望數(shù)學教育美好的未來。

基金項目：自治區(qū)“十三五”規(guī)劃課題，課題批準號：2018JGH285。

參考文獻：

汪曉勤，楊一麗.HPM視角下的等比數(shù)列教學[J].中學教研（數(shù)學），2003，（7）.